第四章 斜齿行星齿轮传动系统动力学分析精选

1、西北工业大学硕士学位论文 参考文献第四章 斜齿行星齿轮传动系统动力学分析4.1 引言行星齿轮传动由于具有重量轻、结构紧凑、传动比大、效率高等优点，在民用、国防领域中都得到了广泛的应用，行星齿轮传动的振动和噪声是影响传动系统寿命和可靠性的重要因素。近年来，国内外学者对行星齿轮传动的动态特性进行了大量研究：J.Lin、R.G.Parker、宋轶民等分析了行星齿轮传动的固有特性42-49；A.Kahraman等研究了行星齿轮传动的均载特性 50-52，并分析了加工误差对动态响应的影响53-54；R.G.Parker等还提出了通过控制啮合相位差抑制系统振动的方法55-57；潜波、罗玉涛、D.R.Kir

2、acofe等探讨了复杂行星齿轮传动的动力学建模与分析59-65；沈允文、孙涛、孙智民等对星型齿轮传动和行星齿轮传动的非线性动力学特性进行了深入研究66-70。目前，关于行星齿轮传动的研究多针对直齿行星轮系，而对斜齿行星传动的研究还很少，所建立的模型也有待进一步完善。建立精确的动力学模型，是研究动态特性的首要工作，本章针对斜齿行星齿轮传动，以变形协调分析为基础，建立了其耦合非线性动力学模型，推导了其运动微分方程，最后分析了斜齿行星轮系的自由振动特性，对固有频率和固有振型的特点进行了总结。4.2 系统的动力学模型及方程4.2.1 传动系统的动力学模型行星齿轮传动平移-扭转耦合动力学模型考虑的自由度

3、非常多，因此其动力学方程也非常复杂。为方便动力学方程的推导，建立各个集中质量的坐标系如下：为静坐标系，其原点在行星轮系的几何中心，坐标系不随行星轮系运动；为行星架随动坐标系，其原点在行星架回转中心，固连在行星架上随行星架的运动而等速运动，其轴正向通过第一个行星轮中心平衡位置；坐标系为行星轮坐标系，也固连在行星架上随之等速旋转，其原点位于行星轮的中心平衡位置，轴通过太阳轮中心与行星轮中心的连线指向内齿圈，轴与行星架相切指向行星轮中心运动速度方向。以3行星轮的传动系统为例，建立行星齿轮传动动力学模型如图4-1所示，各弹性支承及啮合副均有阻尼，为保持模型整洁阻尼符号未在图中标出，其命名规则与刚度系数

4、相同，只需将换成。图4-1 行星齿轮传动平移-扭转耦合动力学模型 端面的动力学模型还不足以表述各构件在轴向的运动情况，需要轴侧图加以辅助说明。斜齿行星传动中各构件在轴向的相对位移关系如图4-2所示，为表达清晰，图中未画出内齿圈的支承和行星架。假定各个构件在端面平移方向的刚度和阻尼相同，而在轴向的刚度和阻尼与端面方向不同。图4-2 行星轮系各构件间的相对位移2K-H型斜齿行星齿轮传动系统由太阳轮、个行星轮、行星架和内齿圈构成，可根据使用要求固定其中任何一个构件，实现不同的功率传递形式。图4-1及图4-2所示的模型中共包含有个自由度，其广义坐标分别是：太阳轮的扭转线位移，内齿圈的扭转线位移，第个行

5、星轮相对于行星架的扭转线位移，行星架的扭转线位移，以及各构件在端面和轴向的平移线位移，不考虑系统的摆振。其中为构件的基圆半径(；为行星轮中心分布圆的半径)，为构件的角位移。系统的广义坐标矢量可表示为：4.2.2 构件的质心加速度分析在齿轮系统动力学分析中，一般仅考虑刚体位移和弹性变形的叠加，而不考虑二者的耦合作用，也即陀螺效应。在低速条件下，陀螺效应对系统的影响可以忽略不计，但随着系统转速的提高，耦合响应会变得越来越大，此时陀螺效应将变得不可忽略。为建立准确的动力学模型和方程，需要对行星齿轮传动的构件质心加速进行分析，以明确陀螺效应对系统动力学特性的影响机理。行星传动系统中构件数目较多，且存在

