2018版高考数学大一轮复习第十二章概率、随机变量及其分布12.4离散型随机变量及其分布列试

1、第十二章 概率、随机变量及其分布 12.4 离散型随机变量及其分布列试题理北师大版基础知识自主学习EI知识梳理-i.离散型随机变量的分布列(1) 将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机 变量.(2) 离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量.设离散型随机变量X的取值为ai,a2,随机变量X取a的概率为p(i= 1,2 ,)，记作:P(X=a) =pi(i= 1,2，),或把上式列表：X=aia1a2P(X=a)P1P2称为离散型随机变量X的分布列.性质：1pi0,i= 1,2，；2卩1+P2+二 1.2 .超几何

2、分布一般地，设有N件产品，其中有MMC N)件次品.从中任取n(nWN)件产品，用X表示取出 的n件产品中次品的件数，那么CCN：MP(X=k) =7(其中k为非负整数).CN如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为N, M n的超几何分布.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“V”或“x”)(1) 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量.(V)(2) 离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(V)(3) 某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布.(x)(4) 从 4 名男演员和 3 名女演员中选出4 名演员，其中女演员的

3、人数X服从超几何分2布.(V)3（5）离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.（X）（6）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的.（V）1 .（教材改编）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X,那么X= 4 表示的事件是（）A. 颗是 3 点，一颗是 1 点B. 两颗都是 2 点C. 甲是 3 点，乙是 1 点或甲是 1 点，乙是 3 点或两颗都是 2 点D. 以上答案都不对答案 C解析 根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C 正确.2 .设某项试验的成功率是失败率的2 倍，用随机变量X去描述 1 次试验的成功次数，则P（X=0）等于（）A. 0 B. - C. -

4、 D.23答案 C解析设X的分布列为X01Pp2pX= 1”表示试验成功，由p+ 2p= 1,得p= 3,故选 C.3.从标有110的10支竹签中任取2支， 设所得2支竹签上的数字之和为X,那么随机变 量X可能取得的值有（ ）A. 17 个 B . 18 个 C . 19 个 D . 20 个答案 A解析X可能取得的值有 3,4,5，19,共 17 个.4._ 从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球，设其中有X个红球，则随机变量X的 分布列为_ .答案X012P解析TX的所有可能取值为0,1,2 ,考点自测即“X= 0”表示试验失败,4C2 P(X= 0)=責

5、 0.1 ,5 X的分布列为5.(教材改编)一盒中有 12 个乒乓球，其中 9 个新的、3 个旧的，从盒中任取 3 个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X= 4)的值为_ .解析 由题意知取出的 3 个球必为 2 个旧球、1 个新球,P(X= 1)=C3c2C210= 0.6 ,P(X= 2) = C2= 0.3.X012P答案272206故P(X= 4)=d(Cc3T2722o题型分类深度剖析题型一例 1(1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q等于()C.X-101P1232 3qqB.2.3333答案 C解析 3+ 2-3q+q2= 1

6、, q2- 3q+ 3 = 0，解得q= |土6 又由题意知 0q2 3)；17求PF*祁解(1)由分布列的性质，得1234P(X=) +P(X=)+P(X= ) +P(X= ) +F(X= 1) =a+ 2a+ 3a55551+ 4a+ 5a= 1,所以a=诣.(2)RX|) =P(X= |) +RX=4) +RX= 1)1=3X1l+4X1i5+5X115HX=1)=c：d10例 3 (2015 安徽改编)已知 2 件次品和 3 件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2 件次品或者检测出 3 件正品时检测结11束.(1)求第一次检测出的是次

7、品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100 元， 设X表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列.解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件X的可能取值为 200,300,400.A1p(x=200)= A5=命，P(X= 400) = 1 P(X= 200) P(X= 300)“133=1 =10105故X的分布列为X200300400P13310105命题点 3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法例 4 (2016 蚌埠模拟)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛

8、完 52局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为刍乙获胜的概率1为-，各局比赛结果相互独立.3(1) 求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；(2) 记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列.解 用A表示“甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛”，A表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”.21则P(A) = -,P(Bk) = 3,k= 1,2,3,4,5.(1)P(A) =P(A1A2) +R BAA)+P(ABAA0=P(A)P(A) +RB)RA)P(A) +P(A)P(B) RA)P(A)221222 1 2256=一i + _x|2+_X_

9、X I- 1 =.3 3 3 3 3 381A,P(A)=A2A3P(X= 300)=A+ C2C3A23A =和,12(2)X的可能取值为 2,3,4,5.P(X= 2) =P(AIA2)+P(BR)5=P(A)P(A2)+ RB)RBO = 9，P(X= 3) =P(BA2A3) +RARBs)2 =P(B)RA)P(A) +RAI)RB0P(B3)= 9,P(X= 4) =P(AIB2A3A4) +R BA2B3B4)10 =P(AI)RE2)P(A)P(A)+RB)P(A)RB3)RE4)=浙,8P(X= 5) = 1 P(X= 2) RX= 3) P(X= 4)= .81故X的分布列

10、为X2345P52108998181思维升华求离散型随机变量X的分布列的步骤：(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；求X取每个值的概率；写出X的分布列.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识.弓踪训2(2016 湖北部分重点中学第一次联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为a,若存在正整数k，使a+ a2+ak= 6,则称k为你的幸运数字.(1) 求你的幸运数字为 3 的概率；若k= 1,则你的得分为 6 分；若k= 2,则你的得分为 4 分；若k= 3,则你的得分为 2 分; 若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则

