2020年中考数学压轴题冲刺提升专题11实际问题中的方程(组)与函数题型

1、1 专题 11 实际问题中的方程（组）与函数题型【例 1】 （2019郑州外国语测试）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40 元，规定销售单价不低于44 元，且获利不高于30% ，在试销售期间发现，当销售单价定为44 元时，每天可售出300 本，销售单价每上涨1 元，每天销售量减少10 本，现商店决定提价销售，设每天销售量为y本，销售单价为x元. （1）请直接写出y与x直接的函数关系式及x的取值范围；（2）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天获利2400 元？（3）当每本足球纪念册的销售单价是多少元时，商店每天的利润w最大？最大利润是多少元？【答案】见解析.

2、【解析】解： （1）y=30010(x44) ，整理得：y= 10 x+740， （44x52） ；（2）由题意得： （x 40） （ 10 x+740）=2400，解得：x=50，x=64（舍），即当每本足球纪念册的销售单价是50 元时，商店每天获利2400 元. （3）由题意得：w=（x40） （ 10 x+740）2 =10（x57）2+2890 100，对称轴为x=57，当x57 时，w随x增大而增大，44x52，当x=52 时，w取最大值，最大为2640 元，即当每本足球纪念册的销售单价是52 元时，商店每天的利润最大，最大利润是2640 元. 【例 2】 （2018河师大附中模拟）

3、某养殖专业户计划购买甲、乙两种牲畜，已知乙种牲畜的单价是甲种牲畜单价的2 倍多 200 元，买 3 头甲种牲畜和1 头乙种牲畜共需5700 元. （1）甲、乙两种牲畜的单价各是多少元？（2）相关资料表明：甲、乙两种牲畜的成活率分别为95% 和 99% ，若购买以上两种牲畜共50 头，并使这 50 头的成活率不低于97% ，且要使购买的总费用最低，应如何购买？【答案】见解析. 【解析】解： （1）设甲种牲畜的单价为x元，由题意得：3x+2x+3000=7500，解得：x=1100，21100+200=2400 ，即甲种牲畜的单价为1100 元，乙种牲畜的单价为2400 元. （2）设购买甲种牲畜

4、m头时，总购买费用为w元，则w=1100m+2400（50m）=1300m+120000，由题意知： 95%m+99% （50m）97% 50，解得：m25，即 0m25， 13000，w随m的增大而减小，当m=25 时，w取最小值，即费用最低，购买两种牛各25 头时，费用最低. 【变式2-1 】 （2019三门峡二模）水果店王阿姨到水果批发市场打算购进一种水果销售，经过还价，实际价格每千克比原来少2 元，发现原来买这种水果80 千克的钱，现在可买88 千克3 （1）现在实际购进这种水果每千克多少元？（2）王阿姨准备购进这种水果销售，若这种水果的销售量y（千克）与销售单价x（元 / 千克）满足

5、如图所示的一次函数关系求y与x之间的函数关系式；请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？（利润销售收入进货金额）【答案】见解析【解析】解： （1）设现在实际购进这种水果价格为每千克a元，则原来价格为每千克（a+2）元，由题意，得： 80（a+2） 88a，解得：a20即现在实际购进这种水果每千克20 元；（2）设y与x之间的函数关系式为：ykx+b，将（ 25，165） ， （35， 55）代入ykx+b得，251653555kbkb，解得：11440kb，即y与x之间的函数关系式为：y 11x+440；设这种水果的销售价格为x元/ 千克时，利润为

6、w元，则w（x20）y（x20） （ 11x+440） 11（x30）2+1100， 110，4 当x30 时，w有最大值，最大值为1100即这种水果的销售单价定为30 元时，能获得最大利润，最大利润是1100 元【例 3】 （2018洛阳三模）在江苏卫视最强大脑节目中，搭载百度大脑的机器人小度以3:1 的总成绩，斩获 2017 年度脑王巅峰对决的晋级资格，人工智能时代已经扑面而来某商场第一次用11000 元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000 元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2 倍，但单价贵了10 元（1）求该商家第一次购进机器人多少个？（2）若所有机器人

