浅谈逆矩阵的求法及其应用论文

1、本科生毕业论文（设计）册论文（设计）题甘：谈逆矩阵的求法及其应用毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文）,是我个人在指导教 师的指导下进行的硏究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加 以标注和致谢的地方外,不包含其他人或组织已经发表或公布过的硏 究成果，也不包含我为获得及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体, 均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作者签名：日期：指导教师签名：日期：使用授权说明本人完全了解大学关于收集、保存、使用毕业设计（论 文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本

2、和电 子版本;学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版,并提供 目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩e卩、数字化或其它复制 手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分 或全部内容。作者签名： 日 期：学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行硏 究所取得的硏究成果。除了文中特别加以标注弓i用的内容外，本论文 不包含任1可其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的硏 究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名：日期：年月日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有

3、关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期：年月日导师签名:日期： 年 月 口注意事项1. 设计（论文）的内容包括：1）封面（按教务处制定的标准封面格式制作）2）原创性声明3 ）中文摘要（300字左右）、关键词4 ）外文摘要、关键词5）目次页（附件不统一编入）6）论文主体部分：引言（或绪论）、正文、结论7）参考文献8）致谢9）附录（对论文支持必要时）2. 论文

4、字数要求：理工类设计（论文）正文字数不少于1万字（不包括图纸、程序清单等）z文科类论文正文字数不少于1. 2万字。3附件包括：任务书、开题报告、夕卜文译文、译文原文（复印件）。4. 文字、图表要求：1 ）文字通顺，语言流畅，书写字迹工整，打印字体及大小符合要求，无错 别字”不准请他人代写2）工程设计类题目的图纸，要求部分用尺规绘制，部分用计算机绘制，所有图纸应符合国家技术标准规范。图表整洁，布局合理，文字注释必须使用工程 字书写,不准用徒手画3 ）毕业论文须用a4单面打印，论文50页以上的双面打印4）图表应绘制于无格子的页面上5）软件工程类课题应有程序清单”并提供电子文档5. 装订顺序1 ）设

5、计（论文）2 ）附件：按照任务书、开题报告、夕卜文译文、译文原文（复印件）次序装指导教师评阅书指导教师评价:一、撰写（设计）过程1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 优 良 中 口及格 不及格2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度优良中口及格口不及格3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力优良中口及格口不及格4、硏究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性优良中口及格不及格5、完成毕业论文（设计）期间的岀勤情况优良中口及格口不及格二、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范?优良中口及格口不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件

6、）?优良中口及格口不及格三、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 口及格 不及格2、论文的观念是否有亲斤意?设计是否有创意？优良中口及格口不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平优良中口及格口不及格建议成绩：口优rs 口及格 口不及格（在所选等级前的内画）评阅教师评阅书评阅教师评价:一、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范?优良中口及格口不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）?优良中口及格口不及格二. 论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义优 良 中 口及格 口不及格2、论文

7、的观念是否有新意?设计是否有创意？优良中口及格不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平优良中口及格口不及格建议成绩：优良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画）教研室（或答辩小组）及教学系意见教研室（或答辩小组）评价: -答辩过程1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况优 良 中 口及格 不及格2、对答辩问题的反应、理解、表达情况优良中口及格不及格3、学生答辩过程中的精神状态优良中口及格不及格 二.论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范?优 良 中 口及格 口不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）? 优 良 中 口及格 不及格三. 论文（设计）

8、水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 口及格 口不及格2、论文的观念是否有新意?设计是否有创意？优 良 中 口及格不及格不及格（签名）月 日3、论文（设计说明书）所体现的整体水平优 良 中 口及格 不及格评定成绩：优良 中 口及格教研室主任（或答辩小组组长）:教学系意见:大学本科毕业论文（设计）任务书论文（设计）题目：浅谈逆矩阵的求法及其应用1、论文（设计）研究目标及主要任务研究几种可逆矩阵求逆的求法，进一步了解逆矩阵的一些在实际屮的应用.2、论文（设计）的主要内容先介绍矩阵和逆矩阵的基础知识知识，然后是求逆矩阵的方法,最后是逆矩阵的儿个应用.3、论文（设计）的

