(word完整版)实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)(2),推荐文档

1、试卷第1页，总 13 页初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）、利用函数求图形面积的最值问题、围成图形面积的最值1、只围二边的矩形的面积最值问题例 1、 如图 1，用长为 18 米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗 圃。（1） 设矩形的一边长为 x （米），面积为 y （平方米），求 y 关于 x 的 函数关系式；（2） 当 x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含 x 的代数式表示出矩形的长与宽。解：（1）设矩形的长为 x （米），则宽为（18- x）（米），根据题意，得：y x（18 x） x218x；又x,(Xx x 02x 18x中，a= -1

2、0又50 x，0 x x502x225x中，a= - y zz z.图2x(50 x试卷第2页，总 13 页24ac b4a0 25214 (-)26252试卷第3页，总 13 页625故当 x=25 米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为平方米。2点评：如果设养鸡场的宽为 x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。3、围成正方形的面积最值例 3、将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cn吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，

3、请说明理由.(1 )解：设剪成两段后其中一段为xcm,则另一段为(20-x ) cm解得：x116,x24当X116时，20-x=4 ;当X24时，20-x=16答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16 厘米、4 厘米(2)不能由题意理由是：设第一个正方形的边长为面积为 ycm2.xcm,则第二个正方形的边长为20 4x4(5 x)cm,围成两个正方形的根据题意，得:y x2(5 x)22x2yx2(5 x)22x2即当xb2a10ymin24ac b4a4 2 25 1024 22525=12.512,故两个正方形面积的和不可能是12cm2,练习 1、如图，正方形 EFGH 勺顶点在边长为a

4、的正方形 ABCD 的边上，若 AE=x,正方形 EFGH 的面积为 y.(1)求出 y 与 x 之间的函数关系式；正方形 EFGH 有没有最大面积？若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由试卷第4页，总 13 页12y = _ _x.2【解析】试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为 用待定系数法求解试题解析：设此函数解析式为：y二ax2,a 1 0；那么（2, -2 ）应在此函数解析式上.则-2 = 4a1即得a = -1,212那么y = - x.2考点：根据实际问题列二次函数关系式练习 1某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA O 恰在水面

5、中心，安置在柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过0A 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离 x （米）之间的关（1）柱子 0A 的高度是多少米？（2）喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？（3）若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外?2.座桥如图，桥下水面宽度AB 是 20 米，高 CD 是 4 米.要使高为 3 米的船通过，则其宽度须不超过多少二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题例题 1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 水面宽 4m

6、如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是I 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2my 轴，可设此函数解析式为：y=ax2,利图（1）试卷第5页，总 13 页米.（1）如图 1,若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系iDE* y/AC(0)e 11求抛物线的解析式；2要使高为 3 米的船通过，则其宽度须不超过多少米要使高为 3 米的船通过，则其宽度须不超过多少米三、禾I用抛物线解决最大利润问题例题 1 某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20 元的护眼台灯.销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价 x（元）之间的关系可近似的看做一次函数：y= 10

7、 x + 500.（1 ）设李明每月获得利润为 w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （6 分）（2） 如果李明想要每月获得 2 000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3 分）（3） 物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32 元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本=进价X销售量）（3 分）答案：（1） 35; （2） 30 或 40; （3） 3600.【解析】试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）X销售量，从而列出关系式； （2）令 w=2000

8、,然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可.部分试卷第6页，总 13 页试题解析：（1）由题意得出：W x 20 y x 20 10 x 50010 x2700 x 10000, a10 0, 35,2a当销售单价定为 35 兀时，每月可获得最大利润.（2）由题意，得：10 x2700 x 10000 2000,解这个方程得：xi=30, X2=40.李明想要每月获得 2000 元的利润，销售单价应定为30 元或 40 元.（3）Ta10 0，抛物线开口向下 当 30Wx40 时，W2000./xw32,二当 30Wxw32 时，W2000

