线性代数3aPPT精选文档

1、13.1 n3.1 n维向量维向量3.2 3.2 向量的线性相关性向量的线性相关性3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩3.4 3.4 向量空间向量空间2 3.1 n 3.1 n维向量维向量3线性代数 第3章 向量空间 3.1 n维向量n定义定义3.1.1 个有序数个有序数 所组成的数组所组成的数组 称为称为12,na aa12,na aa维向量维向量,数数 称为称为 维向量的第维向量的第 个分量个分量.nia1,2,inni12,na aa行向量行向量列向量列向量1212,Tnnaaa aaa4定义定义3.1.2向量的分量都是零的向量称为零向量向量的分量都是零的向量称为零向量,记为记为00,0

2、,0设两个设两个 维向量维向量 n1212,nna aab bb若满足若满足iiab1,2, in，则称这两个向量相等则称这两个向量相等,即即定义定义3.1.3线性代数 第3章 向量空间 3.1 n维向量5设向量设向量 ,定义如下定义如下:1212 ,nna aab bb向量的加法向量的加法: ;1122,nnab abab向量的数乘向量的数乘: 为实数为实数.12,nkka kakak向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算向量的加法和数乘运算称为向量的线性运算.向量的负向量向量的负向量12, naaa1122,nnab abab .向量的减法向量的减法定义定义3.1.4线性代数 第3章 向量

3、空间 3.1 n维向量6向量的线性运算满足以下八条运算规律向量的线性运算满足以下八条运算规律:(1) ;(2);(3)0(4) 0(5)1(6) klk l(7)klklkkk(8) .;, n其中其中 为为 维向量维向量, 为任意实数为任意实数., k l线性代数 第3章 向量空间 3.1 n维向量7 3.2 3.2 向量的线性相关性向量的线性相关性83.2.1 3.2.1 向量的线性表示向量的线性表示 对于向量组对于向量组 以及向量以及向量 ,若存在一组若存在一组12,s 数数 ,使得使得12,sk kk1122sskkk则称向量则称向量 可以由向量组可以由向量组 线性表示或称向量线性表示

4、或称向量12,s 是向量组是向量组 的线性组合的线性组合,其中其中 为线性表示为线性表示12,s 12,sk kk系数系数.定义定义3.2.1线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性9由定义由定义3.2.1可得可得:(1) 零向量可以由任意向量组线性表示零向量可以由任意向量组线性表示;(2) 在向量组在向量组 中中,任意一个向量任意一个向量 可以由可以由这个向量组线性表示这个向量组线性表示;12,s i(3) 任意一个任意一个 维向量都可以由维向量都可以由 维基本向量组线性表示维基本向量组线性表示.nn线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性10 向量向量 可由向量组可

5、由向量组 线性表示线性表示 以向量以向量 为系数列向量，为系数列向量， 为常数为常数项向量的线性方程组有解，并且每一个解向量的分量就项向量的线性方程组有解，并且每一个解向量的分量就是它的一个线性组合系数。是它的一个线性组合系数。s,.,21s,.,21定理定理3.2.1线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性11设设，),.,(),.,(2121nniiiibbbaaa),.,1(si 将条件代入将条件代入 得得) 1 (.2211sskkk)2(.22112222212111212111nsnsnnssssbkakakabkakakabkakaka特别注意特别注意( 2 )中未知

6、量个数中未知量个数 s ，方程式个数，方程式个数 n ,向量方程式向量方程式( 1 )有解和有解和 线性方程组（线性方程组（ 2 ）有解是一回事，）有解是一回事，因而有定理因而有定理 3.2.1。线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性12例例1 判断下列向量判断下列向量 能否由向量组能否由向量组 线性表示线性表示,若能若能,试试123, 写出它的一种表达式写出它的一种表达式,其中其中12-134 ,12-3 1 ,235-5 12 11 ,1-363.线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性13例例2 试证若向量试证若向量 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示,又向

