数学的解题略浅论解答

1、数学的解题策略浅论一解题策略的含义及其包含的内容。攻克数学难题如同打仗，决不能只凭蛮劲强攻硬取，必须是因题而异。策略, 是指一种总体的行为指导方针，而非具体的方法。心理学上说，在认识、解决问 题的过程屮，若非熟知的模式化的问题，则需要创造性的思维，应具备解题的策 略。数学难题的数据纷朵，条件颇多，或图形交错，或背景复杂，常使人看不清 问题的实质。在探求答案时，对解题的一种概括性的、综合性的认识，就是数学 习题的解题策略。对于解题，波晋尔提出发现的方法：尝试和猜想；邓克尔提倡逐步逼近法； 解析数学的鼻祖笛卡儿则主张“分细”，以简单开始；世界著名数学家波利亚指 出：解题的一个经常用的办法就是“不断

2、的变换你的问题”。综上所述，解题策 略通常包括以下内容：综合分析 问题转化 以退为进 数形结合 特殊 到一般 把问题看作为一个整体 正难则反 静动结合等等。同吋，广泛地 类比联想与题目信息有关的解题方法，从而釆取灵活机动的战略战术，增强解题 的清晰度和透明度。二解题策略的形成的条件任何一种解题策略的产生都离不开具体的主体己具备的数学知识（即数学概 念、法则、公式、定理、定义、公理等）和rti基本题型形成的基木方法。这包括 了数学中的双基：基木知识和基木技能。前者是数学中的精华，止如波利亚提出 的“货源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”。后者是通过归 纳、类比、联想、探索合情推理等

3、发散思维能力。一旦主体将所接受的信息和长 期记忆中提取的信息形成网络，整合在一起，这时，问题可朝着有希望的前景不 断推进，从而形成解题策略。例（2001北京西城区）已知：抛物线y=x2-mx+ m2/2与抛物线y=x2+mx-3m2/4 在平面直角坐标系xoy屮，如图所示。寸 v/试判断哪条抛物线经过a、b两点，并说明理由？分析：两条抛物线有三点区别与x轴交点的个数不同与y轴交点的位置不同 顶点的位置不同。进一步分析：策略一计算 1二/-4乂二-代/20, 2= b2-4ac=4 m2>0(m0),显然思路可行。策略二 令 x二0,由 y=x2-mx+ m2/2, y= m2/2; 由

4、y=x2+mx-3m2/4, y=-3m2/4( mho),可见思路可行。策略三由 y=x2mx+ m2/2 知 顶点为(m/2, m2/4 ),由y=x2+mx-3m74 顶点为(m/2,韦)，思路可行。从思维活动的角度来看，通过感性直观判断，经过系列的分析集合活动，把 数形结合起来，在头脑中形成科学结论。主体在结论出现之前，运用基础知识， 加以推理能力，对问题进行提炼和定向，迅速作出判断。显然，在解题过程中， 策略的形成与注意力、集中性、坚持性、灵活性、心理品质和个性思维品质等因 索密切相关。重视双基是解题策略形成的根本保障。三提高解题策略的方法。1掌握知识的网络结构。例(初二教材)已知：

5、如图平行四边形小，be=df日常中耍重视各章节之间的脉络关系，通过对基本知识的练习加以强化。同 时教学中应把常用的解题技巧和思路，放在知识结构的最前端，把同类问题贮存 为知识块，使得知识条理化。ad求证：ae/cf分析:此题涉及的知识块有:平行四边形的性质平行四边形的判定四边形、 多边的问题常转化为三角形的知识來解决儿何证明的众多方法中，我们要选择 最简洁的证明途径。以上知识网络使我们不难想到连结ac交bd于o的证明方 法，从而化生为熟，达到解题的口的。2注意解题策略的概括总结与分类。数学知识的各章节具备系统性，同时又有同部的特点。就某些类型的问题而 言，可以模式化、逻辑化。平时的教学中多注重

6、解题策略的归类，有目的性集中 整理，形成局部的解题方案，也是提高解题策略的有效途径。例(1) 一元二次方程x2-x-l=0的两根为xi、x2,求x12+ x22o(2) 已知关于x的方程x2+kx-l=0,两根为xi、x2,且满足1/xi=2l/x?.求 k的值。(2001年南京)(3) 已知抛物线 y= x2-(2a+l)x+a2+a(a>0)经过 a (x】，0), b(x2, 0),其屮xvx2,且满足xr+ x22=13 (2002年丰台)(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标略分析：三题的关键在韦达定理的运用和恒等变形x!2+ x22= ( x1+x2)2-2 x1x2, 3提高学