9、.设成本为 P （元），由题意，得：P 20 10 x 500200 x 10000,/ k= 200v0,. P 随 x 的增大而减小.当 x=32 时，P 最小=3600.答：想要每月获得的利润不低于2000 元，每月的成本最少为 3600 元.考点：二次函数的应用.练习 1某玩具批发商销售每只进价为40 元的玩具，市场调查发现，若以每只50 元的价格销售，平均每天销售 90 只，单价每提高 1 元，平均每天就少销售 3 只.（1） 平均每天的销售量 y（只）与销售价 x（元/只）之间的函数关系式为 _ ;（2） 求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售只 x（元/只）之间的函数关系式；

10、（3） 物价部门规定每只售价不得高于55 元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大 利润是多少元2.为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品， 已知这种产品的成本价为每千克20 元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价 x（元/千克）有如下关系：y 2x 80.设这种产品每天的销售利润为w 元.（1 ）求 w 与 x 之间的函数关系式；（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？试卷第7页，总 13 页3某公司营销A,B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：信息

11、1：销售A种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系2y ax bx.当x 1时，y 1.4;当x 3时，y 3.6.信息 2:销售B种产品所获利润y（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系y 0.3x.根据以上信息，解答下列问题：求二次函数解析式；（2）该公司准备购进 代B两种产品共 10 吨，请设计一个营销方案，使销售A, B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？4为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大 学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担李明按照相关政策投资销售本市生产的一种 新型节能灯

12、已知这种节能灯的成本价为每件10 元，出厂价为每件 12 元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y 10 x 500.（1 ）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20 元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设李明获得的利润为w（元）,当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（3） 物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25 元.如果李明想要每月获得的利润不低于3000 元,那么政府为他承担的总差价最少为多少元？5某文具店销售一种进价为 10 元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14 元/个，根据以往经验：以 12 元/个的价格

13、销售，平均每周销售签字笔 100 个；若每个签字笔的销售价格每提高 1 元， 则平均每周少销售签字笔 10 个.设销售价为 x 元/个.（1） 该文具店这种签字笔平均每周的销售量为 _个（用含 x 的式子表示）;（2） 求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w （元）与销售价 x （元/个）之间的函数关系式；（3）当 x 取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？试卷第8页，总 13 页6汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100 辆公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：x3000320035004000y100969080(1 )观察

14、表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y (辆)(3)若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元.四、利用二次函数解决动点问题例 1 如图 8，如图 9,在平行四边形ABCDK AD=4 cm，/A=60,BDLAD动点P从A出发，以每 秒 1 cm 的速度沿ATB- C的路线匀速运动，过点P作直线PM使PMLAD.(1) 当点P运动 2 秒时，设直线PM与AD相交于点 巳求厶APE的面积；(2) 当点P运动 2 秒时，另一动点Q也从A出发沿ATB- C的路线运 动，且在AB上以每秒 1 c

15、m 的速度匀速运动，在BC上以每秒 2 cm 的速度 匀速运动.过Q作直线QN使QN/ PM设点Q运动的时间为t秒(0 t3000)未租出的车辆数_所有未租出的车辆每月的维护 _费试卷第9页，总 13 页APE：仝.2试卷第10页，总 13 页(2) 当 0 t 6 时，点P与点Q都在AB上运动，设PM与AD交于点G, QN与AD交于点F,则AG=t,AF=L,QF=t ,AF=t+2,AG=1 + 1 ,PG=j3 空 t2222此时两平行线截平行四边形ABCD勺面积为S=t .2 2当 6Wt 8 时，点P在BC上运动，点Q仍在AB上运动.设PM与DC交于点G QN与AD交于点F,则AQ=

16、t,AF=- ,DF=4- - , QF=t ,BP=t-6 ,CP=10-t ,PG(10 t) . 3,2 22而BD=4.3,故此时两平行线截平行四边形ABC啲面积为S=5t210 3t 34.3.8当 8wtw10 时，点P和点Q都在BC上运动.设PM与DC交于点Qf=(20-2t) . 3 ,CP=10-t,PG(10 t).、3.此时两平行线截平行四边形ABCD勺面积为S=2t22故S关于t的函数关系式为S罟103t 34 3,(6 t 8)寻t230 3t 150 3 (8 t 10)当 0wtw6 时，S的最大值为7卫2当 6wtw8 时，S的最大值为6 ：3当 8wtw10