6、虚约束，各构件之间的相对运动关系较为复杂。以图4-3所示的行星架随动坐标系来分析行星轮系中各构件的运动。图4-3 行星架随动坐标系图4-3中，为静坐标系，为行星架随动坐标系。对任一时刻，行星架随动坐标系相对静坐标系轴转过的角度。设是行星轮系中某构件质心的位移向量，、分别为、轴方向的单位矢量，、分别是在、轴上的投影，则可表示为： (4-1)在静坐标系中，有,则、及二者的导数可表示为： (4-2)将对时间求二阶导，并结合式(4-2)可得构件质心加速度： (4-3)式(4-3)表明在行星架随动坐标系中，任意构件的质心加速度都可以表示为、两个方向加速度分量的矢量和。4.2.3 构件间的相对位移分析行星

7、齿轮传动系统中，力的传递使存在相互作用的构件产生弹性变形，通过构件的受力分析和变形协调分析，可以推导出构件的平衡方程。根据图4-1、4-2所示的构件相对位置，对各坐标方向的位移进行投影，分析构件间的相对位移关系，以表示行星轮与太阳轮、内齿圈的啮合角，在行星架随动坐标系下：(1)太阳轮在方向的位移投影到方向为：；(2)太阳轮在方向的位移投影到方向为：；(3)太阳轮在方向的位移投影到方向为：；(4)行星轮在方向的位移投影到方向为：；(5)行星轮在方向的位移投影到方向为：；(6)行星轮在方向的位移投影到方向为：；(7)行星轮在方向的位移投影到方向为：；(8)行星轮在方向的位移投影到方向为：；(9)行

8、星轮在方向的位移投影到方向为：；(10)内齿圈在方向的位移投影到方向为：；(11)内齿圈在方向的位移投影到方向为：；(12)内齿圈在方向的位移投影到方向为：；(13)行星轮在方向的位移投影到方向为：；(14)行星轮在方向的位移投影到方向为：；(15)行星轮在方向的位移投影到方向为：；(16)行星轮在方向的位移投影到方向为：；(17)行星架在方向的位移投影到方向为：；(18)行星架在方向的位移投影到、方向为：；(19)行星架在方向的位移投影到方向为：；(20)行星架在方向的位移投影到、方向为：。各构件间的弹性变形是由以上各项投影位移共同作用所引起的，只需将相关投影项叠加，便能得出不同构件在各广义

9、坐标方向的相对位移，即弹性变形量。在行星架随动坐标系下，考虑啮合误差的构件间相对位移可表示为： (4-4)式中：第个行星轮与太阳轮、内齿圈在各自啮合线方向的相对位移； 行星轮与行星架在方向的相对位移； 行星轮与行星架在方向的相对位移； 第个行星轮中心和行星架中心连线与正方向的夹角； ，； 齿轮的压力角； 齿轮的螺旋角； 第个行星轮与太阳轮、内齿圈之间的啮合误差。根据式(4-4)的弹性变形计算公式，可以确定构件所受各方向的作用力。啮合力向量始终作用在啮合面内，啮合齿轮可视为由弹簧和阻尼相连的刚体，因此，行星轮与太阳轮、内齿圈之间的啮合力可表示为： (4-5)式中：第个行星轮与太阳轮、内齿圈的啮合

10、刚度；第个行星轮与太阳轮、内齿圈的啮合阻尼；间隙函数，表示各啮合副的变形量，。各行星轮沿圆周方向的分布满足均布条件，使不同行星轮与太阳轮、内齿圈出现异步啮合，同一时刻各啮合副的刚度值并不相等。一般的动力学分析常常忽略异步啮合引起的啮合相位差，但从振动波形叠加的角度考虑，啮合相位差对系统的动力学特性有着重要影响。啮合相位差主要由构件的齿数和行星轮的个数决定，各齿轮副间啮合相位差的计算公式为： (4-6)式中：取余运算； 行星轮的个数； 太阳轮齿数、行星轮齿数、内齿圈齿数； 太阳轮与第个行星轮啮合相对于与第一个行星轮啮合的相位差； 内齿圈与第个行星轮啮合相对于与第一个行星轮啮合的相位差； 任一行星

