更改版直线和圆【概念、方法、题型、易误点及应试技巧

1、直线和直线的倾斜角：1. 定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线/,如果把x轴绕着交点 按逆时针方向转到和直线/重合时所转的最小正角记为0,那么。就叫做直线的倾斜角。 当直线2与兀轴重合或平行时，规定倾斜角为0；2. 倾斜角的范围0,龙）。如（1）直线xcos + v3y-2 = 0的倾斜角的范围是 （2）过点p（-v3,l）,2（0,m）的直线的倾斜角的范围处匸,空,那么加值的范围是（答：m < 一2或加> 4 ）二. 直线的斜率：1. 定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率比，即r = tana（ah90。）；倾斜角为90

2、6;的直线没有斜率；（2. 斜率公式：经过两点£3）、只（兀,力）的直线的斜率为 = aza（xi x2）；xj -x23. 真线的方问问量方=（1,幻，直线的方向向量与直线的斜率有何关系厂4. 应用：证明三点共线：kah = khc o女口（1）两条直线料率相等是这两条直线平行的条件（2）实数兀,y满足3x-2y-5 = 0 （l<x<3）,则丄的最大值、最小值分别为x三. 直线的方程：1 点斜式：已知育线过点（兀0，），0）斜率为k ,则盲线方程为 wo =£（兀-兀0），它不包 括垂直于x轴的直线。2. 斜截式：已知直线在y轴上的截距为b和斜率则直线方程为

3、y = lab,它不包 括垂直于兀轴的直线。3. 两点式:己知直线经过片（坷）、只（坨,力）两点，则直线方程为丄二h =它不包括垂直于坐标轴的直线。4. 截距式：己知直线在兀轴和y轴上的截距为则直线方程为- + = 1,它不包a b 括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。5. 般式：任何直线均可写成ar+by + c = o（a,b不同时为0）的形式。如1（1）经过点（2, 1）且方向向量为0=（1,希）的肓线的点斜式方程是（2直线（加+ 2）兀-（2加-l）y -（3加-4） = 0 ,不管加怎样变化恒过点（3）若曲线y =。|兀|与y = x + q（q>0）有两个公共点，则a的取值范

4、围是提醒：（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线, 还有截距式呢？ ）； （2）直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等o 直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距互为相反数o直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等o直线的斜率为±1或直线过原点。如过点a（l,4）,且纵横截距的 绝对值相等的直线共有条四. 设直线方程的一些常用技巧：1. 知直线纵截距b,常设其方程为y = kxb；2. 知直线横截距常设其方程为x = my + x0（它不适用于斜率为0的直线）；3. 知直线过点（心凡），当斜率£存在吋，常设其方程为，

5、= £_%）+ %,当斜率£ 不存在时，则其方程为% = x（）；4与直线i: ax + by + c = 0平彳丁的直线可表不为ay + by += 0 ；5.与直线心ar+by + c = o垂直的直线可表示为&-ay + c, =0.提醒：求直线方程的基木思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 五点到直线的距离及两平行直线间的距离：（1）点 p（x0,y0）到直线 ar+by + c = 0 的距离d =巴+ ）*；*a/a2 + b2（2）两平行线l : ax+ by + c = 0,厶：ar + by + g =0 间的距离为 = -s=s=

6、l。va2 + b2六.直线厶：4+ g = 0与直线/2:a2x+b2y + c2=0的位置关系：1. 平行0 4坊_佔=0 （斜率）且g-b"。（在y轴上截距）;2相交o ajb2 - ab, ho ；3重合 o atb2 -= 0 且 btc2 - b2c = 0。提醒：（1）二旦工9、4工邑、a=a=s仅是两直线平行、相交、重合 a-,b-, g & 民 a, b? c、的充分不必要条件为什么？ .2在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能 这两条直线重合，而在立体几何中提到的两条直线都是指不重合的两条直线；（3直线 /,:+ c =0与直线厶:ar,x+ b2