17、时，S的最大值为6.3所以当t=8 时，S有最大值为6.3.初中数学专项训练：实际问题与二次函数参考答案一、12 2(1) y=2x -2ax+a (2)有.当点 E 是 AB 的中点时，面积最大.【解析】本题考查了二次函数的应用.(1)先由AAS证明 AEFADHE 得出 AE=DH=)米 , AF=DE=( a-x )米，再根据勾股定理，求出EF2,即可 得到 S 与 x 之间的函数关系式；(2) 先将(1)中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解.解：T四边形 ABCD 是边长为 a 米的正方形，/A=ZD=90 , AD= a 米.G, QN与DC交于点F,

18、贝UCQ=20-2t,30、3t6)150 3 .(0 t试卷第11页，总 13 页四边形 EFGH 为正方形，/FEH=90 , EF=EH在厶 AEF 与厶 DHE 中,试卷第12页，总 13 页/A=ZD,/AEF=/ DHE=90 -/DEH EF=EHAEFADHE( AAS, AE=DH=x 米, AF=DE=( a-x )米， y=EF2=Ah+AF=x2+ (a-x )2=2x2-2ax+a 即 y=2x2-2ax+ a2;2(2)Ty=2x2-2ax+ a2=2(x- )2+,24.当 x=a时，S 有最大值.2故当点 E 是 AB 的中点时，面积最大.二、练习 1595(1

19、)-(2)9(3)-442【解析】本题考查了二次函数的应用(1)本题需先根据已知条件把x=0 代入抛物线的解析式，从而得出y 的值，即可求出答案.(2)通过抛物线的顶点坐标求得(3)本题需先根据已知条件把y=0 代入抛物线求出所要求的式子，再得出x 的值，即可求出答案.解：(1 )把 x=0 代入抛物线的解析式得:5y=,即柱子4OA 的高度是54(2) 由题意得：当x= 2=1时，y=9:9,即水流距水平面的最大高度2(1)4(3)把 y=0 代入抛物线2515得：x 2x=0,解得，x1=(舍去，不合题意)，x2=4225故水池的半径至少要-米才能使喷出的水流不至于落在池外22.(1)y丄

20、x24: 10; (2) 14.5 :4 .7.25【解析】试题分析：(1)利用待定系数法求函数解析式即可；根据题意得出y=3 时，求出 x 的值即可；(2构造直角三角形利用BW=B6+CW,求出即可；在 RT WGF 中，由题可知， WF=14.5, WG=14.5-仁 13.5，根据勾股定理知：GF=wF- wG 求出即可.试题解析：(1)设抛物线解析式为：y ax2C,桥下水面宽度 AB 是 20 米，高 CD 是 4 米， A (-125, 抛物线解析式为:412x25试卷第13页，总 13 页100a c 010, 0), B( 10, 0), D( 0, 4), ,解得:c 412

21、要使高为 3 米的船通过，y 3，则3x24，解得：x 5，二 EF=10 米；25(2)设圆半径 r 米，圆心为 WTBW=BC+CW,.r2(r 4)2102，解得：r 14.5；在 RT WGF 中，由题可知， WF=14.5, WG=14.5-仁 13.5，根据勾股定理知：GF=WF-WG 即 GF=14.52-13.52=28，所以 GF=2 7，此时宽度 EF=4、7米.考点：1.二次函数的应用；2垂径定理的应用.三、1. (1 ) y=-3x+240 ; (2)w=-3x +360 x-9600 ; (3)定价为 55 元时，可以获得最大利润是1125 元.【解析】试题分析：(1

22、)根据题意知销售量 y(只)与销售价 x(元/只)之间的函数关系式为 y=90-3 (x-50 ) =-3x+240 ;根据“总利润=每件商品的利润X销售量”可知w= (x-40 ) y= (x-40 ) (-3x+240 ) =-3x2+360 x-9600 ;求获得最大利润，也就是求函数W=-3X2+360X-9600 的最大值.试题解析：(1 ) y=90-3 (x-50 )即 y=-3x+240 ;2(2)W= ( x-40 ) y= (x-40 ) (-3x+240 ) =-3x +360 x-9600 ;当 xw60, y 随 x 的增大而减小，当 x=55 时，W最大=1125所

