椭圆讲义(学生版)

1、椭圆讲义1、平面内与两个定点F1 ， F 2 的距离之和等于常数（大于F1 F 2 ）的点的轨迹称为椭圆这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上图形标准方程x2y21 ab0y2x21 ab 0a2b2a2b2范围ax a 且 b y bb x b 且 a y a1a,0、2a,010,a 、20,a顶点10, b 、20,b1b,0、2b,0轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点F1c,0、 F2c,0F10,c、 F20,c焦距F1F22c c2a2b2对称性关于 x 轴、 y 轴、原点对称c1 b2离心率e20e1aa准

2、线方程xa2ya2cc3 、设是椭圆上任一点，点到 F1 对应准线的距离为d1 ，点到 F2 对应准线的距离为d2 ，则F1F2e d1d2四、常考类型类型一：椭圆的基本量1指出椭圆 9x 24 y236 的焦点坐标、准线方程和离心率.高中数学举一反三：【变式 1】椭圆 x 2y 21上一点 P 到椭圆一个焦点的距离为3，则 P 到另一个焦点的距离2516=_【变式2】椭圆 x 2y 21 的两个焦点分别为 F1、 F2 ，过 F2 的直线交椭圆于A、B 两点，则 ABF11625的周长 C ABF =_.1【变式3】已知椭圆的方程为x 2y 21，焦点在 x 轴上，则 m的取值范围是（）。1

3、6m2A 4 m 4 且 m 0B 4 m4 且 m 0C m 4 或 m 4D 0 m 4【变式4】已知椭圆22 6m=0的一个焦点为（ 0， 2），求 m的值。mx +3y类型二：椭圆的标准方程2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程：（ 1）两个焦点的坐标分别是（4， 0）、（4， 0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10；（ 2）两个焦点的坐标是（0， 2）、（ 0， 2），并且椭圆经过点35-， 。22举一反三：【变式 1】两焦点的坐标分别为0,4 ，0，- 4 ，且椭圆经过点 （5,0）。【变式 2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆x2y23，91有相同的焦点，并且经过点（42），

4、求此椭圆的方程。高中数学3求经过点P（ 3， 0）、Q（ 0， 2）的椭圆的标准方程。举一反三：【变式】已知椭圆经过点P（ 2， 0）和点 Q(1, 33 ) ，求椭圆的标准方程。24求与椭圆4x2+9y2=36 有相同的焦距，且离心率为5 的椭圆的标准方程。5【变式 1】在椭圆的标准方程中，则椭圆的标准方程是（）A x2y 21B y2x21C x 2y21D以上都不对3635363536【变式 2】椭圆过（ 3， 0）点，离心率 e6，求椭圆的标准方程。3【变式 3】长轴长等于20，离心率等于3 ，求椭圆的标准方程。5【变式 4】已知椭圆的中心在原点，经过点P（ 3，0）且 a=3b，求椭

5、圆的标准方程。类型三：求椭圆的离心率或离心率的取值范围5已知椭圆一条准线为yx4 ，相应焦点为 （1，-1），长轴的一个顶点为原点O ，求其离心率的取值。举一反三：【变式 1】椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( )A.33C.36B.D. 不确定32【变式2】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）高中数学【变式 3】椭圆 x2y 21上一点到两焦点的距离分别为，焦距为，若成等差数列，a2b2则椭圆的离心率为_。【变式4】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于_。6已知椭圆 x2

6、y 21（ ab 0 ）， F1， F2 是两个焦点，若椭圆上存在一点P，使 F1PF22，a2b 23求其离心率的取值范围。举一反三：【变式1】 已知椭圆x2y21（ab 0）与x轴的正半轴交于A0是原点，若椭，a2b 2圆上存在一点M，使 MA MO，求椭圆离心率的取值范围。【变式 2】已知椭圆 x2y 21（ ab 0 ），以，为系数的关于的方程无a2b2实根，求其离心率的取值范围。类型四：椭圆定义的应用 7若一个动点 P（ x， y）到两个定点 A（ 1， 0）、 A（ 1， 0）的距离的和为定值 m（ m>0），试求 P 点的轨迹方程。举一反三：【变式 1】下列说法中正确的是（

