成人高考讲义(九)

1、成人高考讲义（九）第九章 平面解析几何一、曲线与方程若一条曲线对应于方程。如一条直线对应于方程Ax+By+C=0；又如一条抛物线对应于方程+c。有： 曲线上每一点的坐标（，），代入方程后方程都成立； 方程的每一组解、，所表示的点都在曲线上。 那么我们把这条曲线叫做这个方程的曲线，反过来。这个方程叫做这条曲线的方程。1、求曲线的交点： 有了上面的概念，则求两条曲线的交点，就是求这两个曲线方程联立的方程组得解。 例1 求两条曲线和的交点. 解：由方程组解得 所以它们的交点为（-7，）和（1，）. 2、已知曲线上点的坐标，求曲线方程： 这种问题在计算上稍微麻烦一些，但主要方法是采用待定系数法。就是首

2、先设出方程的一般形式，然后利用解方程组得办法求出待定系数，在将求出的待定系数代回所设方程即可。例2 设一次函数的图像经过点（1, 7）和（0, 2），求直线的方程. 解：设一次函数为+. 由题意的方程组 解方程组得=5，b=2 这个一次函数是5+2所以直线方程为5-+2=0二、直线 这一部分主要是建立直线方程。 1、直线的倾斜角和斜率： 直线的倾斜角 把直线向上的方向与x轴的正方向 所成的角叫做直线的倾斜角，记作：. 如图 直线的倾斜角是，且0°90°； 直线的倾斜角是，且90°180°； 直线的倾斜角是，且=0°； 直线的倾斜角是，且=90&

3、#176;。 直线的倾斜角的取值范围是 0°180°。 直线的斜率 我们把直线倾斜角的正切值叫做直线的斜率，并记为k，即 k=tan 因为直线的倾斜角=90°，又因为在正切函数中角是不能等于90°，所以当直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在。这就是说每一条直线都有倾斜角，但是不是每一条直线都有斜率。 如果已知直线上两点A（，），B（，），则该直线的斜率 K= . 如果已知直线方程是Ax+By+C=0，则该直线的斜率 K= 所以，直线的斜率可以通过、和 三种公式求得。 2、 重要的的直线方程形式： 名称已知条件方程形式说明点斜式直线的斜率k和直线上一点p（，

4、）与x轴垂直的直线不能用此公式两点式直线上两点A（，），B（，）与x轴、y轴平行的直线不能用此公式斜截式直线的斜率k和直线与y轴交点（0，b）+与x轴垂直的直线不能用此公式一般式已知A、B、CAx+By+C=0A、B不能同时为0特殊式平行于y轴且过点（，0）X=K=0平行于x轴且过点（0，b）y=bK不存在 根据题中所给的条件，代入表中对应的公式，就可以求出直线的方程。 3、两条直线的位置关系： 由图形我们可以看出当两条直线平行时，它们的倾斜角是相等的，所以它们的斜率也相等；当两条直线垂直时，它们的倾斜角互补，所以它们的斜率互为负倒数。即 若，则，反之也成立； 若，则，即，反之也成立。 4、点

5、到直线的距离： 直线：Ax+By+C=0外有一点P（，）， 则p点到直线的距离d为 例3 求过点P（1,2），且与直线：平行的直线方程. 解：已知直线的斜率 k=-2，又因为所求直线与平行 所以所求直线的斜率等于-2 由直线方程的点斜式可得 化简后的所求直线的方程为. 例4 求过点P（1,2），且与直线：垂直的直线方程. 解：已知直线的斜率 k=-2，又因为所求直线与垂直 所以所求直线的斜率等于 由直线方程的点斜式可得 化简后的所求直线的方程为.三、 圆 1、定义：在平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆。 2、方程： P 标准方程 圆心在C（，），半径为，则 该圆的方程是 圆心在原点

6、，半径为，则 该圆的方程是 一般方程 +D+E+F=0 （0） 圆心坐标是（，）， 半径=练习题：圆2+2=的半径为 建立圆的方程 我们还是采用待定系数法，通过题中已知条件，列方程组求出，后，代入中或列方程组求出D、E、F 后，带入+D+E+F=0中即可。 例5、已知的圆心在坐标原点，与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，|AB|=2. 求的方程； 解: 如图|AB|=2. 由题意可知OA=OB=， 在三角形OAB中 即 22=8， =2 又圆心在坐标原点 所以圆的方程为 3、圆与直线： 圆与直线的位置关系有三种：若直线与圆相割，则圆心到直线的距离小于半径；或直线方程和圆的方程联立的方程