7、y-c2 = 0垂直o勺舛+耳场=0。如（1）设直线£ :x + 2y + 6 = 0和厶：（加一2）兀+ 3+ 2加=0 ,当加=时厶厶；当加=时厶丄厶；当加时厶与厶相交；当加=时厶与厶重合（答：一1；加h3且加工一1； 3）；2（2）已知直线/的方程为3兀+ 4y-12 = 0,则与/平行，且过点（一1, 3）的直线方程是（答：3x + 4y-9 = 0 ）；（3）两条直线ax+y-4- = 0与x-y-2 = 0相交于第一象限，则实数q的取值范围是（答:-ka<2）；（4）设a,b,c分别是 abc中za、zb、zc所对边的边长，则直线smaoc+ay + c = 0与加

8、-sinbuy + sinc = 0的位置关系是（答：垂直）；（5）已知点片（西,必）是直线/: f（x, y） = 0上一点,p2（x2,y2）是直线/夕卜一点，则方程/（兀,刃+ /（兀 1，牙）+ /（兀2*2）=0所表示的直线与i的关系是（答：平行）;（6）直线/过点（1 , 0 ）,且被两平行直线3x+y-6 = 0和3x+y + 3 = 0所截得的线段长为9,则直线/的方程是（答：4x + 3y-4 = 0和兀=1 ）七.到角和夹角公式：1i到i2的角是指直线i绕着交点按逆时针方向转到和直线/2重合所转的角e,(0,;r)且 tan&=1 + kk2吐出h-l);(2) a

9、与厶的夹角是指不大于直角的角&,&w(0,勻且仙0=丨色台 丨(卒2工-1)。21 4提醒：解析几何中角的问题常用到角公式或向量知识求解。如 已知点m是直线2x-y-4 = 0与兀轴的交点，把肓线/绕点m逆时针方向旋转45° , 得到的直线方程是(答：3兀+)一6 = 0)八.对称(中心对称和轴对称)问题'弋入法：女口(1)已知点m(a,b)与点n关于兀轴对称，点p与点n关于y轴对称，点q与点p 关于直线x+y = 0对称，则点q的坐标为(答：(b,a)(2)已知直线厶与厶的夹角平分线为=兀，若£的方程为or + by + c = 0(ab>0

10、),那 么厶的方程是l(答：bx + ay + c = q )；点a (4, 5 )关于直线/的对称点为b(-2,7)，贝i”的方程是(答：y二3x+3)；(4) 已知一束光线通过点a (3, 5 ),经直线1:3x4y+4=0反射。如果反射光线通过点e (2, 15),则反射光线所在直线的方程是(答：18x + y-51 = 0)；(5) 已知 abc顶点a(3, - 1), ab边上的中线所在直线的方程为6x+10y59=0, zb的平分线所在的方程为x4y+10=0,求b c边所在的直线方程(答：2x + 9y-65 = 0)；(6肓线2xy4二0上有一点p,它与两定点a (4,1)、b

11、 (3,4)的距离之差 最大，则p的坐标是(答：(5,6)；(7) 己知awx轴，bel:y = xf c (2, 1), uabc周长的最小值为(答：vio)o提醒：在解几中遇到角平分线、光线反射等条件常利用对称求解。十.的方程:1. 圆的标准方程:(x-a)2+(y-)2 = r2o2.圆的一般方程：x2 + y2 + dx+ey+f = 0(d2+e2-4f>0),特别提醒：只有当n pd2+e2-4f>0 0j-,方程 f + b + dx+ey+f二0 才表示圆心为(-一,-一),半径为|vr>2 + e2-4f的圆(二元二次方程4土 + bxycy2 + dr+

12、ey+f = 0表示圆的充要条件 是什么？ ( a = cho,且b = 0且£>2 + e24af>o)；3. 圆的参数方程：當纟(&为参数)，其中圆心为(小,半径为厂。圆的 参数方程的主要应用是三角换元：x2 + >,2 = r2 x = rcos 0, y = r sin 0 ； x2 +<t> x= rcoso.y- rsin&(0< r < >/f)。4. a(兀(兀2，力)为直径端点的圆方程(x-x1)(x-x2) + (y-yi)(y-y2) = 0 如（1）圆c与圆（x-l）2 + /=l关于直线y =

13、-x对称，则圆c的方程为（答：x2+（' + l）2 =1 ）；（2）圆心在直线2x-）=3上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是（答：（兀 _3）2+o_3）2 =9或（兀 _1）2+（歹 + 1）2 =）； 已知p（-l,巧）是圆：二；囂纟（&为参数，0"<2龙）上的点，则圆的普通方程为， p点对应的&值为,过p点的圆的切线方程是（答：x2 + y2=4 ；%->/3 + 4 = 0 ）；3（4）如果直线/将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，>1不过第四象限，那么/的斜率的取值 范围是_（答：0, 2j ）；（5）方程xjy x+y+k