11、记0 分，求得分E的分布列.解(1)设“连续抛掷 3 次骰子，和为 6”为事件A,则它包含事件 A, A, A,其中A:三 次恰好均为 2 ； A :三次中恰好 1,2,3 各一次；A:三次中有两次均为 1，一次为 4.A, Az,A为互斥事件，贝 UP(A)=P(A)+RA)+P(A3)=C(6)3+C66C16+C3(6) 26=佥.(2) 由已知得E的可能取值为 6,4,2,0 ,1121115P(E =6)= ,F(E =4)=(一)+2XC2X x=,6666 3624,13515535P(E=2)=,RE=0)=1 =.1086 36 108 54故E的分布列为E642015535

12、P-63610854题型三超几何分布例 5 （2016 济南模拟）PM2.5 是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5 微米的可入肺颗粒物.根据现行国家标准 GB3095- 2012，PM2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级；在 35 微克/立方米75 微克/立方米之间空气质量为二级；在 75 微克/立方 米以上空气质量为超标.从某自然保护区 2016 年全年每天的 PM2.5 监测数据中随机地抽取10 天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5 日均值（微克/ 立方米）25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85频数311113

13、二P(E= 0)=c0c3玄=7P(E= 1)=耳C102140，P(E=1 2)= C740，3 天，恰有一天空气质量达到一2140.14E0123P72171244040120思维升华（1）超几何分布的两个特点1超几何分布是不放回抽样问题；2随机变量为抽到的某类个体的个数.（2）超几何分布的应用条件1两类不同的物品（或人、事）；2已知各类对象的个数；3从中抽取若干个个体.跟蹲训练 3 某大学志愿者协会有 6 名男同学， 4 名女同学在这 10 名同学中, 自数学学院，其余 7 名同学来自物理、 化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 随机选取 3 名同学，到希望小学进行支教活动.（每位同学

14、被选到的可能性相同（1）求选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率；（2）设X为选出的 3 名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列.解（1）设“选出的 3 名同学来自互不相同的学院”为事件A,d0C1二P(X=0)=Cd厂=1,&3P(X=2)=c1o=10，故随机变量X的分布列是P（，3）=熱着故E的分布列为3 名同学来10 名同学中）P(A)=C C+d4960.故选出的 3 名同学来自互不相同学院的概率为4960.随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k= 0,1,2,3)P(X= 1)=12,P(X= 3)=丄3015X012316P16123130现场

15、纠错系列17.离散型随机变量的分布列典例 某射手有 5 发子弹，射击一次命中概率为 0.9.如果命中就停止射击, 用尽，求耗用子弹数E的分布列.错解展示解仁$（二N）n O、二7/ 卩1$=刀二久/ 2/庐 尸侈二幻二沖*珥=&屈）卩话二&丿二氏严 X 伉升必嘶么/235 |r |趴如7现场纠错解P(E =1)=0.9,P(E=2)=0.1x0.9=0.09,P(E =3)=0.1x0.1x0.9=0.009,3P(E =4)=0.1x0.9=0.000 9,P(E =5)=0.14=0.000 1. E 的分布列为E12345P0.90.090.0090.000 90.000

16、 1纠错心得（1）随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率.（2）验证随机变量的概率和是否为 1.否则一直到子弹17课时作业1 . （2016 太原模拟）某射手射击所得环数X的分布列为X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为（）A. 0.28 B . 0.88 C . 0.79 D . 0.51答案 C解析 根据X的分布列知，所求概率为0.28 + 0.29 + 0.22 = 0.79.个离散型随机变量，其分布列为X101P1221 2qq则q等于（）少 羽 羽A. 1 B . 1

17、 y C . 1牙 D . 1 + 2答案 C1 2q 0,解析由题意知|22+ 12q+q=1,3 . （2016 郑州模拟）已知随机变量X的分布列为F（X=i） = （i= 1,2,3,4），贝 U R2Xw4）等于（）B. Z C.3D.105答案 B解析 由分布列的性质知,1234+ + + = 1 2a十 2a十 2a十 2a， P(2 2)D.P(X= 2)答案 D解析由超几何分布知R X= 2）7 甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3 个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得 0 分，抢到题并回答正确的得1 分，抢到题但回答错误的扣1 分（即得一 1 分）；若X是甲队

18、在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值是 _ .答案1,0,1,2,3解析X= 1,甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，X= 0,甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2 个题或甲抢到 2 题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，X= 1,甲抢到 1 题且答对，乙抢到 2 题且至少答错 1 题或甲抢到 3 题，且 1 错 2 对，X= 2,甲抢到 2 题均答对，实数a的值为（A. 1B. 13C.111327D.13答案解析随机变1i1 1213E的分布列为P(E=i) =a(3),i= 1,2,3 ,a + (-)2+(-)3= 1，解27得a=百故选 D.5. （201

19、7 武汉质检）从装有 3 个白球，4 个红球的箱子中，随机取出 3 个球，则恰好是 2 个白1 个红球的概率是（4A.35解析率为如果将白球视为合格品,皿 12 旨=需红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概X个白球，下列概率等于到取出黑球为止，设此时取出了C.P(X7)=1P(7)=10.1X0.1=0.99.E的可能取值为 7,8,9,10.1 2P(X=1)=1忆3114222所以x的分布列为X011P211131442X的分布列如下:P(=7)2=0.1 = 0.01，P(=8)2=2X0.1X0.4+0.4=0.24，P(=9)2=2X0.1X0.3+2X0.4X0.3+0.3=0.39，P(2=10)=2X0.1X0.2+2X0.4X0.2+2X0.3X0.2+0.2=0.36.的分布列为E78910P0.010.240.