圆的切线性质定理

1、 直线和圆相交直线和圆相交 复习回顾复习回顾nd d r;r;nd d r;r;n 直线和圆相切直线和圆相切n 直线和圆相离直线和圆相离nd d r;r;直线与直线与圆圆的位置关系的位置关系量化量化揭密揭密OO相交相交O相切相切相离相离rrrddd切线的性质：切线的性质：1、圆的切线与圆只有一个公共点。、圆的切线与圆只有一个公共点。2、切线与圆心的距离等于半径、切线与圆心的距离等于半径(d=r)。切线还有什么性质呢？CDBOA探索探索切线切线性质性质 如图如图, ,直线直线CDCD与与OO相切于点相切于点A, A, 半径半径OAOA与直线与直线CDCD有怎样的位置关系有怎样的位置关系? ?说说

2、你的理由说说你的理由. . 半径半径OAOA垂直于直线垂直于直线CD.CD. 议一议议一议 驶向胜利的彼岸n老师期望老师期望:n圆的对称性已经在你心中落地生根圆的对称性已经在你心中落地生根.n小颖小颖的理由是的理由是: :n右图是轴对称图形右图是轴对称图形,OA,OA所在直线所在直线是对称轴是对称轴, ,n沿它对折图形时沿它对折图形时,AC,AC与与ADAD重合重合, ,因此因此,BAC=BAD=90,BAC=BAD=90. .CDOA探索切线性质探索切线性质 小亮小亮的理由是的理由是:OA:OA与与CDCD要么垂直要么垂直, ,要么不垂直要么不垂直. . 假设假设OAOA与与CDCD不垂直不

3、垂直, ,过点过点O O作一条直径垂直于作一条直径垂直于CD,CD,垂足为垂足为M,M, 议一议议一议 驶向胜利的彼岸n老师期望老师期望:n你能看明白你能看明白(或掌握或掌握)用反证法说理的过程用反证法说理的过程.n则则OMOA,OMOA,即圆心到直线即圆心到直线CDCD的距离的距离小于小于OO的半径的半径, ,因此因此,CD,CD与与OO相相交交. .这与已知条件这与已知条件“直线与直线与OO相相切切”相矛盾相矛盾. .CDOAn所以所以O OA A与与CDCD垂直垂直. .M切线切线的性质定理的性质定理 参考小颖和小亮的说理过程参考小颖和小亮的说理过程, ,请你写出这个命题请你写出这个命题

4、 定理定理 圆切直线垂直于过切点的半径圆切直线垂直于过切点的半径. . 议一议议一议 驶向胜利彼岸n老师提示老师提示:n切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据切线的性质定理是证明两线垂直的重要根据;作作过切点的半径是常用经验辅助线之一过切点的半径是常用经验辅助线之一.(连半径，连半径，得垂直）得垂直）n如图如图nCDCD是是OO的切线的切线,A,A是切点是切点,OA,OA是是OO的半径的半径, ,CDOA.CDOA.CDBOA一、切线的性质：一、切线的性质：1、圆的切线与圆只有一个公共点。、圆的切线与圆只有一个公共点。2、切线与圆心的距离等于半径、切线与圆心的距离等于半径(d=r)。3、圆的切

5、线垂直于过切点的半径。、圆的切线垂直于过切点的半径。二、辅助线的作法二、辅助线的作法 作过切点的半径作过切点的半径(连半径，得垂直）连半径，得垂直）切线切线的性质定理的应用的性质定理的应用 例题欣赏例题欣赏切线切线的性质定理的应用的性质定理的应用 1.1.直线直线BCBC与半径为与半径为r r的的OO相交相交, ,且点且点O O到直线到直线BCBC的距的距离为离为5,5,求求r r的取值范围的取值范围. 随堂练习随堂练习2.2.一枚直径为一枚直径为d d的硬币沿直线滚动一圈的硬币沿直线滚动一圈. .圆心经过的距离圆心经过的距离是多少是多少?.?.老师提示老师提示: :硬币滚动一圈硬币滚动一圈,

6、 ,圆心经过的路经是与直线平行的圆心经过的路经是与直线平行的一条线段一条线段, ,其长度等于圆的周长其长度等于圆的周长. .rBCO 切线的判定：切线的判定：1、直线与圆公共点的个数：、直线与圆公共点的个数：只有只有一个公共点。一个公共点。2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。还有其它方法吗？直线何时变为直线何时变为切线切线 如图如图,AB,AB是是OO的直径的直径, ,直线直线CDCD经过点经过点A,CDA,CD与与ABAB的夹角的夹角为为,当当CDCD绕点绕点A A旋转时旋转时, , 你能写出一个命题来表述这个事实吗你能写出一个命题来表述这个