9、基础条件及研究路线矩阵是数学中的一个重要工具，矩阵及逆矩阵的相关基础知识，矩阵可逆的条件，可逆矩 阵求逆的方法，逆矩阵的应用.4、主要参考文献【1】葛红军、阳军著.矩阵方法，浙江大学出版社.2 邱森编著.高等代数，武汉大学出版社.【3】闫慧臻编著.线性代数及其应用，科学出版社.4 邱森、朱林生编著.高等代数探究性课题集，武汉大学出版社.5、计划进度阶段起止日期1论文任务书，开题报告2013. 12. 2-2013. 12. 272毕业论文初稿写作2014. 12. 30-2014. 3. 283论文二稿写作，中期检查2014. 3.31-2014. 4. 154进一步修改，并定稿2014. 4

10、. 20-2014. 5.85论文答辩2014. 5. 10-2014. 5. 16指导教师: 年月口教研室主任: 年月r河北师范大学本科生毕业论文（设计）开题报告书数学与信息科学学院数学与应用数学专业 2014届学d姓名秦艳敏论文（设 计）题目浅谈逆矩阵的求法及其应用指导教师麻常利专业职称教授所属教 研室数学教研室研究 方向代数组合与编 码课题论证：见附页方案设计：首先介绍矩阵以及逆矩阵的相关的基础知识，再详细介绍几种求逆矩阵的 方法，最后探究几个逆矩阵在数学以及实际屮的应用.进度计划：1、论文任务书，开题报告2013. 12.2-2013. 12.272、毕业论文初稿写作2014. 12.

11、 30-2014. 3. 283、论文二稿写作，中期检查 2014. 3.31-2014. 4. 154、进一步修改，并定稿2014.4.20-2014. 5.85、论文答辩.2014.5. 10-2014.5. 16指导教师意见：指导教师签名：年月 日教研室意见：教研室主任签名：年 刀 日课题论证（附页）矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学 研究和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了 将数字的矩阵列区别丁行列式而发现了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生z 前就已经发展的很好了。从行列式的大量工作中明显的表现出來，为了很多廿

12、的，不 管行列式的值是否与问题有关，方阵木身都可以研究和使用，矩阵的许多基木性质也 是在行列式的发展屮建立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先丁行列式的概念，然而 在历史上次序止好相反。根据世界数学发展记载，矩阵概念产生于19世纪50年代，是为了解线性方程组 的需要而产生的。然而，在公元前我国就已经有了矩阵的萌芽。在我国的九章算术 一书屮已经有所描述，只是没有将它作为一个独立的概念加以研究，而仅用它解决实 际问题，所以没能形成独立的矩阵理论。1850年，英国数学家西尔维斯特(sylvester, 18141897)在研究方程的个数与 未知数的个数不相同的线性方程组是，由于无法使用行列式，所以引入了

13、矩阵的概念。 1855年，英国数学家凯莱(caylag, 18211895)在研究线性变换下的不变量时，为 了简洁、方便，引入了矩阵的概念。1858年，凯莱在矩阵论的研究报告屮定义了两个矩阵相等、相加以及数与矩 阵的数乘等运算和算律，同时，定义了零矩阵、单位矩阵等特殊矩阵，更重要的是在 该文屮他给出了矩阵相乘、矩阵可逆等概念，以及利用伴随矩阵求逆矩阵的方法，证 明了有关的算律，如矩阵乘法有结合律，没有交换律。两个非零矩阵乘积可以为零矩 阵等结论，定义了转置阵、对称阵、反对称阵等概念。1878年，德国数学家弗洛伯纽斯(frobeniws, 18491917)在他的论文中引入了 入矩阵的行列式因子

14、、不变因子和初等因子，同时给出了正交矩阵的定义，1879年， 他又在自己的论文中引进矩阵秩的概念。矩阵的理论发展非常迅速，到19世纪末，矩阵理论体系已基木形成。到20世纪, 矩阵理论得到了进一步的发展。目前，它已经发展称为在物理、控制论、机器人学、 生物学、经济学等学科有大量应用的数学分支。矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出來的一个极其重要的数学概念，在讨论线 性方程组的解的存在性与解的结构时，这些解及其结构与系数矩阵和增广矩阵的性质 密切相关。矩阵不仅是解方程组的强冇力工具，也是线性空间中线性变换的最直接表 现形式，甚至在数学的其他分支、物理学、工程科学领域、经济学及其他社会科学领 域有着广

