元二次方程根的分布练习及答案

1、【定理11 xi0 , x2推论：x10 , x20【例1】围。若一元二次方程(m 1)x22(m 1)x m 0有两个正根，求m的取值范一元二次方程根的分布一 一元二次方程根的基本分布一一零分布所谓一元二次方程根的 零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根 分布在零的两侧。设一元二次方程ax2 bx c 0 (a 0)的两个实根为x1, x2，且x1 x2。b2 4ac 00(两个正根)b ，x x20acxix20a22b 4ac 0 b 4ac 0a 0或 a 0f (0) c 0 f (0)

2、 c 0b 0b 0上述推论结合二次函数图象不难得到。,，、24(m 1)4m(m 1) 0分析：依题意有2(m 1) 0m 10< m <1。b2 4ac 0【定理2】x10, x2 0x1x20'a推论：x1 0 , x2 0由二次函数图象易知它的正确性。【例2】若一元二次方程，.12(k 或 k>3)5c cx1x20a,22.b 4ac 0 b 4ac 0a 0或 a 0f(0) c 0 f (0) c 0b 0b 02kx3kx k 3 0的两根都是负数，求k的取值范围。【定理3】x10x2- 0a【例3】k在何范围内取值，一元二次方程2kx 3kx k 3

3、0有一个正根和一个负 k 3分析：依题意有 L<0=>0<k<3【定理4】 xi 0, X20 c 0且b 0；ab x10, x20 c 0 且一0。a【例4】若一元二次方程kx2 (2k 1)x k 3 0有一根为零，则另一根是正根还 是负根分析：由已知k-3=0, . k =3,代入原方程得3x2+5x=0,另一根为负。.一元二次方程的非零分布k分布.2b 4ac 0【定理1】kx1x2设一元二次方程ax2 bx c 0 ( a 0)的两实根为x1, x2，且x1 x20k为常 数。则一元二次方程根的 k分布(即x1, x2相对于k的位置)有以下若干定理。af (

4、k) 0A k 2a【定理2 x1 x2 kb2 4ac 0af (k)2a【定理3】xik x2af (k) 0。推论 1 x10 x2ac 0。推论 2 x11 x2a(a b c) 0。【定理4】有且仅有k1 x1(或x2)k2f(k1)f(k2)0【定理 5】k1x1k2 P1 x2P2a 0 a 0 f(k1) 0 f (k1) 0f(k2) 0 或 f(k2) 0f(P1) 0 f(d) 0f(P2) 0fg) 0此定理可直接由定理 4推出，请读者自证。,22b 4ac 0 b 4ac 0【定理6】k1xX2 k2a 0a 0f (k1) 0 或 f(k1)0f(k2) 0f(k2

5、) 0k1 k22ak1k22a、例题与练习【例5】已知方程x2 11xm 2 0的两实根都大于1,求m的取值范围。12 m吧)4次方程(m(3)若一例6范围。(2)(3).次方程1千 一或m2已知方程已知方程(12已知方程式：改为较小实根(4)若方程x2(5)若方程x2求k的取值范围。2mx (m2褥)mx2 (m1)x1)x2 mx2m2(m 2)x2)3222m0的两个实根都大于 -1 ,0的两实根都小于2,求m的取值范围。求m的取值范围。0有一根大于2,另一根比2小，求m的取值二)20有一实根在0和1之间，求m的取值范围。(m2)x2m0的较大实根在0和1之间，求实数m的取值范围。(不

6、可能;m 2)(k2)x2.3(k(6 )已知关于xk1一)20的两实根均在区间(1、1)内，求k的取值范围。2)x2k 1(-k2的方程(m0的两根中，一根在23)1)x2 2mx m20和1之间，另一根在1和2之间,1 ，求m的取值范围。m 6 0的两根为J7 或 2mJ7 )且满足【例7】已知关于x的二次方程x2+2m)+2n+1=0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(一1, 0)内，另一根在区间(1 , 2)内，求m的范围.(2)若方程两根均在区间(0, 1)内，求m的范围.本题重点考查方程的根的分布问题，解答本题的闪光点是熟知方程的根对于二次函数性质所 具有的意义.技巧与方法：设出

7、二次方程对应的函数，可画出相应的示意图， 然后用函数性质加以限制.解：(1)条件说明抛物线 内，画出示意图，得f(x)=x2+2m*2mH与x轴的交点分别在区间( 1, 0)和(1, 2)f(0) f( 1) f(1) f(2)2m24m6m10, 20,0, 012R,1256f(0) 0,(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0, 1)内，列不等式组 f(1) 0, 0,0 m 112,(这里0<nr1是因为对称轴x=- m应在区间(0 , 1)内通过)12,.2或m 1 . 2, m 0.1.若方程4x (m 3)?2x m 0有两个不相同的实根，求 m的取值范围。提示：令2x=t转化

8、为关于t的.次方程有两个不同的正实根。答案:0Vm <12.若关于x的方程 范围。ig(x220x) lg(8x6a3)0有唯一的实根,求实数a的取值提示：原方程等价于20x 02(M x 020x 8x 6a12x 6a 3令 f (x) = x2+12x+6a+311(1)若抛物线丫 = "*)与*轴相切，有 =1444(6 a+3)=0即a =11。2将a =11代入式有x =- 6不满足式，.aw11。22(2)若抛物线丫="*)与*轴相交，注意到其对称轴 为x =- 6,故交点的横坐标有且仅有一个满足式的充要条件f( 20) - f(0) 0.当回是0解得1

9、631a -。626另法：原方程等价于1 ，一时原方程有唯一解。22x +20x=8x 6a 3(x <20 或 x >0)d是方程f(x) =0的两根A、<a < b<B、a < < <b问题转化为：求实数a的取值范围，使直线y=8x 6 a 3与抛物线y = x2 +20 x ( x < 20或x >0)有且只有 一个公共点。虽然两个函数图像都明确，但在什么条件下它们有且 只有一个公共点却不明显，可将变形为 x2+12x+3=- 6a(x<20或x>0),再在同一坐标系中分别也作出抛 物线y = x2+12x+3和直线y =-6a ,如图，显然当 3<1631-6 a <163 IP a 时直线y= 6a与抛物线62有且只有一个公共点。3 .已知 f (x) =( x - a )( x-b)-2(a<b),并且(< ),则实数a , b,、 的大小关系是()<a< &