7、量又向量12,s 1,2,iis可以由向量组可以由向量组 线性表示线性表示,则向量则向量 可可由向量组由向量组 线性表示线性表示.12,t 12,t 线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性14 若向量组若向量组 中的每个向量都由向量组中的每个向量都由向量组12,s 12,t 线性表示线性表示,则称向量组则称向量组 可由向量组可由向量组12,s 12,t 线性表示线性表示;若还满足向量组若还满足向量组 中的每个向量也中的每个向量也12,t 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示,则称这两个向量组等价则称这两个向量组等价,即等价即等价12,s 的两向量组互相线性表示的两向量组互相线性

8、表示.定义定义3.2.2线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性153.2.2 3.2.2 向量的线性相关性向量的线性相关性 设设 维向量组维向量组 ,若存在一组不全为零的若存在一组不全为零的12,s 12,sk kkn数数 ,使使1122sskkk0 则称则称 线性相关线性相关,否则否则,使（使（3.4）式成立只有全零解）式成立只有全零解,即即 12,s （3.4） 120skkk时时,称称 线性无关线性无关.12,s 定义定义3.2.3线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性.16由向量组线性相关与线性无关的定义可得下列结论由向量组线性相关与线性无关的定义可得下列结

9、论:一个向量线性相关的充要条件是这个向量为零向量一个向量线性相关的充要条件是这个向量为零向量; 一个向量线性无关的充要条件是这个向量不是零向量一个向量线性无关的充要条件是这个向量不是零向量.(2) 两个非零的向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例两个非零的向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例; 两个非零的向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例两个非零的向量线性无关的充要条件是对应分量不成比例.(3) 含有零向量的向量组必线性相关含有零向量的向量组必线性相关,换句话说换句话说,线性无关的向量组线性无关的向量组 不含有零向量不含有零向量.线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线

10、性相关性17 设设 个个 维向量维向量s12,s n11121212221212,sssnnnsaaaaaaaaa则向量组则向量组 线性相关的充分必要条件是以线性相关的充分必要条件是以12,s 为系数列向量的齐次线性方程组为系数列向量的齐次线性方程组11 1122121 122221 122000ssssnnnssa xa xa xa xa xa xa xa xa x有非零解有非零解;向量组向量组 线性无关的充要条件是齐次线性方线性无关的充要条件是齐次线性方程组（程组（3.5）只有全零解）只有全零解.12,s （3.5） 定理定理3.2.2线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性1

11、8 设设 个个 维向量维向量,向量组向量组 线性相关的充分必线性相关的充分必sn12,s 要条件是要条件是 ;线性无关的充分必要条件是线性无关的充分必要条件是 ,其中其中 r As r AsA是以是以 为列构成的矩阵为列构成的矩阵,即即 .12,s 12,sA 任意任意 个个 维向量维向量 ,当当 时时,sn12,s sn12,s 线性相关线性相关.推论推论1推论推论2线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性19 个个 维向量维向量 11121212221212,nnnnnnnaaaaaaaaa线性相关的充要必要条件是以线性相关的充要必要条件是以 个向量组成的行列式个向量组成的行列

12、式n0A 线性无关的充要必要条件是以线性无关的充要必要条件是以 个向量组成的行列式个向量组成的行列式 .n推论推论3nn线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性0A 20 若向量组若向量组11121212221212,sssnnnsaaaaaaaaa（3.6） 线性相关线性相关,则去掉每个向量的最后则去掉每个向量的最后 个分量个分量 ,所得向量组所得向量组r1rn111212122212,1,2,sssn rn rn r saaaaaaaaa（3.7）也线性相关也线性相关. 称向量组称向量组(3.7)为向量组为向量组(3.6)的缩短向量组的缩短向量组,也称向量组也称向量组(3.6)