11、轮与太阳轮啮合相对于与内齿圈啮合的相位差。4.2.4 传动系统的动力学方程系统中每个构件都包含两个端面平移自由度、一个轴向平移自由度和一个扭转自由度，根据牛顿第二运动定律可建立各广义坐标对应的平衡方程。设构件的质量为，转动惯量为，端面平移阻尼系数为，轴向平移阻尼为，扭转阻尼系数为，端面平移刚度系数为，轴向平移刚度系数为，扭转刚度系数为。表示构件所受的外力矩，假设外力矩方向与图4-1中各构件的旋转方向相同。不考虑啮合轮齿间的摩擦，则行星架、内齿圈、太阳轮、第个行星轮的动力学微分方程可分别表示为： (4-7) (4-8) (4-9) (4-10)上述动力学方程组考虑了陀螺效应，从中可以看出，陀螺效

12、应对系统影响的大小由行星架的转速直接决定。将上述方程组写成矩阵形式，有： (4-11)式中：系统的广义坐标矢量；系统的广义质量矩阵；支承阻尼矩阵、啮合阻尼矩阵、陀螺矩阵；支承刚度矩阵、啮合刚度矩阵、向心刚度矩阵；外激励矢量。式(4-11)包含扭转方向的刚体位移，可以引入相对位移、作为新的广义坐标，对以上四个方程组中的扭转振动方程进行合并处理，再对消除刚体位移后的方程进行无量纲化处理，最终得到系统的无量纲振动方程。4.3 传动系统的固有特性分析4.3.1 系统的自由振动微分方程系统的自由振动方程可通过对式(4-11)进行简化处理得到。不考虑间隙、误差及阻尼、外载荷的影响，当行星架速度较小时，科氏

13、力和离心力均可忽略，假定端面平移刚度与轴向平移刚度相等，将式(4-4)代入以上四个方程组，系统的无阻尼自由振动方程为： (4-12) (4-13) (4-14) (4-15)式中： 4.3.2 系统的固有频率及振型 取斜齿行星传动各构件的参数如表4-1所示，分别取行星轮的个数为3个、4个、5个，求解对应的特征方程，所得系统各阶固有频率如表4-2所示：表4-1 斜齿行星传动系统的构件参数构件质量/转动惯量/齿数/个支承刚度/扭转刚度/太阳轮行星轮内齿圈行星架法面模数，压力角，螺旋角啮合刚度，啮合刚度表4-2 系统的各阶固有频率(Hz)重根数振动模式000中心构件轴向平移扭转模式758721689

14、1041969894196520492084245525332587288429032902301931513293371037323808619364986776635469637527948924900中心构件径向平移模式12551239121521562171218825392530252328712981310248294928502559426378678121412141行星轮模式248624864097409745574557绘制各阶固有振型图发现，斜齿行星传动的固有频率和振型都存在一定规律，在行星轮个数时，系统的振动模式可以分为三类：中心构件轴向平移扭转模式、中心构件径向平移模

15、式和行星轮模式。选取具有代表性的系统振型图如图4-4、图4-5、图4-6所示, 横坐标与系统广义位移坐标对应，纵坐标为振幅，图(a)为中心构件径向平移模式，图(b)为中心构件轴向平移扭转模式，图(c)为行星轮模式。为便于观察各广义坐标的振幅比例，将振幅绝对值的最大值作为1，其他振幅以此为参照作线性变换，使相对振幅的值在-11之间。(a)中心构件径向平移振动模式(第4阶固有振型，频率948Hz)(b)中心构件轴向平移扭转振动模式(第8阶固有振型，频率1965Hz)图4-4 时的固有振型(a)中心构件径向平移振动模式(第4阶固有振型，频率924Hz)(b)中心构件轴向平移扭转振动模式(第8阶固有振