15、泛的应用。例如在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（逆 时针旋转），将坐标xoy逆时针旋转某角度得到新坐标，我们可以利用坐标变换公式 可以用矩阵表示该坐标进行了怎样的变换，即坐标变换的矩阵。二次曲线的一般方程 形式的左边可以简单地写作矩阵的形式。再冇在讨论国民经济的数学问题中也常常用 到矩阵，关于企业内部各部门之间的生产与分配之间的数量关系，往往可以利用矩阵 进行分析。河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述矩阵是数学屮的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究 和应用的一个重要工具。“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的 矩阵列区别于行列

16、式而发现了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展 的很好了。从行列式的大量工作屮明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否 与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建 立起来的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来，并发表了关于这个题目的一系列文章。凯 莱同研究线性变换下的不变量相结合，首先引进矩阵以简化记号。1858年，他发表了关 于这一课题的第一篇论文矩阵论的研究报告，系统地阐述了关于矩阵的理论。文中他 定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基

17、本概念，指出 了矩阵加法的可交换性与可交换性。另外，凯莱述给出了方阵的特征方程个特征根（特征 值）以及有关矩阵的一些基本结果。矩阵是从许多实际问题的计算中抽象出來的一个极其重要的数学概念,在讨论线性方 程组的解的存在性与解的结构时，这些解及其结构与系数矩阵和增广矩阵的性质密切相 关。矩阵不仅是解方程组的强冇力工具，也是线性空间中线性变换的最直接表现形式，m 至在数学的其他分支、物理学、工程科学领域、经济学及其他社会科学领域有着广泛的应 用。例如在解析几何中考虑坐标变换时，如果只考虑坐标系的转轴（逆时针旋转），将坐 标xoy逆时针旋转某角度得到新处标，我们可以利用处标变换公式可以用矩阵表示该处标

18、 进行了怎样的变换，即坐标变换的矩阵。二次曲线的一般方程形式的左边可以简单地写作 矩阵的形式。再有在讨论国民经济的数学问题屮也常常用到矩阵，关于企业内部各部门z 间的生产与分配之间的数量关系，往往可以利用矩阵进行分析。求解可逆矩阵的逆矩阵有多种方法，陈东升的线性代数与空间解析儿何及其应用 屮详细介绍了用初等变换法求解可逆矩阵的逆矩阵。逆矩阵的应用也是多方面的，在矩 阵方法一书中，作者列举了逆矩阵在实际中的几个应用，比如有逆矩阵在解矩阵方阵中 的应用、逆矩阵在解线性方程组屮的应用、逆矩阵在信息传输屮的应用等等。河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章摘自张文博.线性代数（第7版）求解线性方程组

19、或许是数学问题中最重要的问题。超过75%的科学研究和工程应用中 的数学问题，在某个阶段都涉及求解线性方程组。利用新的数学方法，通常可以将较为复 杂的问题化为线性方程组。线性方程组广泛应用于商业、经济学、社会学、生态学、人口 统计学、遗传学、屯子学、工程学以及物理学等领域。一般地，如果的线性方程组可以化简为严格三角形式，则它将有一个唯一解， 并可通过三角形方程组的回代法得到。我们可将化简的过程看成是一个n-1步的算法。第 一步，从矩阵的第一列所有非零元中选择一个主元。包含主元的行称为主行（pivotal row） o交换行（若需要）使得主行称为第一行。然后其余叶1行减去主行的某个倍数， 使得从第

20、二到第n行中的第一个元为0.第二步，从矩阵的第二行到第n行屮选择第二列 的一个非零元作为主元，将包含主元的行作为主行，消去第二列屮主元下而的所有元。从 第三列到第n-l列重复相同的过程。注意，在第二步中，第一行和第一列的元素并不发生 变化；进行第三步时，前两行以及前两列的元素保持不变，以此类推。在每一个步骤中, 方程组的维数实际上有效减少lo如果能像上述方式进行消元过程，旷1步之后，即口j得到一个等价的严格三角形方程 组。然而，上述过程中，如果在任何一步所有可能选择的主元均为0,此时该过程就将在 这一步停止。当这种情况发生时，可以考虑将方程化为某种特殊的梯形或者阶梯形。阶梯 形的方程组将在下一