23、以定价为 55 元时，可以获得最大利润是1125 元.考点：(1) 一次函数；(2) 二次函数.22.(1)W2x 120 x 1600; (2)该产品销售价定为每千克30 元时，每天销售利润最大，最大销售利 润 200元.【解析】试题分析：(1)根据销售额=销售量X销售价单 x，列出函数关系式；(2)用配方法将(2)的函数关系式变 形，利用二次函数的性质求最大值.试题解析：(1)由题意得：Wx 20 y x 20 2x 80 2x2120 x 1600,W与 x 的函数关系式为：W2x2120 x 1600.(2)W2x2120 x 16002 x 302200,- 2v0，当 x=30 时

24、，w 有最大值.W最大值为 200.答：该产品销售价定为每千克30 元时，每天销售利润最大，最大销售利润200 元.试卷第14页，总 13 页考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.3. 见解析【解析】试题分析：(1)因为当 x=1 时，y=1.4 ;当 x=3 时，y=3.6，代入y ax2bx试卷第 11 页,总 13 页a b 1.4a 0.12得 解得 ，所以，二次函数解析式为 y=-0.1x2+1.5x ；9a 3b 3.6b 1.5(2)设购进 A 产品 m 吨，购进 B 产品(10-m)吨，销售 A、B 两种产品获得的利润之和为 W 元，根据题意

25、 可列函数关系式为： W=-0.1nf+1.5m+0.3( 10-m)=-0.1m2+1.2m+3=-0.1 ( m-6)2+6.6，因为-0.1v0,根据二 次函数的性质知当 m=6时，W 有最大值 6.6 ,试题解析： (1)：当 x=1 时，y=1.4 ;当 x=3 时，y=3.6 ,a b 1.49a 3b 3.6所以,二次函数解析式为 y=-0.1x2+1.5x；3分(2)设购进A产品m吨，购进 B 产品(10-m)吨，销售 A B 两种产品获得的利润之和为W 元，则 W=-0.1m2+1.5m+0.3 (10-m) =-0.1m2+1.2m+3=-0.1 (m-6)2+6.6,/

26、-0.1v0,当 m=6 时，W 有最大值 6.6 ,购进 A 产品 6 吨，购进 B 产品 4 吨，销售 A、B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6 万元.考点： 1. 待定系数法求解析式 .2. 二次函数性质 .4.(1)政府这个月为他承担的总差价为600 元；(2)当销售单价定为 30 元时,每月可获得最大利润 4000；(3) 销售单价定为 25 元时,政府每个月为他承担的总差价最少为 500 元.【解析】试题分析：(1)根据每月销售量y(件)与销售单价X(元)之间的关系可求得每月销售量，又由单价和 成本间关系得到每件节能灯的差价,则可得到总差价 . (2)求每月可获得最大利

27、润,即为求该二次函数的 最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.(3)w 3000同时满足x 25，根据函数图象的性质知道，k 0 随 x 的增大而减小，当 x= 25 时，该函数有最大值时，p有最小值 500.试题解析：(1)当 x= 20 时,y 10 x 50010 20 500 300, 300?(12 10)= 300? 2 600,政府这个月为他承担的总差价为 600 元。(2)依题意得,w= x-1010 x+ 500 = 10 x2+600 x-5000=-10 x-302+4000,Qa= - 10 0,当 x= 30 时,w有最大值 4000.当销售单价定为 30 元

28、时,每月可获得最大利润 4000.(3)由题意得：10 x2+ 600 x - 5000 3000,解得： x1= 20 , x2= 40.Q a= - 10 3000 .设政府每个月为他承担的总差价为p元,p 12 1010 x 50020 x 1000.Q k = - 20 0 ,p随 x 的增大而减小 当 x= 25 时，p有最小值 500.解得0.11.5试卷第16页，总 13 页销售单价定为 25 元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500 元.【考点】1.二次函数的性质；2.二次函数的图象；3.二次函数的综合应用5.(1) (220 10 x); (2)w10 x2320 x 2200(3)