13、为向为向量组量组(3.7)的延长向量组的延长向量组.推论推论4线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性21综上所述综上所述,在考虑向量组的线性相关和线性无关时在考虑向量组的线性相关和线性无关时,有以下结论有以下结论:如果向量个数大于向量维数时如果向量个数大于向量维数时,此向量组必线性相关此向量组必线性相关.(2) 当向量个数等于向量维数时当向量个数等于向量维数时,以向量为列组成的行列式以向量为列组成的行列式,当行列当行列 式为零时式为零时,向量组线性相关向量组线性相关,当行列式不为零时当行列式不为零时,此向量组线性无此向量组线性无 关关.(3) 当向量个数小于向量维数时当向量个数小

14、于向量维数时,以向量为列组成矩阵以向量为列组成矩阵,用初等行变用初等行变 换将此矩阵化为阶梯形矩阵换将此矩阵化为阶梯形矩阵,当阶梯形矩阵的秩等于向量个数当阶梯形矩阵的秩等于向量个数 时时,此向量组线性无关此向量组线性无关;当阶梯形矩阵的秩小于向量个数时当阶梯形矩阵的秩小于向量个数时,此向此向 量组线性相关量组线性相关.线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性22例例3 判断下列向量组的相关性判断下列向量组的相关性1231,2 ,(4,1),(0,4)(1)(2)1231,0,0 ,(2,4,3),( 1,1,5) (3)1231, 2,0,3 ,(2,5, 1,0),(0,9, 1

15、, 6) 线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性23例例4 已知向量组已知向量组 线性无关线性无关,证明向量组证明向量组123, 1122233312,2,2 也线性无关也线性无关.线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性243.2.3 3.2.3 线性相关性的若干定理线性相关性的若干定理定理定理3.2.3 向量组向量组 线性相关的充分必要条件线性相关的充分必要条件1,2ss为其中有一个向量可由其余向量线性表示为其中有一个向量可由其余向量线性表示.推论推论1向量组向量组 线性无关的充分必要条件线性无关的充分必要条件1,2ss是其中每一个向量都不能由其余向量线性表示是其

16、中每一个向量都不能由其余向量线性表示.推论推论2若若 维向量组维向量组 线性相关线性相关,则向量组则向量组n12,s 121,ssmms 也线性相关也线性相关.线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性25定理定理3.2.4若向量组若向量组 线性无关线性无关,而而12,s 线性相关线性相关,则则 可由可由 线性表示线性表示,且表达式唯一且表达式唯一.12,s 12,s 线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性26定理定理3.2.5如果向量组如果向量组 可由向量组可由向量组12,s 12,t 线性表示线性表示,且且 ,则向量组则向量组 必线性相关必线性相关.st12,s 推

17、论推论1如果向量组如果向量组 可由向量组可由向量组 线性线性12,s 12,t 表示表示,且且 线性无关线性无关,则则 .12,s st若两个线性无关的向量组等价，则两个向量组中必含有若两个线性无关的向量组等价，则两个向量组中必含有相同个数的向量相同个数的向量.推论推论2线性代数 第3章 向量空间 3.2 向量的线性相关性27 3.3 3.3 向量组的秩向量组的秩28定义定义3.3.1一个向量组的一个部分组称为极大线性无关组一个向量组的一个部分组称为极大线性无关组(简称极大无关组简称极大无关组),如果这个部分组满足如果这个部分组满足(1) 线性无关线性无关;(2) 其余任何一个向量其余任何一个

18、向量(如果还有的话如果还有的话)添入均线性相关添入均线性相关.(也可说也可说,其余任一向量可由这个部分组线性表示其余任一向量可由这个部分组线性表示).线性代数 第3章 向量空间 3.3 向量组的秩29由定义可知由定义可知:(1) 只含零向量的向量组是线性相关的只含零向量的向量组是线性相关的,因此它没有极大线性因此它没有极大线性无关组无关组;而含有非零向量的向量组都有极大线性无关组而含有非零向量的向量组都有极大线性无关组.(2) 一个线性无关的向量组的极大线性无关组就是向量组本身一个线性无关的向量组的极大线性无关组就是向量组本身.(3) 一个向量组的极大无关组是不唯一的一个向量组的极大无关组是不