21、节进行讨论。他们还可用于nx加的方程组，其中给定一线性方程组x = b,可以在其两端同乘一系列特殊矩阵，以得到一个等价的行 阶梯形方程组。我们将使用的这些特殊矩阵称为初等矩阵（elementary matrices）。它 们将用來观察如何计算非奇异矩阵的逆矩阵，以及得到一个重要的矩阵分解。下面从考虑 线性方程组两端同乘一个非奇界矩阵的作用开始。给定一个x m线性方程组kx = b,可以通过再其两端同乘一个非奇异的n x m矩阵m, 得到它的一个等价方程组ax = bmax = mb显然，任何（1）的解也将为（2）的解。另一方面，如兀果为（2）的解，则ax = h因此，这两个方程组是等价的。为了

22、获得一个容易求解的等价方程组，我们可以将一系列非奇异矩e.-e,阵应用到 方程的 w 两端，从而得到一个较为简单的方程组：ux = c其中u=eea,且c=e&e0。由于e为非奇异的，因此新的方程组和 原有的方程组是等价的。然而，因为m为非奇异矩阵的乘积，故它也是非奇异的。下面将说明三个初等行运算可以用a左乘一个非奇异矩阵來实现。如果从单位矩阵i开始，只进行一次初等行运算，得到的矩阵称为初等(elementary) 矩阵。分别对应于三类初等行运算，冇三类初等矩阵。类型1第1类初等矩阵由交换矩阵i的两行得到。类型2第2类初等矩阵由单位矩阵1的某一行乘以一个非零常数得到。类型3第3类初等矩

23、阵出矩阵i的某一行的倍数加到另一行得到。一般地，假设e为一斤的初等矩阵，我们可以认为e是由i经过一个行运算或一 个列运算得到的。若a为一刃x厂的矩阵，a左乘e的作用就是对a进行相应的运算，若b 为一个加"的矩阵，b右乘e等价于对b进行相应的运算。数学和统计建模中的一个基木方法是，根据最小二乘(least squares)拟合平面上 的点集。最小二乘曲线的图形通常是基本类型的函数，例如线性函数、多项式或三角多项 式。出于数据可能会有测量误差或实验误差，我们不要求曲线通过所有数据点。事实上, 我们需要在所有数据点处的y值和逼近曲线相应点处的y值之间误差的平方和最小意义下 的最佳曲线。最小

24、二乘技术是由勒让德(a. m. legendre)和高斯(carl friedrich gauss)独立 地提出的。尽管冇明确的证据表明，在高斯还是一个学生的时候，早于勒让德的文章九年 就已经提岀这种方法并使用它进行了天文计算，然而有关这个主题的笫一篇文章是勒让徳 在1806年发表的。seven j. leon. linear algebra with application ( seventh edition )probably the most important in mathematics is that of solving a system of linear equations

25、-well over 75 percent of all mathematical problems encountered in scientific or industrial applications involve solving a linear system at some stage. by using the methods of modem mathematics ,it is often possible to take a sophisticated problem and reduce it to a single system of linear equations.

26、 linear system arise in applications to such areas as business, economics, sociology, ecology, demography, genetics, electronics, engineering, and physicsin general, if an nxn linear system can be reduced to strictly triangular form, then it will have a unique solution that can be obtained by perfor

27、ming back substitution on the triangular systcm. wc can think of the reduction process as an algorithm involving n-1 step. at the first step, a pivot element is chosen from among the nonzero entries in the first column of the matrix. the row containing the pivot element is called the pivotal row. we

28、 interchange rows (if necessary) so that the pivotal row is the new first row. multiples of the pivotal row are then subtracted from each of the remaining nl rows so as to obtain os in the first entries of 2 through n. at the second step, a pivot element is chosen from the nonzero entries in column