7、事实吗? 议一议议一议 n1.1.随着随着的变化的变化, ,点点O O到到CDCD的距离的距离如何变化如何变化? ?直线直线CDCD与与OO的位置关系如的位置关系如何变化何变化? ?n2.2.当当等于多少度时等于多少度时, ,点点O O到到CDCD的距离等于半径的距离等于半径? ?此时此时, ,直线直线CDCD与与OO有的位置关系有的位置关系? ?有为什么有为什么? ?BOACDddd切线的切线的判定判定定理定理 定理定理 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是圆的切线. . 老师提示老师提示: 切线的判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根切线的

8、判定定理是证明一条直线是否是圆的切线的根据据;作过切点的半径是常用经验辅助线之一作过切点的半径是常用经验辅助线之一. 议一议议一议 CDBOAn如图如图nOAOA是是OO的半径的半径, ,直线直线CDCD经过经过A A点点, ,且且CDOACDOA, ,n CD CD是是OO的切线的切线. .切线的判定：切线的判定：1、直线与圆公共点的个数：、直线与圆公共点的个数：只有只有一个公共点。一个公共点。2、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即、圆心到直线的距离与半径的大小关系，即d=r。3、经过半径外端且垂直于、经过半径外端且垂直于这条半径这条半径的直线是圆的切线。的直线是圆的切线。切线切线判定判定

9、定理的应用定理的应用 1.已知已知OO上有一点上有一点A,A,你能过点你能过点A A点作出点作出OO的切线吗的切线吗? ? 做一做做一做n老师提示老师提示: :n根据根据“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线切线”只要连结只要连结OA,OA,过点过点A A作作OAOA的垂线即可的垂线即可. .O An2.已知已知OO外有一点外有一点P,P,你还能过点你还能过点P P点作出点作出OO的切线吗的切线吗? ?O P练习与巩固：练习与巩固：2、如图如图,在在ABC中中,AB=AC,BAC=120, A与与BC相切于相切于点点D,与与AB相交于点相交于

10、点E,则则ADE等于等于_ _度度. 1、如图，如图，A、B是是 O上的两点，上的两点，AC是是 O的切线，的切线，B=70，则则BAC等于（等于（ ）A. 70 B. 35 C. 20 D. 10?E?C?D?B?AOABC（2）（1）3、如图如图,在在OAB中中,OB：AB=3：2 , 0B=6， O与与AB相切相切于点于点A, 则则 O的直径为的直径为 。OAB（3）4、如图如图,PA、PB是是 O的切线的切线,切点分别为切点分别为A、B,且且APB=50,点点C是优弧上的一点是优弧上的一点,则则ACB=_.?P?O?C?B?A5、如图，如图， O的直径的直径AB与弦与弦AC的夹角为的夹

11、角为30，过，过C点的切线点的切线PC与与AB的延长线交于的延长线交于P，PC=5，则，则 O的半径为（的半径为（ ）A. B. C. 10D. 5 PABCO（5）（4）335635辅助线的作法：辅助线的作法：作过切点的半径作过切点的半径变式一：变式一：在在ABC中，中，AB=2，AC= ，以，以A为圆心，为圆心，1为半为半径的圆与边径的圆与边BC相切相切 ，则，则BC的长为的长为 。ABC6、在在ABC中，中，AB=2，以，以A为圆心，为圆心，1为半径的圆与边为半径的圆与边BC相切于点相切于点D ，则，则BD的长为的长为 。ABCD变式二：变式二：如图，点如图，点A是圆是圆O外一点，外一点

12、，OA=4，AB与圆相切于点与圆相切于点B，且，且AB=2 ，弦，弦BCOA，则，则BC的长为的长为 。AOBC7、如图如图,AB为为 O的直径，的直径，C为为 O上一点，上一点，AD和过和过C点的切点的切线互相垂直，垂足为线互相垂直，垂足为D，求证：，求证：AC平分平分DAB。AOBCD（7）8、如图如图,AB为为 O的直径，的直径，BC是是 O的切线，切点为的切线，切点为B，OC平行于弦平行于弦AD，求证：，求证：CD是是 O的切线。的切线。AOBCD（8）1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？ 圆心与半径圆心与半径2、角平分线的性质定理与判定定理、

13、角平分线的性质定理与判定定理性质：在一个角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的性质：在一个角的内部，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。距离相等。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。判定：到这个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。1.1.经过三角形三个顶点可以作一个圆。经过三角形三个顶点可以作一个圆。2.2.经过三角形各顶点的圆叫做经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形的外接圆。3.3.三角形三角形外接圆的圆心是三角形三边垂外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做直平分线的交点，叫做三角形的外心三角形的外心，这个三角形叫做这个三角形叫做这个圆的内接三角形这

14、个圆的内接三角形。三角形与三角形与圆圆的位置关系（回顾）的位置关系（回顾）BCOA性质:三角形的外心到三角形三三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等个顶点的距离相等 如图是一块三角形木料，木工师傅要如图是一块三角形木料，木工师傅要从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下从中裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？的圆的面积尽可能大呢？ABCABC 三角形的外接圆在实际中很有用三角形的外接圆在实际中很有用,但还但还有用它不能解决的问题有用它不能解决的问题.如如CBADFEOr思考下列问题思考下列问题：1如图，若如图，若 O与与ABC的两边相切，那么圆心的两边相切，那么圆心O的的位置有什

