2017届高考数学大一轮复习第六章不等式与推理证明6.7数学归纳法课时规范训练理北师大版

1、【高考领航】2017 届高考数学大一轮复习第六章不等式与推理证明 6.7 数学归纳法课时规范训练理北师大版A 级基础演练1.(2016 银川模拟)用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”的 第二步是()A.假使n= 2k+ 1 时正确，再推n= 2k+ 3 正确(kN+)B.假使n= 2k 1 时正确，再推n= 2k+ 1 正确(kN+)C.假使n=k时正确，再推n=k+ 1 正确(k N+)D.假使nwk(k 1)时正确，再推n=k+ 2 时正确(k N+)解析：因为n为正奇数，根据数学归纳法证题的步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，即假设n= 2k 1 时正确，再推

2、第k+ 1 个正奇数，即n= 2k+ 1 时正确.答案：B11112.(2016 广州模拟)已知f(n) =-+=，则()n n+1n+ 2n11A.f(n)中共有n项，当n= 2 时，f(2) = + 311 1B.f(n)中共有n+ 1 项，当n= 2 时，f(2) = - + -+ 423421 1C.f(n)中共有nn项，当n= 2 时，f(2) = -+-111D.f(n)中共有n2n+ 1 项，当n= 2 时，f(2) = - + 3+ 41 1 12解析：将f(n)变形得f(n) =-+2，故项数为nn+1；当n= 2nn+ 1n+nn养111时，f(2)= 2+3+4-答案：D

3、3 . (2016 襄阳模拟)用数学归纳法证明等式 1 + 2 + 3 + (n+ 3)=A. 1B. 1 + 2C. 1+ 2 + 3D. 1 + 2 + 3+ 4解析：当n= 1 时，左边是答案：D1 + 2+ 3+ 4，是由 1 加到n+ 3,故选 D.n= 1 时，左边应取的项是(n N+)时，第一步验证2()4.用数学归纳法证明当n N+时 1 + 2+ 22+ 23+ 25n1是 31 的倍数时，当n= 1 时原3式为_ ，从k+ 1 时需增添的项是 _.解析：把n=k,n=k+ 1 相比较即可得出.答案：1 + 2+ 22+ 23+ 2425k+ 25k+1+ 25k+2+ 25

4、k+3+ 25k+45 夏天吃西瓜，把西瓜横切一刀竖切一刀，吃完后就剩下4 块皮，依次类推，如果西瓜被横切n刀竖切n刀(横切n刀切面互相平行， 竖切n刀切面互相平行)， 剩下的西瓜皮数 记为f(n),贝 Uf(3) =_ ;f(n) =_ .(答案用n表示)解析：归纳猜想，寻找递推关系显然f(1) = 4,f(2) = 9+ 1 ,f(3) = 16+ 4 = 20,2 2 2f(4) = 25+ 9，f(n) = (n+ 1) + (n- 1) = 2(n+ 1) 2答案：202(n+1)2f n6.f(n+ 1) =f n*2,f(1) = 1(n N+)，猜想f(n)的表达式为 _ 2f

5、12解析：f(2) = =3；22f 22X32f(3)= f ?+ 2 =厂=4；2an17. (2016 东北三校联考)已知数列an的前n项和S满足：S=-+ 1,且an0,2n N+.(1) 求a1,a2,a3，并猜想an的通项公式；(2) 证明通项公式的正确性.解：(1)当n= 1 时，a112由已知得a1= ：+ 1,a1+ 2a1 2= 0.2a1a1= .?3 1 或a1= -/3 1(舍去).r,321当n= 2 时，由已知得31+32=二+ 1,2a2f(4)2 25；猜想f(n)=.答案：f(n)=2n+ 14将a1= 3 1 代入并整理得a2+ 2 3a2 2= 0.a2

6、=：5.：3或a2= 5 3(舍去).5同理可得a3=7 5.由ai,82,a3,猜想cin =n+1 、.j2n 1(nN+).证明：由(1)的计算过程知，当n= 1,2,3 时，通项公式成立.假设当n=k(k3,k N+)时，通项公式成立，即ak=、.j2k+ 1 /2k 1.将ak=p2k+ 1 寸 2k 1 代入上式并整理得ak+1+ 2 件 +1ak+1 2 = 0,解得：ak+1=2k+ 3 2k+ 1或ak+1= /2k+ 3 2k+ 1(舍去).即当n=k+ 1 时，通项公式也成立.由和，可知对所有n N+,an=寸 2n+ 12n 1 都成立.&已知函数f(x)的定义