29、2, rows 2 through n, of the matrix. the row containing the pivot is then interchanged with the second row of the matrix and is used as the new pivotal row. multiples of the pivotal row are then subtracted from the remaining n-2 rows so as to eliminate all entries below the pivot in the second column

30、. the same procedure is repeated for columns 3 through n-1. note that at the second step row 1 and column 1 remain unchanged, at the third step the first two rows and first two columns remain unchanged, and so on. at each step, the overall dimensions of the system are effectively reduced by 1 (see f

31、igure li.2).if the elimination process can be carried out as described, we will arrive at an equivalent strictly triangular system after n-1 step. however, the procedure will break down if; at any step, all possible choices for a pivot element are equal to 0. when this happens, the alternative is to

32、 reduce the system to certain special echelon, or staircase-shaped, forms. these echelon forms will be studied in the next section. they will also be used for m x n systems, where mn .given a linear system ax = h, we can multiply both sides by a sequence of special matrices to obtain an equivalent s

33、ystem in row echelon form. the special matrices we will use are called elementary matrices. we will use them to see how to compute the inverse of a nonsingular matrix and also to obtain an important matrix factorization. we begin by considering the effects of multiplying both sides of a linear syste

34、m by a nonsingular matrixgiven an m x n linear system ax = b , we can obtain an equivalent system by multiplying both sides of the equation by a nonsingular m x n matrix m:ax = bmaa = mbclearly, any solution of (1) will also be a solution of (2). on the other hand, if xis a solution of (2), thenm4(m

35、ax)=m4 (mz?)ax = band it follows that the two systems are equivalent.to transform the system ax = b to a simpler form that is easier to solve, we can apply a sequence of nonsingular matrices e - e；, to both sides of the equation. the new system will then be the formux = cwhere u=eea and c=e«eq

36、the transformed system will be equivalent to the original, provided that m=ere】 is nonsingular. however, m is nonsingular, since it is a product of nonsingular matrix.wc will show next that any of the three elementary row operations can be accomplished by multiplying a on the left by a nonsingular m

37、atrix.if we start with the identity matrix i and then perform exactly one elementary row operation, the resulting matrix is called an elementary matrix.there are three types of elementary matrices corresponding to the three types of elementary row operations.type 1 an elementary matrix of type i is

38、a matrix obtained by interchanging two rows of i.type 2 an elementary matrix of type 2 is a matrix obtained by multiplying a row of i by a nonzero constant.type 3 an elementary matrix of type 3 is a matrix obtained from i by adding a multiple of one row to another row.in general, suppose that e is a

39、n n x n elementary matrix. we can think of e as being obtained from i by either a row operation or a column operation. if a is an nxr matrix, pre-multiplying a by e has the effect of performing that same row operation on a. if b is an m x n matrix, post-multiplying b by e is equivalent to performing

40、 that same column operation on b.a standard technique in mathematical and statistical modeling is to find a least squares fit to a set of date points in the plane the least squares curve is usually the graph of a standardtype of function, such as a linear function, a polynomial, or a trigonometric p

41、olynomial. since the data may include errors in measurement or experiment-related inaccuracies, we do not require the curve to pass through all the data points. instead, we require the curve to provide an optimal approximation in the sense that the sum of squares of errors between the y values of th

42、e data points and the corresponding y values of the approximating curve are minimized.the technique of least squares was developed independently by adrien-marie legendre and carl friedrich gauss. the first paper on the subject was published by legendre in 1806, although there is clear evidence that

43、gauss had discovered it as a student nine years prior to legendre's paper and used the method to do astronomical calculations.本科生毕业论文设计浅谈逆矩阵的求法及其应用作者姓名：秦艳敏指导教师:麻常利所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2014届数学a班二o四年四月十六日中文摘要、关键字11基础知识21.1矩阵的定义及性质21.2逆矩阵的定义及性质41.3矩阵可逆的充分必要条件川52求逆矩阵的方法52. 1定义法62.2伴随矩阵法6