7、都按相同的标价销售，要求全部销售完毕的利润率不低于20% （不考虑其它因素） ，那么每个机器人的标价至少是多少元？【答案】见解析. 【解析】解： （1）设该商家第一次购进机器人x个，由题意得：1100024000102xx，解得：x=100经检验，x=100 是所列方程的解，且符合题意答：该商家第一次购进机器人100 个（2）设每个机器人的标价是a元由题意得：a110002400020% ，解得：a140答：每个机器人的标价至少是140 元【变式3-1 】 （2019周口二模）由于技术更新，智能电视的功能越来越强大，价格也逐渐下降，某电器商行经营的a款 40 英寸智能电视去年销售总额为5 万元

8、，今年每台销售价比去年降低400 元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20% （1）今年a款 40 英寸智能电视每台售价多少元？（用列方程的方法解答）5 （2）该电器商行计划新进一批a款 40 英寸智能电视和新款b款 40 英寸智能电视共60 台，且b款 40英寸智能电视的进货数量不超过a款 40 英寸智能电视数量的两倍，应如何进货才能使这批智能电视获利最多？a，b两款 40 英寸智能电视的进货和销售价格如下表：a款 40 英寸智能电视b款 40 英寸智能电视进货价格（元）1 100 1 400 销售价格（元）今年的销售价格2 000 【答案】见解析. 【解析】解：设今年a款 40 英寸

9、智能电视每台售价为x元，则去年每台售价为（x+400）元，由题意得：50000120%50000400 xx，解得：x=1600，经检验，x=1600 是原方程的解，符合题意，今年a款 40 英寸智能电视每台售价为1600 元. （2）设购进a款电视a台，则购进b款（ 60a）台，此时获利y元，y=（1600-1100 ）a+（ 2000-1400 ） （60-a）=-100a+36000，其中： 60-a 2a，0a60，即 20a60，且a为整数；-1000，w随m的增大而增大，当m=50 时，运费最少，最少为450 元，当购买a种产品 50 个，b种产品 50 个时，总运费最少，最少为4

10、50 元 . 1. （2019济源一模）为支持国家南水北调工程建设，小王家由原来养殖户变为种植户，经市场调查得知，种植草莓不超过 20 亩时，所得利润y（元）与种植面积m（亩）满足关系式y=1 500 m；超过20亩时，y=1380m+2400而当种植樱桃的面积不超过 15 亩时，每亩可获得利润 1800 元；超过 15 亩时，每亩获得利润z（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系式为z=20 x+2 100 （1）设小王家种植x亩樱桃所获得的利润为p元，直接写出p关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果小王家计划承包40 亩荒山种植草莓和樱桃，当种植樱桃面积（x亩）满足0 x20

11、 时，求小王家总共获得的利润w（元）的最大值【答案】见解析. 【解析】解： （1）由题意得：2180001520210015xxpxxx（2）种植樱桃面积x亩，则种植草莓面积（40 x）亩，由题意知，当 00，w随x的增大而增大，当x=15 时，w最大，最大值为63900，当 15x20 时，w=20 x2+2100 x+1380(40 x)+2400 =20（x18）2+64080， 2063900 ，当x=18 时，小王家总共获得的利润w取最大值，最大值为64080 元. 2. （2019洛阳二模）某游乐园的门票销售分两类：一类个人门票，分为成人票，儿童票；一类为团体门票（一次购买门票 1

12、0 张及以上），每张门票在成人票价格基础上打 6 折已知一个成人带两个儿童购门票需 80 元；两个成人带一个儿童购门票需 100 元（1）每张成人票和儿童票的价格分别是多少元？（2）光明小学 4 名老师带领x名儿童到该游乐园，设购买门票需y元若每人分别购票，求y与x之间的函数关系式；若购买团体票，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；请根据儿童人数变化设计一种比较省钱的购票方案【答案】见解析. 【解析】解：设成人票每张a元，儿童票每张b元，由题意得：a+2b=80， 2a+b=100，解得：a=40，b=20，即成人票每张40 元，儿童票每张20 元；（2）y=440+20 x=