7、域为0,1，且同时满足：f(1) = 3;f(x)2对一切x0,1恒成立；若X1 0,X2 0,X1+X2f(X1) +f(X2) 2.(1) 求函数f(X)的最大值和最小值；(2) 试比较f1与加 2(n N)的大小；匕丿21(3) 某同学发现：当x=歹(n N)，有f(x)v2x+ 2,由此他提出猜想：对一切x (0,1,都有f(x)v2x+ 2,请你判断此猜想是否正确，并说明理由.解：(1)设X1,X2 0,1 ,X1VX2,则X2X1 (0,1.二f(X2)=f(X2X1)+X1 f(X2 x +f(X1) 2,f(X2) f(X1) f(X2X1) 20, f(x”wf(X2)，故当

8、 0wxwi时， f(0)wf(x)wf(1),当x= 1 时，f(x)取得最大值f(1) = 3;又f(0)=f(0+0)2f(0)2?f(0)W2而f(0)2,- f(0)=2,当x= 0 时，f(x)取得最小值f(0) = 2.令X1=X2= 2，得f 2f i* 2,那么由ak+1=S2 2+ 2= 2+ 2,f(x)v2x+2,综上所述，对任意x (0,1 ,f(x)v2x+ 2 恒成立.B 级能力突破下列代数式(其中k N+)能被 9 整除的是()kk 16 + 6 7B. 2+ 7解析：.当n=k时，31+ 52k+1能被 8 整除.那么当n=k+ 1 时，34k+5+ 52k+

9、3= 52(34k+1+ 52k+1) 5234k+1+ 34k+ 5= (34 52)34k+1+ 52(34k+1+ 52k+1) = 56”1+ 25(34k+1+ 52k+1)，故选 A.答案：A1.A.C.2(2 + 7k+1)D. 3(2 + 7k)当k= 1 时，显然只有 3(2 + 7k)能被 9 整除.k=n(n N+)时，命题成立，即 3(2 + 7)能被 9 整除，那么 3(2 + 7n+1) = 21(2解析：(2)假设当+ 7n) 36.这就是说,k=n+ 1 时命题也成立.由(2)知，命题对k N+成立.答案：D2. (2016 武汉模拟)用数学归纳法证明34n+1

10、+ 52n+1(n N+)能被 8 整除时，当n=k+ 1时，对于 34(k+1)+1+ 52(k+1)+1A.B.可变形为()4k + 14k + 12k+ 1、56 3+25(3+5)424k + 12 2k3 3+5 5C.4k + 1 2k + 13+ 5D.4k + 1_2k+ 125(3+ 5)由(2)得：f(x)wf12+2,又f(x)wf12+2,83 . (2016 上海交大附中模拟)用数学归纳法证明(n+ 1)(n+ 2)(n+n)=2n 1 3(2n 1)，从k到k+ 1,左边需要增乘的代数式为()2k+ 12k+ 3C.D.k+ 1k+ 1解析：当n=k时，左边为(k+

11、1)(k+ 2) -(k+k)，而当n=k+ 1 时，左边=(k+ 2)(k+ 3)(k+k)(k+ 1+k)(k+1 +k+ 1) = (k+ 2)(k+ 3) (k+k)(2k+ 1)(2k+ 2),9k+| W左边增乘的式子为一七+1= 2(2k+ 1).答案：B1 1 14. (2016 山东济南模拟)用数学归纳法证明1 + ：+ +vn(n N+,且n 1),232 1第一步要证的不等式是 _.1 11111解析：当n= 2 时，左边=1 + + = 1+;+了，右边=2,故填 1+;+： 2.22 123231 1答案：1 + + 3v21 1 1 15. （2015 宜城模拟）利

12、用数学归纳法证明不等式帚+2 +齐+ 2（门 1，nN+）的过程中，用n=k+1 时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为 _ .1 1 1解析：当n=k时，左边的代数式为+ ，而当n=k+ 1 时，k+ 1k+ 2k+k. 1 1 1 1 1 1左边的代数式为k+ 1+ 1+k+ 1 + 2+k+ 1 +k 1+k+1+k+k+ 1 +k+ 1=k+2+1111相减曰 111 _1_k+ 3 十十k+k+2k+ 1+2k+ 2，相减是 2k+ 1+2k+ 2k+ 1=2k+12k+ 2.答案：2k+ 112k+ 2111n6.已知f(n)=1+尹3+n(nN，用数学归纳法证明f(2n)尹，f(2k+1)-f(2k)k+,11 1111111解析：Tf(2)=1+2+3+4+k+k+ 1+2k+2k+ 1+2k+ 2+2k+1,k1 11111f(2 )=1+2+3+4+k+k+1+尹A. 2k+ 1B. 2(2k+ 1)9f (23) -f(2)= 2k+ 1+2k+ 2+. 1 1 1答案：2+1+邛+尹10n11117.用数学归纳法证明：1 + 2w1 +空+ 3+ 2 2 十n(nN+). . . 1 , ,、 1证明：(1)当n= 1 时，左式=1 +右式=2 + 1，3132 三 1 +三 2，即命题成立.k1111假设