浅谈数形结合法在解题研究中的应用

1、浅谈数形结合法在解题研究中的应用韦妙珍中文摘要数形结合法是将数量关系化为图形问题或把图形性质问题转换为数量关系 的一种方法；数形结合是指借助于图形的直观性加深对数量关系的认识，数与形 配合，揭霜问题本质，简化解题过程的一种方法；数形结合不仅是i种重要的解 题方法，而且也是一种重要的思维方法，在中学中占有重要的地位。数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代 数的信息，利用数量特征，将其化为代数问题；解决与数量有关的问题时，根据 数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题。从而利用数形 的辩证统一和各口的优势尽快的得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力 有极大

2、的帮助。关键词数形结合思想数形结合解题方法技巧abstractshuoxingjiehe law is the rmmber of relations will translate into graphics or the graphic nature of the relationship between the number ofthe use of graphics to relationship, with the a simplified method of is an important methodconversions for a way; shuoxingjiege is t

3、hrough enhance the number of intuitive awareness of the number and shape, exposing nature of the problem, problem solving process; shuoxingjiehe not only of probl em sol ving, but al so an impottaint way of thinking, in secondary schools occupy an important position.shuxingjiege is to solve the prob

4、lem-solvin£ and geometry-related issues, graphic information will be converted into algebra, the number of features into its algebra problems to solve and the number of related issues, according to the number of structural features, constructed the corresponding geometry, that is, as the geomet

5、ric problem. to shape the use of the dialectical unity and their respective strengths to get the problem-solving approach, which improved analysis and problem-solving abilities extremely helpful. key words shuxingjiege thinking shuxingjiege solution methods ski 11s数形结合的主要方法有：图象法、几何法、坐标法等。数形结合的主要途径：1

6、、通过坐标系；2、转化，比如把止数a转化 为距离，把a（或ab）转化为面积，把（或abc）转化为体积，把戸审转化为勾股定理或平 面上两点间的距离，把a2+b2+ab转化为余弦定理等；（3）、构造，比如构造一个 儿何图形，构造一个图表等。本文笔者将从两个方面说明数形结合法在中学数学 解题中的应用。1 “形”中觅“数”很多数学问题，需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形, 使问题获解。例1、已知y=x'+2kx+(k - 2)是关于x的二次 函数(1)试证明它的图象与x轴总有两个交点。(2)如果有一个交点的横坐标小于2,另一个交点的横坐标大于2,试确定k 的取值范围。解：(l

7、)x的方程y=x'+2kx+(k 一 2)的判别式a =(2k)2 - 4xlx(k 2) = 4k' - 4 k+8 = (2k - l)2+ 7 >0此二次方程有两个不相等的实数根此二次函数的图象与x轴总有两个交点。(2)如图 1-1,抛物线的开口向上，两交点的横坐标一个小于2,而另一个大于2,此二次函数在x = 2吋函数值小于零，即 4+4k+k -2<0,说明：木例利用数形结合联系转化法解木例(2)的解答根据已知条件， 运用数形结合思想由二次函数在x= 2时的函数值小于零建立不等式是解决问题 的关键。例2、(九年级课木下册b第5题)如图，点e、f、g、h分别

8、位于正方形abcd的四条边上，四边形efgh 也是正方形当点e位于何处时，正方形efgh的面积最小？解：设正方形efgh的而积为y,正方形abcd的边长设为a,是定长；ae 的长为x,则be= a - x ,四边形abcd与efgh都 是正方形azdab=zhef=90°.zl + z2=z2+z3=90°az1=z3根据aas易证得 aeh竺a bfe；同理可证得，a aeh9 a bfe9 a cgf9 a dhhg bf=cg=dh=ae=x , cf=dg=ah=be= a - x：s正方形hgfe二s正方形abcd - 4saaeh2dgs2皿为为如苗中比jelf

9、jb aw hbstft/h. 施小值为说明：本例由图形面积的最值问题联想到二次函数的最值问题，即将形的问 题与代数的问题进行联系，使问题得到解决。这充分体现了形与数的辩证关系。2 “数”上构“形”很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可以发现它具有某种 几何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，从而将代数问题化 为几何问题，使问题获解。例1、当2wxw3时，化简如铲+铲得an 2x-1b、-2x+lc、 1d、5解析：+ 屁录二|x+2| + | x-3 i,如图2-1,画出数轴，在2wxw3上任一点x到2与3的距离z和从图中便可得到，其和为5,应选d。 注：由x+220

10、,x3w0去掉绝对值符号，也可求得结杲。例2、求证：lx+21 + lx31=5有无数个解。证明：如图2-2,数轴上的点a、b分别对应数2、3, p为数轴上的点， 对应数x , lx + 2 i的儿何意义是线段ap的长度，丨x3 i的儿何意义是线段pb的 长度。线段ab的长度等于5。当点p是线段ab上的任意一点时，都有线段 ap与线段pb的长度和等于线段ab的长度。故满足2wxw3的x的值都 是 给定方程的解，因此方程有无数个解。说明:例、例2都是利用数轴上有 线线段的长度公式来研究绝对值问题。例3、(lliffi省1997年中考试题)直线y=- x - 2与直线y = x + 3的交点在a、