7、生的数学索养。平时的教学屮注意让学生参与解题过程，辅以有在发现小学习，设置发展区, 形成一种有利于再发现、再创新的问题情景和学习氛围，在解题策略探索过程中, 积极地给学生创设良机，展现思维的全过程。只是注垂结果，而忽视过程的教学 对学生的损失是巨大的。例1 知：a+b/c=b+c/a二a+c/b=k，求 k 的值。分析：此题学生由等比推算答案为2,但是没有考虑到等比的条件，显然是错谋 的，正确的答案是2或1。总之，解题离不开数学思想和方法，解题的成功依赖于合适的方法，最好的 方法來源于止确的解题策略。为了适应新课程标准的要求，推进素质教育，切实 走岀题海战术，有意识地、有计划地向学生传授一些解

8、题策略，一定能开创数学 教学新天地。四数学解题常见的解题策略。解题既要有准确性，又要有速度，常规的解题策略应该掌握。1综合分解。不少综合题，形似复杂，分解后是由一些基本知识组成的，因此，解综合题的 策略首要的是将问题进行分解。例1己知二次函数的图象经过a(0, 1),顶点的横坐标是不等式组厂x(x2+l)>(x+l)( x2-x+1)的最小整数解，且这个函数的最小值为2,l-2x>3(x-9)试求x为何值时，y随x的增大而减小？分析：此题可分解为5个基本题解不等式组求顶点坐标用待定系数法求解 析式判断抛物线的开口方向确定抛物线的增减性2数形结合。根据数字的特点画出图形，根据图形确定

9、数字的大小，这种策略在函数的问题 屮体现得尤其重要，必须掌握。例2在直角坐标系中，抛物线y=4/9x22/9mx+5/9m+4/3与x轴交丁 a、b两 点，已知点a在x轴负半轴上，点b在x轴止半轴上，且b0=2a0,点c为抛物 线的顶点(1) 求此抛物线的解析式和经过b、c两点的直线解析式。(2) 点p在此抛物线的对称轴上，hop与x轴、直线bc相切，求p点的坐标？ 分析：步骤一：由条件能i田i出犬概的图形。步骤二：ft b0=2a0,根据韦达定理及判别式可求抛物线的解析式。步骤三：由抛物线的性质求出b、c两点的坐标，进而求出直线解析式。步骤四：根据以上可准确画出图形。步骤五：根据条件画出op

10、,不难分析有两种不同的情况。3止难则反正难则反的解题策略是：当正面解题遇到障碍时，应从问题的反面去思考或证 明结论的不成立(高中明确为反证法)，从而达到问题的正而 例3若三个方程x2+4ax-4a+3=0/+(al)x+ aox2+2ax-2a=0至少有一个方程 有实数根，求实数a的范围？分析：由于至少有一个实数根的情况较为复杂，因而可考虑结论的反面，三个方 程都没有实数根，故不难确定a的范围。4巧妙转化。例4如图，abcd为。o的内接梯形ab/cd, h cd为直径，如果oo的半于3, zacb=15°,求阴影部分的面积(1991年浙江中考)c分析：直接求s阴影难度较大，若利用几何

11、知识推ill sacab=saoab,从而将问题转化，就容易解答了。5动静结合。静止是相对的，运动是绝对的。用运动、变化、联系的观点解决数学问题是一 种很重要的策略。例 5 （2002 年宣武中考）已知 rtaabc 中，zc=90°, ab=10, ac： bc=3： 4, d是ab ±的一点，ad=6,过点d能否作一条直线截原三角形形成小三角 形，并使它与原三角形相似？若能，请求出de的长，若不能，请说明理由。分析：ab、ac、bc为定长（静），d为动点，过d的直线为动线（动），满足的 三角形与原三角形相似（静）的条件，可推出对应边成比例的结论（动）， 进而能求l de

12、的长。解：依据题意得：ac=6, bc=8, bd=4情况一：如图 de/ac二bd/ba, ade=12/5情况二：如图 de/bc=ad/ab,de=24/5情况三：如图 de/ac=bd/bc, de=3综上所述：de=12/5或24/5或3。6以退为进。有些数学问题较为抽象，而它的特殊性易于解答，凡往往能提供一般的思路。 因而需要退一步改换条件，再显示岀一般的情形。例6已知如图。o小，ab与cd是两条互相垂直的直径,e为dc弧上的一动点,ae交cd于p, ed交ab于q求证：四边形apqd的面积为一定值。分析：由常识可知四边形apqd的面积s=1/2aq*pd e为动点，故aq、pd的长度是变化的。 考虑特殊情况即e点与c点重合时，四边形apqd转化成为了 aacd 了, 显然，面积为1,由此，可猜想四边