7、组 有两解。若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径；或直线方程和圆的方程联立的方程组 有一解。 若直线与圆相离，则圆心到直线的距离大于半径；或直线方程和圆的方程联立的方程组 无解。 练习题：圆2+2=25的圆心到直线+1=0的距离为 . 例6 圆2+2=与直线+2=0相切，求.解法一：因为圆心为（0,0），半径为 由圆心到直线的距离=因为 = 所以=2.解法二：由方程组变形得 2因为直线与圆相切，所以方程只有一解 即16-4×2（4-）=0 =2.四、椭圆 1、定义：在平面内与两个定点的距离的和等于定长（大于） 的点的轨迹叫做椭圆。 其中叫做椭圆的焦点， 图1 叫焦距 2、标准方

8、程： 如图1，取过焦点的直线为x轴，线段的中点为原点，建立直角坐标系，则这种椭圆的方程是 .如图2，取过焦点的直线为y轴，线段 图2 的中点为原点，建立直角坐标系，则这种椭圆的方程是 . 方程中，设M（）表示椭圆上任一点的坐标，我们设 ， =2c （0，0，） 3、椭圆的有关元素： 对称性：关于x轴y轴对称. 顶点：椭圆与x轴、y轴共有四个交点 ，这四个交点叫椭圆的顶点，他们的坐标如 （焦点在x轴上） 下： A（-，0） A（，0） B（0，-b） B（0，b） 焦点：椭圆有两个焦点：F（-c，0） F（c，0） 轴：椭圆有长轴和短轴：A A=2为长轴； B B=2b为短轴； =2c为焦距 .

9、 ，的关系： （一定要注意）. 离心率：离心率的大小反映了椭圆的扁平程度。 =. 准线：椭圆有两条准线，它是当初画椭圆用的，其方程为 . 焦点在y轴上的椭圆除了顶点坐标，焦点坐标，准线方程有变外，其它元素和焦点在x轴上椭圆一样。4、建立椭圆方程： 因为椭圆的标准方程中有两个参数、，我们要建立一个椭圆的方程，只需要求出，后带入标准方程就可以了。但是要注意的带入前还要判断椭圆的标准方程是哪一种形式的。另外，在求，时需要c，一定要注意使用这个关系式。练习题：1、设椭圆的方程为，则该椭圆的离心率为（ ）.（A） （B） （C） （D）2、已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴一个端点的距离为（ ）

10、.（A）8 （B）6 （C）4 （D）23、平面上到两个定点F1（-1，0），F2（1，0）的距离之和为4的点的轨迹方程为（ ）.（A） （B） （C） （D）2=2五、双曲线 1、定义：在平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于定长（小于）的点的轨迹叫双曲线。 其中叫做双曲线的焦点， 图1 叫焦距 2、标准方程： 如图1，取过焦点的直线为x轴，线段的中点为原点，建立直角坐标系，则这种双曲线的方程是 .如图2，取过焦点的直线为y轴，线段 图2 的中点为原点，建立直角坐标系，则这种双曲线的方程是 . 方程中，设M（）表示双曲线上任一点的坐标，我们设 ， =2c （0，b0，） 3、双曲线的有关元素

11、： 对称性：关于x轴y轴对称. 顶点：双曲线与x轴有两个交点 ，这两个交点叫双曲线的顶点，他们的坐标如 （焦点在x轴上） 下： A（-，0） A（，0） 双曲线的图形上还有 B（0，-b），B（0，b）这两个点，但它们不是双曲线的顶点。 焦点：双曲线有两个焦点：F（-c，0） F（c，0） 轴：双曲线有实轴和虚轴：A A=2为实轴； B B=2b为虚轴； =2c为焦距 . ，的关系： （一定要注意c，没有大小之分）. 离心率：离心率的大小反映了双曲线的扩张程度。 =. 准线：双曲线有两条准线，它是当初画双曲线用的，其方程为 .渐近线：双曲线有两条渐近线，其方程为.焦点在y轴上的双曲线除了顶点坐

12、标，焦点坐标，准线方程、渐近线方程有变外，其它元素和焦点在x轴上双曲线一样。4、建立双曲线方程： 因为双曲线的标准方程中有两个参数、，我们要建立一个双曲线的方程，只需要求出，后带入标准方程就可以了。但是要注意的带入前还要判断双曲线的标准方程是哪一种形式的。另外，在求，时需要c，一定要注意使用这个关系式。练习题：焦点在（-2，0），（2，0）的双曲线的渐近线为 （）求双曲线的方程；（）求双曲线的离心率. 例7 已知椭圆的离心率为，且该椭圆与双曲线 焦点相同，求椭圆的标准方程和准线方程. 解：由双曲线可知 则 c= 因为椭圆与双曲线焦点相同，椭圆中的c= 椭圆的离心率 =， =3 在由 得出=4