44、2.3初等变换法92.4分块矩阵法102.5解方程组法143逆矩阵的应用163. 1在解线性方程组中的应用163.2在解矩阵方程中的应用183.3 在加密传输中的应用 203.4用逆矩阵求不定积分 223.5在投入产出分析中的应用253.6在调配问题中的应用26参考文献29英文摘要、关键字30浅谈逆矩阵的求法及其应用数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师麻常利作者秦艳敏摘要：本论文主要讨论的是可逆矩阵的求法及其简单的应用。本论文总共分为三个章 节，第一章简单的介绍了一些相关的基础知识，包括矩阵的定义及其性质、逆矩阵的定义 及其性质；第二章介绍了几种求逆矩阵的方法，详细介绍了五种求逆矩阵的

45、方法，包括定 义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法、解方程组法，并且分别举例进行进一步解 释，并且研究了适用范围，指出了针对不同的矩阵采用不同的求逆方法；第三章介绍了逆 矩阵的几个应用，分两个部分进行举例，一是在数学中的应用，二是在实际生活中的应用, 具体包括在解线性方程组中的应用、在解矩阵方程中的应用、在解不定积分中的应用、在 加密传输屮的应用、在投入产出分析屮的应用、在调配问题屮的应用。关键词：矩阵逆矩阵伴随矩阵分块矩阵初等变换1基础知识1.1矩阵的定义及性质1.1.1矩阵的定义定义1曲 m x n 个数 a»( i = 1,2,，m； j = l,2,，n）排成的皿行!列的

46、数表:an ai2 a./a =a21 a22 a2n_amlam2amn .叫做m行口列矩阵，简称为mxn矩阵，其中知表示位于第滋亍第j列的数，又称矩阵 的元.矩阵常用大写黑体字母a , b, c,-诫者（）,（切），（）,”表示. 如果题目中需要指明矩阵的行数和列数，我们经常写坐人皿“或a = （aij）mxn（i = 1,2,，m； j = l,2,，n）,这里下标i指明行序数，下标j指明列序数.元是实数的矩阵为实矩阵，元是复数的矩阵是复矩阵一般的矩阵除特别说明z外， 都是指实矩阵.如果m = n,我们就称a为n阶矩阵或称为n阶方阵，n阶矩阵也可以记作只有一行的矩阵a = （a,a2.a

47、n）称为行矩阵，为了避免元素z间的混淆，一般行矩阵也可记为:bia = （ap j,，an）,同理，只有一列的矩阵8=称为列矩阵. 如果两个矩阵的行数和列数都相等，那么称这两个矩阵为同型矩阵如果a = （a/和 b =（m）是同型矩阵并且这两个矩阵相对应的元素也相等，也就是aq = bij（i = l,2,，m； j = l,2,，ii）,那么我们就称这两个矩阵相等，记作a二b.称只有一个元素a的矩阵为一阶矩阵，简记为（a）,称所有元素都为数0的矩阵为零 矩阵，简记作0。注意不同型的零矩阵是不同的.n阶方阵1 0 00 1 0 e“ = _0 0 1叫做n阶单位矩阵，简记作e或i,容易看出，该

48、方阵的特点是：从矩阵的左上角到右下角的直线(主对角线)上的元素为1,其余的元素全部是数0,即e = ( 8jj )其中"(人 j = l,2,，n).j ojj1.1.2矩阵的性质性质1矩阵的加法运算具有以下运算规律：(1) 加法交换律：a + b = b + a；(2) 加法的结合律：(a + b)+ c = a +(b + c)；(3) a + 0 = 0 + a = a；其中a、b、c都是mxn阶矩阵.性质2矩阵的数乘运算具冇以下运算规律：(1) (kl)a = k(la)= l(ka)；(2) k(a + b)= ka + kb；(3) (k + l)a二ka + la；其中

49、a、b、c都是mxn阶矩阵，k、1为任意实数.性质3矩阵乘法运算满足的运算规律和性质：(1) 结合律:a(bc)=(ab)c；(2) 分配律：a(b + c) = ab + ac,(a + b)c = ac + bc ；(3) 数与乘法的结合律:(ka)b = a(kb)= k(ab)；(4) 当a、b皆为n阶方阵时，有|ab| = |a|b|；(5) (ab)t = btat；(6) r(ab)< min(r(a), r(b)；性质4矩阵乘法不满足交换律.例1 已知a =,求ab和b*.'1 0_00_00'_0 0'10_0 0_ab =0 01000,ba