14、=0表示一个圆，则实数k的取值范围为（答:k<）；2（6）若m =（兀,刃|忙蒙贈（&为参数，0n = （s）|y = x + b,若则b的取值范围是（答：（-3,32）已知点 m(x0,y0)及圆 c：(x-a)2 +(y-/?)2 =r2(r>0),(1) 点 m 在圆 c 外 o |cm| > 厂 o (x0-a)2 +(y0-z?)2 > r2 ；(2) 点 m 在圆 c 内 o |cm| < r <=> (%0 -6z)2 +(j()-h)2 < r2 ；(3) 点m在圆c上o|cm|之”+(儿一斫=宀 如点p（5a+l,12a

15、）4圆仪一“+鬥 的内部，则a的取值范围是 （答：|d|v右）十二。直线与圆的位置关系：直线/:ar+by + c = 0和圆c：（x-z）2+（j-/2）2 = r2 （r>0）有相交、相离、相切。可从 代数和儿何两个方面来判断：（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：aaoo相交； voo相离；4 = 0 0相切；（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d, 则dv/”u>相交；d> r 0相离；d = /”u>相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用 几何方法较简捷。如tt（1）圆2宀2心1与直线皿&+”

16、1“（&十巧+刼，心）的位置关系为（答：相离）;（2）若直线axby-3 = 0与圆x2 + y2+4x-l = 0切于点p（-l,2）,则必的值（答：2）；(3)直线x + 2y = 0被曲线x(答:(x-1)2 + /=2)；(2)弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距d,弦长一半丄q及圆的半径厂所构2成的直角三角形来解：r2=d2+(-a)2；过两圆g：/(s) = 0、c2:g(x,y) = 0交点的圆(公 共弦)系为f(x, y) + ag(x9 y) = 0 ,当2 = -1时,方程/(兀,y) + 2g(兀,y) = 0为两圆公共弦所在直 + y2 -6x-2y -15 =

17、 0所截得的弦长等于(答：4a/5 )； 一束光线从点a(-l,l)出发经x轴反射到圆c:(x-2)2+(y-3)2=l上的最短路程是一 (答：4)； 已知是圆o:x2 + y2 = r内一点，现有以m为中点的弦所在直线b/丄m, az与圆相交d15,且/与圆相离加和直线i: ax + by = r2,贝lja. mill,且/与圆相交cmill, >1丿与圆相离(答：c)；(6) 已知圆 c： x2 +(y-l)2 =5 ,直线 l： mx-y + l-2 = 0。求证：对加 w/?,直 线l与圆c总有两个不同的交点；设l与圆c交于a、b两点，若|ab| = v17 ,求l 的倾斜角；

18、求直线l中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.(答：60°或120°最长：y = l,最短：x = l)十三.圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径z间的关系判断)：已知两圆的圆心分 别为o, 02,半径分别为则(1)(2)(3)(4)(5)当|oc)2|>斤+灼时，两圆外离；当|oqi="时，两圆外切;当斤-koq时，两圆相交；当|o,o2 1=1 a；-7； i时，两圆内切；2 2 双曲线刍-占 cr b当0<|0,02 |<k-/i时,两圆内含。如=1的左焦点为fi，顶点为a|、a2, p是双曲线右支上任意一点，则分别以线段pr、a】a?

19、为直径的两圆位置关系为.(答：内切)十四.的切线与弦长:切线：过圆x2 + y2 = r2上一点p(xo,;o)圆的切线方程是：xx0 + yy() = r2 ,过圆(xci)2 + (yby = rj 上*点 p(%0,)b)恻的切线方程是：(x 一 q) + (y a)(y° _ a) = r,一般地，如何求圆的切线方程?(抓住圆心到直线的距离等于半径)；从圆外一点引的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法(抓住圆心到直线的距离等于半径)来求；过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切