13、由题意可知椭圆的焦点在x轴上， 所以椭圆的标准方程为. 准线方程为=±.六、抛物线 1、定义：在平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。这个定点F叫抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线。 2、标准方程：以过F点且垂直于的直线为x轴，设x轴与的交点为K，以线段PK的中点为原点，建立直角坐标系。我们设=，则可以退出该抛物线的标准方程为 （0）. 这个方程就是顶点在原点，焦点在x轴上，开口向右的抛物线的标准方程。 因为我们设了 =，所以它的焦点F（，0），准线方程为 =-. 由于顶点F与定直线的位置可以有四种情况：F在右在左；F在左在右；F在上在下；F在下在上；所以

14、造成了抛物线开口向右、开口向左、开口向上和开口向下四种，上面我们是推导了一种，还有其它3种如下： 标准方程： 焦点坐标：F（-，0） F(0，) F（0，-） 准线方程；=. =-. =. 3、抛物线的性质： 范围：抛物线的图像在y轴的右侧； 抛物线的图像在y轴的左侧； 抛物线的图像在x轴的上方； 抛物线的图像在x轴的下方. 对称性：抛物线和是关于x轴对称； 抛物线和是关于y轴对称. 顶点：四种抛物线的顶点均在原点。 离心率：=1.练习题：1、抛物线2=4的准线方程为（ ）.（A）=4 （B）=2 （C）=-1 （D）=-4 2、已知抛物线2=4上一点P倒该抛物线的准线的距离为5，求过点P和原

15、点的直线的斜率。 例8、已知过点（,），斜率为的直线与抛物线（0）交与，两点（）求抛物线的顶点到的距离； （）若线段AB中点的横坐标为，求抛物线的焦点坐标. 解：（）由直线方程的点斜式可得直线的方程是 因为抛物线的顶点为原点（0,0） 则由点到直线的距离公式可得d=2. （） 设A、B两点的坐标分别为（，）、（，）， 有题意可知 + =12 再由方程组得 又 + =8+2 则有8+2=12 =2 =1 所以抛物线的焦点坐标为（1,0）. 作 业 题1、设一次函数的图像过点（1，1）和（-2，0）则该一次函数的解析式为（ ）.（A）+ （B）-（C）2-1 （D）+22、如果一次函数k+b的图像

16、过点A（1，7）和B（0，2）则k=（ ）.（A）-5 （B）1 （C）2 （D）53、曲线2+1与直线k只有一个公共点，则k=（ ）.（A）-2或2 （B）0或4 （C）-1或1 （D）3或74、直线+2的倾斜角的度数为 .5、直线x-y-2=0的倾斜角的大小是 .6、已知点A（4, 2），B（0,0），则线段AB的垂直平分线的斜率为（ ）（A）-2 （B） （C） （D）27、过点（1，1）且与直线+2-1=0垂直的直线方程为（ ）.（A）2-1=0 （B）2-3=0 （C）+2-3=0 （D）-2+1=08、设是直线-+2的倾斜角，则= .9、过点（1，2）且与直线2+-3=0平行的直线

17、方程为（ ）.（A）2+-5=0 （B）2-3=0 （C）2+-4=0 （D）2-=010、过点（2,1）且与直线垂直的直线方程为（ a ）（A） （B） （C） （D）11、直线经过（ a ）（A）第一、二、四象限 （B）第一、二、三象限 （C）第二、三、四象限 （D）第一、三、四象限12、圆2+2=25的圆心到直线+1=0的距离为 .13、圆2+2=的半径为 14、圆2+2=与直线+2=0相切，则=（ ）.（A）4 （B）2 （C） （D）115、若圆与直线相切。则c=（ a ）（A） （B）1 （C）2 （D）416、抛物线2=4的准线方程为（ ）.（A）=4 （B）=2 （C）=-1

18、（D）=-417、已知抛物线2=4上的一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为（ ）.（A）或- （B）或- （C）1或-1 （D）或-18、A、B是抛物线2=8上两点，且此抛物线的焦点在线段AB上，已知A,B两点的横坐标之和为10，则AB=（ ）.（A）18 （B）14 （C）12 （D）1019、抛物线的准线方程为（ d ）（A） （B） （C） （D）20、已知的圆心在坐标原点，与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，|AB|=2. （）求的方程； （）设P为上一点，且OPAB，求点P的坐标.21、设椭圆的方程为，则该椭圆的离心率为（ ）.（A） （B） （C） （D）22、已知椭圆的长轴长为8，则它的一个焦点到短轴一个端点的距离为（ ）.（A）8 （B）6 （C）4 （D）223、平面上到两个定点F1（-1，0），F2（1，0）的距离之和为4的点的轨迹方程为（ ）.（A） （B） （C） （D）2=2 24、已知椭圆的离心率为，且该椭圆与双曲线焦点相同，求椭圆的标准方程和准线方程. 25、焦点在（-2，0），（2，0）的双曲线的渐近线为y=