19、唯一的.(4) 一个向量组与极大无关组是等价的一个向量组与极大无关组是等价的.向量组的任意两个极大无关组也是等价的向量组的任意两个极大无关组也是等价的.(6) 极大无关组中含有向量的个数相等极大无关组中含有向量的个数相等.线性代数 第3章 向量空间 3.3 向量组的秩30定义定义3.3.2一个向量组一个向量组 的极大无关组所含向量的的极大无关组所含向量的12,.,s 个数称为这个向量组的秩个数称为这个向量组的秩,记记 .12(,.,)sr 规定规定,只含零向量的向量组的秩为只含零向量的向量组的秩为0.线性代数 第3章 向量空间 3.3 向量组的秩31由向量组秩的定义可得由向量组秩的定义可得:1

20、2,.,s (1) 向量组向量组 线性相关线性相关12,.,srs 向量组向量组 线性无关线性无关12,.,s 12,.,srs (线性无关的向量组的极大无关组就是向量组本身线性无关的向量组的极大无关组就是向量组本身).(2) 任何一个部分组的秩任何一个部分组的秩 向量组的秩向量组的秩 向量组中向量的个数向量组中向量的个数. (4) 若向量组若向量组 可由向量组可由向量组 线性表示线性表示,则则12,.,s 12,.,t 1212,.,.,strr (3) 等价的向量组具有相同的秩等价的向量组具有相同的秩.注意注意: 两个向量组的秩相等两个向量组的秩相等,它们不一定等价它们不一定等价.线性代数

21、 第3章 向量空间 3.3 向量组的秩32例例2 试证试证:若一个向量组的秩为若一个向量组的秩为 ,则在向量组内则在向量组内,任意任意 个个rr线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.线性代数 第3章 向量空间 3.3 向量组的秩333.3.2 向量组的秩与矩阵的秩的关系向量组的秩与矩阵的秩的关系111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa一个一个 矩阵矩阵m nA12,m 矩阵矩阵的行向量组的行向量组 ,其中其中 111121naaa221222naaa12mmmmnaaaA12,n 11121212221212,.nnnmmmnaa

22、aaaaaaa矩阵矩阵的列向量组的列向量组,其中其中线性代数 第3章 向量空间 3.3 向量组的秩34矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于定理定理3.3.1它的行向量组的秩它的行向量组的秩.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组定理定理3.3.2的线性相关性的线性相关性.线性代数 第3章 向量空间 3.3 向量组的秩35例例2 2 求向量组的秩及极大无关组求向量组的秩及极大无关组.12344( 1,4,0,2),(5,1,3,0),(3, 2,4, 1),( 2 95),(11) ， ， ,4，7， ,3(1)1234(1,

23、1, 1,0),(2,1, 2,1),( 1,3,1, 4),(4,3, 8,5) (2)线性代数 第3章 向量空间 3.3 向量组的秩363.4 3.4 向量空间向量空间37nnnR对于对于维向量的全体构成的集合，并在集合中维向量的全体构成的集合，并在集合中维向量空间，记作维向量空间，记作 .定义定义3.4.1定义了加法和数乘运算，则称此集合为定义了加法和数乘运算，则称此集合为,V VVkRkVVnR定义定义3.4.2设设 是是 维向量构成的非空集合维向量构成的非空集合,且满足且满足n(1) 若若 ,则则 ;(2) 若若 , ,则则 ;则称集合则称集合 是是 的子空间的子空间. V线性代数 第3章 向量空间 3.4 向量空间38定义定义3.4.3设设 是是 中的一个向量空间中的一个向量空间,若若 中的向量组中的向量组VnRV12,r 满足满足:(1) 线性