15、么特点？位置有什么特点？圆心圆心0在在ABC的平分线上。的平分线上。 2如图如图2，如果，如果 O与与ABC的内角的内角ABC的两边的两边相切，且与内角相切，且与内角ACB的两的两边也相切，那么此边也相切，那么此 O的圆的圆心在什么位置？心在什么位置？圆心圆心0在在BAC,ABC与与ACB的三个角的三个角的角平分线的交点上。的角平分线的交点上。 OMABCNO图图2AB C探究：三角形内切圆的作法探究：三角形内切圆的作法作法：作法： ABC1、作、作B、C的平分线的平分线 BM和和CN，交点为，交点为I。 I2过点过点I作作IDBC，垂足为，垂足为D。 3以以I为圆心，为圆心，ID为为半径作半

16、径作 I. I就是所求的圆。就是所求的圆。 MND试一试试一试: 你能画出一个三角形的内切圆吗你能画出一个三角形的内切圆吗?定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内内切圆切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的点，叫做三角形的内心内心，这个三角形叫做圆的，这个三角形叫做圆的外外切三角形切三角形。1.1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；三角形的内心到三角形各边的距离相等；性质性质：CBADFEOr2.2.三角形的内心在三角形的角平分线上；三角形的内心在三角形的角平分线上； 1.如图如图1，ABC

17、是是 O的的 三角形。三角形。 O是是ABC的的 圆，圆， 点点O叫叫ABC的的 ， 它是三角形它是三角形 的交点。的交点。外接外接内接内接外心外心三边中垂线三边中垂线2.如图如图2，DEF是是 I的的 三角形，三角形， I是是DEF的的 圆，圆， 点点I是是 DEF的的 心，心， 它是三角形它是三角形 的交点。的交点。ABCO图图1IDEF图2外切外切内切内切内内三条角平分线三条角平分线 3. 三角形的内切圆能作三角形的内切圆能作_个个,圆的外切三角形有圆的外切三角形有_ 个个,三角形的内心在三角形的三角形的内心在三角形的_. 思考下列问题思考下列问题：1如图，若如图，若 O与与ABC的两边

18、相切，那么圆心的两边相切，那么圆心O的的位置有什么特点？位置有什么特点？圆心圆心0在在ABC的平分线上。的平分线上。 2如图如图2，如果，如果 O与与ABC的内角的内角ABC的两边的两边相切，且与内角相切，且与内角ACB的两的两边也相切，那么此边也相切，那么此 O的圆的圆心在什么位置？心在什么位置？圆心圆心0在在BAC,ABC与与ACB的三个角的三个角的角平分线的交点上。的角平分线的交点上。 OMABCNO图图2AB C探究：三角形内切圆的作法探究：三角形内切圆的作法作法：作法： ABC1、作、作B、C的平分线的平分线 BE和和CF，交点为，交点为I。 I2过点过点I作作IDBC，垂足为，垂足

19、为D。 3以以I为圆心，为圆心，ID为为半径作半径作 I. I就是所求的圆。就是所求的圆。 EFD试一试试一试: 你能画出一个三角形的内切圆吗你能画出一个三角形的内切圆吗? 这样的圆可以作出几个呢这样的圆可以作出几个呢? ?为什么为什么?.?.n直线直线BEBE和和CFCF只有一个交点只有一个交点I,I,并且点并且点I I到到ABCABC三边的距离相三边的距离相等等( (为什么为什么?),?),n因此因此和和ABCABC三边都相切的三边都相切的圆可以作出一个圆可以作出一个, ,并且只能并且只能作一个作一个. .IEFDABC定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的定义：和三角形各边都相切的圆叫

20、做三角形的内内切圆切圆，内切圆的圆心叫做三角形的，内切圆的圆心叫做三角形的内心内心，这个三，这个三角形叫做圆的角形叫做圆的外切三角形外切三角形。1.1.三角形的内心到三角形各边的距离相等；三角形的内心到三角形各边的距离相等；性质性质：CBADFEOr2.2.三角形的内心在三角形的角平分线上；三角形的内心在三角形的角平分线上；n分别作出锐角三角形分别作出锐角三角形, ,直角三直角三角形角形, ,钝角三角形的内切圆钝角三角形的内切圆, ,并说并说明与它们内心的位置情况明与它们内心的位置情况? ?n提示提示: :先确定圆心和半径先确定圆心和半径, ,尺规尺规作图要保留作图痕迹作图要保留作图痕迹. .ABCABCCAB 1.如图如图1，ABC是是 O的的 三角形。三角形。 O是是ABC的的 圆，圆， 点点O叫叫ABC的的 ， 它是三角形它是三角形 的交点。的交点。外接外接内接内接外心外心三边中垂线三边中垂线2.如图如图2，DEF是是 I的的 三角形，三角形， I是是DEF的的 圆，圆， 点点I是是 DEF的的 心，心， 它是三角形它是三角形 的交点。的交点。AB