13、160+20 xy=400.6 （x+4）=24x+96，由x+410，得x6，且x为整数 . （i）当 160+20 x24x+96, 即x16，当 6x16 且x为整数时，应全部购买团体票较为优惠；9 （ii）当 160+20 x=24x+96, 即x=16，当x=16 时，购买团体票或分别购买均可以；（iii）当 160+20 x16，当x16 且x为整数时，应分别购买较为优惠. 3.（2019洛阳三模） 近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加，某商场从厂家购进了a，b两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：a型销售数量（台）b型销售数量（台）

14、总利润（元）5 3 950 3 4 900 （1）每台a型空气净化器和b型空气净化器的销售利润分别是多少？（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共 80 台，其中b型空气净化器的进货量不多于a型空气净化器的 2 倍，为使该公司销售完这 80 台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案；（3）已知a型空气净化器的净化能力为 200 m3/ 小时，b型空气净化器的净化能力为 300 m3/ 小时，某长方体室内活动场地的总面积为 200 m2，室内墙高 3 m，该场地负责人计划购买 5 台空气净化器每天花费 30 分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，至多要购买a型空气净化器

15、多少台？【答案】见解析. 【解析】解：(1) 设每台a型空气净化器和b型空气净化器的销售利润分别是x元，y元，由题意得：5395034900 xyxy，解得：x=100，y=150，每台a型空气净化器和b型空气净化器的销售利润分别是100 元， 150 元. （2）设购买a型m台，则购进b型（ 80 x）台，利此时润为w元，由题意知： 80m2m，0m80，m为整数可得：803m80，m为整数，w=100m+150（ 80m）= 50m+12000， 5035 时，购买b品牌的计算器更合算6. （2018信阳一模）某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2 根a型跳绳和1根b型跳

16、绳共需56 元， 1 根a型跳绳和 2 根b型跳绳共需82 元（1）求一根a型跳绳和一根b型跳绳的售价各是多少元？（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50 根，并且a型跳绳的数量不多于b型跳绳数量的3 倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由【答案】见解析13 【解析】解： （1）设一根a型跳绳售价是x元，一根b型跳绳的售价是y元，根据题意，得：2x+y=56，x+2y=82，解得：x=10，y=36，即一根a型跳绳售价是10 元，一根b型跳绳的售价是36 元；（2）由m3（50m） ，得：m37.5 ，0m37，且m为整数，设购进a型跳绳m根，总费用为w元，根据题意，得：w=10m+36（5

17、0m）= 26m+1800， 260，w随m的增大而减小，当m=37 时，w最小=838，即当购买a型跳绳 37 根，b型跳绳 13 根时，最省钱7. （2019南阳毕业测试）为响应市政府“创建国家森林城市”的号召，某小区计划购进a、b两种树苗共 17 棵，已知a种树苗每棵80 元，b种树苗每棵60 元（1）若购进a、b两种树苗刚好用去1220 元，问购进a、b两种树苗各多少棵？（2）若购进a种树苗a棵，所需费用为w，求w与x的函数关系式；（3）若购买b种树苗的数量少于a种树苗的数量，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用【答案】见解析. 【解析】解： （1）设购进a种树苗x棵，则购

18、进b种树苗（ 17x）棵，由题意得： 80 x+60（17x） 1220，解得：x10，即购进a种树苗 10 棵，b种树苗 7 棵；（2）w与a的函数关系式：w80a+60（17a）20a+1020；（3）由题意得： 17a8.5 ，8.5a17，且a为整数，14 由（ 2）知，w20a+1020，w随a的增大而增大，a=9 时，即购买9 棵a种树苗， 8 棵b种树苗时，费用最少，w809+6081200，即购买 9 棵a种树苗， 8 棵b种树苗时，费用最少，需要1200 元8. （2019开封二模）孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升某校计划购进a，b两种树木共 100 棵进行校园