11、第一象限 b、第二象限c、第三象限d、第四象限分析：木例可联立两直线的解析式， 通过解方程组求得交点坐标，而后再判断 此交点所在第儿象限内。而在同一坐标系 内画出两条直线后，便可直接观察出两条 一直线的交点在第几象限。解:如图2-3,在同一坐标系中画出已知两条直线，便可知它们的交点在第二象限。应选b。说明：本例釆用了直接图彖法的解法，避免了解方程组及由交点的横、纵坐标的符号判断交点所在象限的过程。例4、一次函数y=kx+b的图彖经过点(m, 1)和点(l,m), mvl,则k和b满 足的条件是()。a、 k<0,b>0b、k<0,b<0c、 k>0, b>0

12、d、 k>(),b<()解析：取m二2,满足m<- 1 ,此时一次函数y=kx+b的图彖经过点(2 ,1)和点(1,-2),在直角坐标系中画出过这两点的直线，如图2-4所示，从图中可直观得出kvo,b< 0的结论，应选bo例5、(山东省1997年中考试题)已知直线y = -4 - 2x与y = 3x + b相交于第 三象限内一点，b的取值范围是()a、b> 4b、b<6c、4<bv6d、 b为任意实数分析：在同一坐标系中画定直线y = 42x与动直线y = 3x + b ,通过研究动直线的变化 情况來确定b的取值范围。解:如图2-5,在坐标中画出直线y

13、 =-4-2x ,它与x轴、y轴的交点分别为a(-2 ,0), b(0,4),当动直线y=3x+b过点a时，则它与y轴的交点是c( 0,6)。由图象可以观察得，要使直线y= 3x+b与直线y=-4-2x的交点在第三象限, 动直线与定直线的交点应在a、b两点之间，此时动宜线与y轴的p应在b、c 之间，则有4<b<6,故应选c。例6、试讨论方程x - 2x - 1 =k ( -l<x<2,k<l)实数解的个数。解：令 y, =x2 - 2x - 1 , ( -1<x<2)y2 二k , (k<l)分别作出函数力、y2的图象,如图2-6,由图形可知:当

14、k21或k<-2时，两函数图像无交点，即方程无实数解； 当lwk<l时，两函数图像有一个公共点，原方程有一解； 当-2<k<1时，两函数图像有两个公共点，原方程有两解; 当1<=2吋，两函数图象有一个切点，原方程冇两个相等的解。说明：利用图象法讨论方程解的个数问题是 一种行z有效的方法，要点是首先把方程现两边的 代数式看作是两个函数的表达式(有吋可能须作适 当的调整，以便于作图)然后作出两个函数图彖， 从两个函数图象交点的个数去讨论原方程的解的个数。例7、(广州1998年中考试题)已知函数y = x2 -2 x - 3(1) 求出这个函数图象的顶点坐标；(2) 结

15、合这个函数图象，确定当x取什么值时，y=0;y>0 分析：用配方法求出函数图象的顶点坐标；画出这个函数的图象，结合图象确定所需的 x的取值(或取值范围)。h7解：(l)y = x2 - 2x - 3 =(x - 1 )2 - 4这个函数图象的顶点处标是(1 ,4)。(2)画出这个函数的图象如图2-7, 依据图象知：当x = - 1或x=3时,y = 0.当xv1或x >3时，y>0.说明：利用函数图象解方程或解不等式宜观性强，但要求图象要作的准确, 准确找出“零点”是问题解决的关键。证明：作线段ab如图2-8,取ac= a, bc=b , 则ab=a + bo以ab为直径作圆

16、，过c作ed丄ab,交00 于 d、e,贝lj ed=dc+ce,ce=ade=2*/当c不是圆心时，ed<ab,即2圧<a+b例 9、已知 ahb,求证：|- jl«2 |<la-bl。分析：根据式子，联想勾股定理，将分别看作两直角 三角形的斜边，利用 几何方法加以证明。证明：根据式了构造图形如图2-9,设rt apoa中，p0=l, oa=a,贝ipa二o rt a pob 中，ob二b,则 pb=v1+41,显然在 pab 中，ipa -pbiviabi,<la-bl说明：图屮画的是a>b的情形，英实当a<b时,结论显然也是成立的，构造图形后

17、，此不等式证明避开了运算。例10、试证，对于任何a>0,b>0,c>0都有問亠2当且仅当石二石°石时等号成立。分析：观察题目特点，从二"想到余弦定 理，可以构造三角形，同理从另两个根式也可构造三角形，利用几何方法加以证 明。证明：根据式子构造图形如图2-10,其中ab=a , bc=c ,bd=b , zabd=zdbc=60° 由余弦定理dc=,ac=.ad+dc2ac./a1 -a* +fta+c 2 p + «+ca当且仅当a、d、c三点共线时等号成立。此时s aabc =saabd + sacbd9912op=opaoe = ob+acjii g= + 丄.v tf c例11、八年级 课木屮证明整式乘法公式，如完全平方分式：(a + b)2 =+2 a. b + bj o解析:木例除了根据乘方的意义及多项式的乘法推导z外，还可