20、点的直线方程;切线的长为竝+旳2 +氐o + ey° + f 设a为圆(x-1)2 +/ =1上动点,切线长：过圆 x2 + y2 4- dx + ey + f = 0 ( (x-a)2 + (y-b)2 = r2)夕|、一点 p(x0,y0)所引圆的(j(x°_a)2 +(y。一/o 一r，);如pa是圆的切线,且|pa|=1,则p点的轨迹方程为 线方程.。十五.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、 半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)！ 高考选摘：1过直线y二兀上的一点作圆(x 5)2+(y 1尸=2的两条

21、切线/2,当直线厶，厶关于y = x对称 时，它们之间的夹角为()a. 30°b. 45° c. 60° d. 90°2矩形abcd的两条对角线相交于点m(2,0), ab边所在直线的方程为x-3y-6 = 0，点t(-l,1) 在ad边所在直线上.(i) 求ad边所在直线的方程；(ii) 求矩形abcd外接圆的方程；(iii) 若动圆p过点n(-2,0),且与矩形abcd的外接圆外切，求动圆p的圆心的轨迹方程.【题目】：(专题一)求圆的方程1已知圆c与直线x-y = 0及兀一)，一4二0都相切，圆心在直线x+y = 0上，则圆c的方程为 ()(a) (

22、jc + l)2+(y-1尸=2(b)(x_l)2+(y + l)2=2(c)(兀- 1尸 + (y -1)? = 2(d) (x + 1尸 + (y + 1尸二 22. 根据下列条件，求圆的方程：(1) 一条直径的端点是a(3, 2), b(_4, 1)；(2) 经过两点4(1, 一1)和3(1,1),且圆心在直线x+y2=0±；(3) 经过两点a(4, 2)和b(1, 3),且在两坐标轴上的四个截距之和为2.(专题二)求切线方程1. 以点(2, 1)为圆心且与直线3x4y+5=()相切的圆的方程为()a. (x2)2 + (j?+ 1)2 = 3b.(兀+2)2+ (y1尸=3c

23、.(兀一2)2 + ©+1尸=9d. (x+2)2+-1)2 = 92.己知点 bq, 4), hic： (x-l)2+(y-2)2=4.求过点b且与圆c相切的直线方程；3.已知点 a(a, 3),圆 c： (x-l)2+(y-2)2=4.（1）设u=3,求过点4且与圆c相切的直线方程;（2）设a二1,求过点a且与圆c相切的直线方程;（3）设67=4,直线/过点a且被圆c截得的弦长为2巧，求直线/的方程4. 由点p（l, 4）向圆x2+y2-4x-6y+12=0所引的切线长是.5. 若半径为1的圆分別与），轴的正半轴和射线y = -x（x>0）相切，则这个圆的方程为（专题三）圆

24、的弦长1. 过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2 +），-4y = 0所截得的弦长为（）a船 b 2 c.亦）.232. 己知过点m（-3,3）的直线/被圆2 + y2+4y-21 = 0所截得的弦长为4厉，求直线/的方 程.3.圆x2+/4x+4y+6=0截直线兀一y5=0所得的弦长等于（）a. v6b. 5fc. 1d. 54.圆?+/+2x+4y-3 = 0上到直线兀+y+ 1=0的距离为迈 的点共有个.（专题四）圆与圆位置关系1. 圆o| :f + y2 一 2兀二0和圆o2:x2 + y2 -4y = 0的位置关系是（）a.相离 b.相交 c.外切 d内切2. 圆(x+2)

25、2+/=5关于点(1, 2)对称的圆的方程为()a.(兀+4)2 + ®2)2=5b(x-4)2 + -4)2=5c. (x+4)2 + (y+4)2=5d. (x+4)2 + +2)2 = 5三、解答题1.已知直线z： x-y+2=0与圆c： (x-a)2+(y-2)2=4相交于a、b两点.(1)当2时，求弦ab的垂直平分线方稈；当/被圆c截得弦长为2語时，求a的值.2. 已知圆满足以下三个条件：截y轴所得的眩长为2；被兀轴分成两段圆弧，其弧长的比为3： 1;圆心到直线x2y=0的距离为牛.求该圆的方程.3. 已知圆c：(兀一 1)2+&2)2=25,直线z： twc+y+m=o.求直线/被圆c截得的线段的最短长度, 以及此时/的方程.4.实数兀v满足f +，2+24)，+