19、绿化升级，经市场调查：购买a种树木 2 棵，b种树木 5 棵，共需 600 元；购买a种树木 3 棵，b种树木 1 棵，共需 380 元（1）求a种，b种树木每棵各多少元？（2）因布局需要，购买a种树木的数量不少于b种树木数量的3 倍学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下（不考虑其他因素），实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用【答案】见解析【解析】解： （1）设a种树每棵x元，b种树每棵y元，依题意得：256003380 xyxy，解得：10080 xy，答：a种树每棵100 元，b种树每棵80 元；（2）设购买a种树木

20、为a棵，则购买b种树木为（ 100a）棵，有a3（100a） ，解得：a75设实际花费金额是y元，则：y0.9100a+80（100a） 18a+7200180，y随a的增大而增大，当a75 时，y取最小值，即当a75 时，y最小值 1875+72008550（元） 15 答：当购买a种树木 75 棵，b种树木 25 棵时，所需费用最少，最少为8550 元9. （2019安阳一模）某校计划购进甲、乙两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如下表：规格线下线上单价（元 / 个）运费（元 / 个）单价（元 / 个）运费（元 / 个）甲240 0 210 20 乙300 0

21、250 30 （1）如果在线下购买甲、乙两种书架共30 个，花费8 280 元，求甲、乙两种书架各购买了多少个？（2）如果在线上购买甲、乙两种书架共30 个，且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3 倍，请求出花费最少的购买方案及花费【答案】见解析. 【解析】解： （1）设线下购买甲种书架x个，乙种书架y个，由题意得：302403008280 xyxy，解得：1218xy，即线下购买甲种书架12 个，乙种书架18 个. （2）设购买甲种书架a个，则购买乙种书架（30a）个，总花费为w元，30a3a，即a7.5 （其中a为正整数），w=（210+20）a+（250+30） （30a）=-50a+8

22、400，-500 ，w随a的增大而减小，当a=7 时，w最小，最小值为8050 元，即当购买7 个甲种书架，23 个乙种书架时，总费用最低，最低为8050 元. 10. （ 2019省实验一模）某超市销售一种商品，成本每千克40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80 元，经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：售价x（元 / 千克）50 60 70 16 销售量y（千克）100 80 60 （1）求y与x之间的函数表达式；（2）设商品每天的总利润为w（元） ，求w与x之间的函数表达式（利润收入成本）；（3）试说明（ 2）中总利润w随售价x的

23、变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？【答案】见解析【解析】解： （1）设y与x之间的函数解析式为ykx+b，由题意得：501006080kbkb，解得：2200kb，y与x之间的函数表达式是：y 2x+200；（2）由题意得，w（x40） （ 2x+200） 2（x 70）2+1800，（3）w 2（x70）2+1800， 40 x 80， 20，当 40 x70 时，w随x的增大而增大，当70 x 80 时，w随x的增大而减小，且当x70 时，w取得最大值，此时w1800. 11. （ 2019叶县一模）小王是“新星厂”的一名工人，请你阅读下列信息：信息一：工

24、人工作时间：每天上午8：0012：00，下午 14：0018：00，每月工作25 天；信息二：小王生产甲、乙两种产品的件数与所用时间的关系见下表：生产甲产品数（件）生产乙产品数（件）所用时间（分钟）10 10 350 30 20 850 信息三：按件计酬，每生产一件甲种产品得1.50 元，每生产一件乙种产品得2.80 元信息四：该厂工人每月收入由底薪和计酬工资两部分构成，小王每月的底薪为1900 元，请根据以上信息，解答下列问题：（1）小王每生产一件甲种产品，每生产一件乙种产品分别需要多少分钟；17 （2） 2018 年 1 月工厂要求小王生产甲种产品的件数不少于60 件，则小王该月收入最多是多少元？此时小王生产的甲、乙两种产品分别是多少件？【答案】见解析【解析】解： （1）设生产一件甲种产品需x分钟，生产一件乙种产品需y分钟由题意得：10103503020850 xy