50、=1 000=1 0解:1.2逆矩阵的定义及性质1.2. 1逆矩阵的定义定义2设三为二阶矩阵，若存在二阶矩阵三，使得ab = m = e，则称矩阵2是可逆的, 并且称三为丄的逆矩阵，简称为丄的逆阵或丄的逆，记为a-; =b.例 2：设a二 2° , b= 21 1 120-1-022 01 0_1 -1丄-10 12ab =e10ba-12 0'1 0_1 -10 1mb=e所以 ab = ba = e ,因而说2是可逆矩阵，hb是a的逆矩阵显然定义中矩阵a与b的地位是相同的，所以也可以说矩阵b可逆，而a是b的逆 矩阵，并且从定义可知，可逆阵及其逆矩阵都是方阵容易验证：单位矩

51、阵e是可逆矩阵,且逆矩阵就是其本身，即e"=e 设矩阵c = ° °我们可以看出，对任何二阶矩阵二 乘积的第一行元素必全为零，故总有cdze,因而c可不能有逆矩阵，这说明，不是任何方阵都有逆矩阵.1.2.2逆矩阵的性质性质5如果矩阵占是可逆的，那么占的逆矩阵是唯一的.证明：设b和c都是方阵a的逆矩阵，则依定义有：ab = ba = e, ac = ca = e从而，b = be = b（ac）=（ba）c = ec = c即b = c,这说明2的逆矩阵只有一个.性质6若a是可逆矩阵，则a"也是可逆矩阵，且（a"）j=a；性质7若a是可逆矩阵，k

52、是不为零的数，则ka也是可逆矩阵，且（ka）"二半ask性质8若a是可逆矩阵，则人丁也是可逆矩阵，k（at）_，=（a-,）t;性质9若a与b均是n阶可逆矩阵，则ab也是n阶可逆矩阵，且（ab）_，= ba1 ； 证明：因为（ab）b_,a_, =a（bb_,）a, =aea_, = aa_, = e ；（ba-1） ab = b"1（a_1a）b = b_,eb = b"'b = e ；所以 ab 是可逆矩阵，且 （ab）-11.3矩阵可逆的充分必要条件卩】木节给出判定矩阵可逆的一些充分必要条件（1）n阶方阵a可逆的充分必要条件是|a|ho （也即r（a

53、）= n）；（2）n阶方阵a可逆的充分必耍条件是a可以通过初等变换（特别是只通过初等行 （列）变换）化为n阶单位阵；（3）n阶方阵a可逆的充分必要条件是a可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）对于n阶方阵a,若存在n阶方阵b使得ab = e （或ba = e）,则a可逆，且 a'1 = b；（5）n阶方阵a可逆的充分必要条件是a的n个特征值不为零；例3设人=311312 ,求a可逆的条件，在a可逆的条件下，求a*&21 &22解：a <>|a| = aha22 -a12a210 ,或,当|a|ho 时,312 a22 a21 a22a"aiia22 _

54、 ai2a21a 22a21-a12311 j2求逆矩阵的方法2. 1定义法此法要求我们对矩阵乘法运算比较熟练，对于元素比较特殊的矩阵，可以直接看出满 足条件的矩阵b ,只需要验证ab = e和ba = e中的一个成立即可.例4 设n阶矩阵a满足a?-3a-4e = 0,求证a, a-3e可逆，并求其逆矩阵.< a _ a p、解：由 a2-3a-4e = 0, pjwa(a-3e)= 4e,即 a=e,故 a 可逆，且 a"=£(a-3e)； a-3e 也可逆，且(a 3e)"=a,对于元素没有具体给出的抽象矩阵a ,判断该矩阵可逆以及求其逆矩阵常用如下结 论结论：设a是n阶方阵，若存在n阶方阵b,使得ab = e (或ba = e)，则a可逆, 其a"=b注：对于需要证明a可逆且要求出a"的题口，利用上述结论可以将两个问题一并解 决.例5设方阵a满足a'-a?+2a-e = 0 ,证明a及e-a均可逆，并求和 (e-a)-'.解：设(e-a)(-a2+aa + be)= ce ,展开得 a3-(a + l)a2+(a-b)a +