极值点偏移问题专题

1、学习资料收集于网络，仅供参考极值点偏移问题专题（0 ） 偏移新花样（拐点偏移）例 1 已知函数 fx2ln xx2x ，若正实数 x1 ， x2 满足 f x1 +f x2 =4 ，求证 : x1x22 。证明： 注意到 f1=2 ， fx1 +fx2=2f 1fx1 +fx2=2f1fx =210+2xxfx =22 ， f 1 =0 ，则（ 1,2 ）是 f x 图像的拐点， 若拐点（ 1,2 ）也是 fx 的x2对称中心，则有x1x2 =2 ，证明 x1x2 2 则说明拐点发生了偏移，作图如下想到了“极值点偏移”，想到了“对称化构造”，类似地，不妨将此问题命名为“拐点偏移”，仍可用“对称

2、化构造”来处理不妨设 0x11x2 ，要证x1x22x22x11fx2f2 x14fx1f2x14fx1f2x1Fxfxf2x， x0,1 ，则Fxfxf2x22x122 2x 1x2x学习资料学习资料收集于网络，仅供参考14 1 x1 0 ，x 2x得 Fx 在 0,1上单增，有 F xF1 2 1 4，得证。2 、极值点偏移PK 拐点偏移常规套路1 、 极值点偏移（fx00 ）二次函数fx1fx2x1x22x0fx1fx2x2 2x0 x1x1x22x02 、拐点偏移fx00f x1 f x2 2 f x0f x1f x2 2 f x0x2 2x0 x1x1 x2 2x0x2 2x0x1极

3、值点偏移问题专题（1 ） 对称化构造（常规套路）例 1 （ 2010 天津）已知函数fxxe x （ 1 ）求函数 f x 的单调区间和极值；（ 2 ）已知函数 g x 的图像与 f x 的图像关于直线 x 1 对称，证明：当 x 1 时，学习资料学习资料收集于网络，仅供参考fxg x ；（3 ）如果 x1x2 ，且 fx1fx2，证明：x1x22点评 ：该题的三问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法对称化构造的全过程，直观展示如下：例 1 是这样一个极值点偏移问题：对于函数f x xe x ，已知 f x1f x2 ， x1x2 ，证明 x1 x2 2 再次审视解题过程

4、，发现以下三个关键点：学习资料学习资料收集于网络，仅供参考（1 ） x1 ， x2 的范围 0x1 1 x2 ；（2 ）不等式fxf2xx1 ；（3 ）将 x2 代入（ 2 ）中不等式，结合fx 的单调性获证结论把握以上三个关键点，就可轻松解决一些极值点偏移问题例 2（ 2016新课标卷）已知函数 f xx 2 ex2a x 1 有两个零点（1 ）求 a 的取值范围；（2 ）设 x1 ， x2 是 fx 的两个零点，证明：x1x22 解：（ 1 ）0,，过程略；（2 ）由（ 1）知 fx 在,1 上，在 1,上，由 f x1f x2 0 ，可设x1 1 x2 构造辅助函数Fxfxf2xF xf

5、xf 2xx 1ex2a1 x e2x2ax 1exe2x当 x 1时，x 10 ，exe2 x0 ，则 F x0 ，得 F x 在,1 上，又F 10 ，故 F x0 x 1 ，即 f xf 2 x x1 将 x1 代入上述不等式中得f x1f x2 f2 x1 ，又 x21， 2 x11， f x 在学习资料学习资料收集于网络，仅供参考1,上，故 x12x1 ， x1x22 通过以上两例，相信读者对极值点偏移问题以及对称化构造的一般步骤有所了解但极值点偏移问题的结论不一定总是xx22x0，也可以是x x2x2，借鉴前面110的解题经验，我们就可给出类似的过程例 3已知函数 fxx ln x

6、 的图像与直线ym 交于不同的两点Ax1, y1， Bx2 , y2 ，求证： x1 x21e2证明：（ i ）fxln x，得在 0,1上，在1 ,上；当0x 1时，1f xeef x0 ； f10；当 x1 时， fx0 ；当 x0 时， fx0（洛必达法则） ；当 x时， fx，于是 fx的图像如下，得 0 x11x21 e学习资料学习资料收集于网络，仅供参考小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：step1 ：求导，获得 fx 的单调性， 极值情况， 作出 fx 的图像，由 fx1fx2得 x1 ，x2 的取值范围（数形结合） ；step2 ：构造辅助函数（对结论x1x22x0 ，构造 Fxfxf2x0x ；对结2论 x1 x2x02