7、）A平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹叫做椭圆B平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一条线段C平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹是一个椭圆或者是一条直线D平面内与两个定点的距离和等于常数的点的轨迹存在，则轨迹是一个椭圆或者是一条线段【变式 2】已知 A（ 0， 1）、B（ 0，1）两点， ABC的周长为6，则 ABC的顶点 C 的轨迹方程是（）高中数学ABCD【变式 3】已知圆，圆 A 内一定点B（ 2，0），圆 P 过 B 点且与圆A 内切，求圆心P 的轨迹方程。类型五：坐标法的应用9 ABC的两个顶点坐标分别是B（0， 6）和 C（0， 6），另两边AB、 AC的斜

8、率的乘积是 - 4 ，求顶点 A 的轨迹方程。9举一反三：【变式 1】已知 A、B 两点的坐标分别为（0， 5）和（ 0，5），直线 MA与 MB的斜率之积为 - 4，9则 M的轨迹方程是（）A x2y 21B x 2y 2（1 x5）251002510099C x 2y21D x2y 21（ x0 ）2252522525444【变式 2】 ABC两顶点的坐标分别是B（ 6， 0）和 C（ 6，0），另两边AB、 AC的斜率的积是-，9则顶点的轨迹方程是（）ABCD【变式 3】已知 A、 B 两点的坐标分别是（1，0）、（ 1， 0），直线 AM、 BM相交于点M，且它们的斜率之积为 m（m

9、0），求点 M的轨迹方程并判断轨迹形状。五、典型例题例 1 已知椭圆 mx23y26m0 的一个焦点为（0， 2）求 m 的值高中数学例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P 3，0 ， a3b ，求椭圆的标准方程例 3ABC 的底边 BC16 ， AC 和 AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹例 4 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为4 5 和 2 5 ，过 P 点作焦点33所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程例 5x2y21 ab 0 ，长轴端点为 A1 ， A2，焦点为 F1 ， F2 ， P 是椭圆上一点，已

10、知椭圆方程b2a2A1PA2， F1 PF2求：F1PF2 的面积（用 a 、 b 、表示）例 6 已知动圆 P过定点 A3，0，且在定圆 B：x 3 2y264 的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程22例 7 以椭圆 xy1的焦点为焦点，过直线l： xy90 上一点 M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴123最短，点 M 应在何处？并求出此时的椭圆方程例 8 已知方程x2y2k 的取值范围k 531表示椭圆，求k高中数学例 9 已知 x2 siny2 cos1 (0) 表示焦点在y 轴上的椭圆，求的取值范围例 10求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过A(3 ,2) 和 B( 2 3 , 1)

11、 两点的椭圆方程例 11知圆 x 2y2 1 ，从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段，求线段中点 M 的轨迹例 12椭圆 x2y 21上的点 M 到焦点 F1 的距离为2， N 为 MF1 的中点，则 ON （ O 为坐标原点） 的259值为 A4B2C8D 32例 13在面积为1 的PMN 中， tan M12 ，建立适当的坐标系，求出以M 、N为焦点， tanN2且过 P 点的椭圆方程高中数学六、课后练习x2y21的焦点坐标为1椭圆2516（A）(0, ±3)（B） (± 3, 0)（ C） (0,± 5)（D）(±4, 0)2在方程 x2y2

12、1 中，下列 a, b, c 全部正确的一项是10064（ A） a=100, b=64, c=36 （ B） a=10, b=6, c=8（ C） a=10, b=8, c=6（D） a=100, c=64, b=363已知 a=4, b=1，焦点在 x 轴上的椭圆方程是（ A） x2y21（ B） x2 y21 （ C） x2y21 （ D） x2y214416164已知焦点坐标为(0, 4), (0, 4)，且 a=6 的椭圆方程是x2y2x2y2x2y2x2y21（ A）201 （B）361 （C）1 （D）1636362036165若椭圆x2y26，则点 P 到另一个焦点F2 的距离是1 上一点 P 到焦点 F1 的距离等于100 36（ A） 4 （B） 194 （C） 94 （ D） 146已知 F1, F2 是定点， | F1 F2|=8,动点 M 满足 | M F1|+| M F2|=8 ，则点 M 的轨迹是（ A）椭圆（ B）直线（ C）圆（ D）线段7若 y2 lga· x2= 1 a 表示焦点在x 轴上的椭圆，则a 的取值范围是.38当 a+b=10, c=25 时的椭圆的标准方程是.9已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向 x 轴作垂线段PP，则线段 PP的中点 M 的轨迹方程为.10经过点 M (3 , 2), N(