16、型，频率2049Hz)(c)行星轮振动模式(第9阶固有振型，频率2141Hz)图4-5 时的固有振型(a)中心构件径向平移振动模式(第4阶固有振型，频率900Hz)(b)中心构件轴向平移扭转振动模式(第8阶固有振型，频率2085Hz)(c)行星轮振动模式(第9阶固有振型，频率2141Hz)图4-6 时的固有振型对系统的固有频率和振型进行分析，发现其具有以下特点：（1）中心构件轴向平移扭转振动模式对应有10个特征值，且均为单根。该振动模式中，各中心构件只有轴向位移和扭转位移，径向平移振幅均为零。各行星轮做复杂的平面振动，且不同行星轮在同一广义坐标的振幅相同。（2）中心构件径向平移振动模式对应有7

17、个特征值，且均为二重根。该振动模式中，各中心构件只有径向平移振动，轴向位移和扭转位移均为零。各行星轮做复杂的平面振动，行星轮的振幅之间没有规律。（3）行星轮振动模式对应有4个特征值，且均为重根（针对的情况），它们的大小不受行星轮个数的影响。该振动模式中，各中心构件均不振动，时，行星轮振动状态呈轴向反对称规律，其他情况下行星轮的振动状态各不相同，但不同行星轮的振幅呈比例关系。1 李润方，王建军.齿轮系统动力学-振动·冲击·噪声M.北京：科学出版社，19972 W.A.Tuplin. Gear Tooth Stresses at High Speed C. Proceeding

18、 of Institution of Mechanical Engineering, 1950, 16:162-1673 F.LLitvin, J.S.Chen , J.Lu，et al. Application of Finite Element Analysis of Determination of Load Share, Real Contact Ratio, Precision of Motion and Stress AnalysisJ.Journal of Mechanical Design,1996, 118(4):561-5674 F.L.Litvin, Qiming Lia

19、n, Alexander L.Kapelevich. Asymmetric modified spur gear drives: reduction of noise, localization of contact, simulation of meshing and stress analysis J.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2000,188:363-3905 R.G.Parker, S.M.Vijayakar, T.Imajo. Non-linear dynamic response of a spur

20、gear pair: modeling and experimental comparisonsJ. Journal of Sound and Vibration,2000,237(3):435-4556 M.Vaishya, R.Singh. Sliding friction-induced non-linearity and parametric effects in gear dynamicsJ. Journal of Sound and Vibration, 2001,248(4):671-6947 Jian Lin, Robert G.Parker. Mesh stiffness v

21、ariation instabilities in two-stage gear systemJ. Journal of Vibration and Acoustics,2002, 124:68-768 Gang Liu, Robert G.Parker. Impact of tooth friction and its bending effect on gear dynamicsJ. Journal of Sound and Vibraton,2009, 320:1039-10639 孙月海，张策，潘凤章等.直齿圆柱齿轮传动系统振动的动力学模型J.机械工程学报，2000,36（8）：47-

22、5410 王三民，沈允文，董海军.多间隙耦合非线性动力系统的分叉与混沌J.西北工业大学学报，2003,21（2）：191-19411 林江，楼建勇.斜齿圆柱齿轮传动系统动力学模型及动特性试验研究J.机械工程学报，2003，39（7）：29-3312 张锁怀，孙玉杰，沈允文.齿轮时变系统的强迫振动J.中国机械工程，2005，16（8）：723-72813 唐进元，陈思雨，钟掘.一种改进的齿轮非线性动力学模型J.工程力学，2008，25（1）：217-22314 石照耀，康焱，林家春.基于齿轮副整体误差的齿轮动力学模型及其动态特性J.机械工程学报，2010,46（17）：55-6115 王三民，沈

23、允文，董海军.含间隙和时变啮合刚度的弧齿锥齿轮传动系统非线性振动特性研究J.机械工程学报，2003,39（2）：28-3216 杨宏斌，高建平，邓效忠等.弧齿锥齿轮和准双曲面齿轮非线性动力学研究J.航空动力学报，2004,19（1）：54-5717 王立华，李润方，林腾蛟等.弧齿锥齿轮传动系统的耦合振动分析J.中国机械工程，2006，17（14）：1431-143418 汪中厚，周晓玲.螺旋锥齿轮动力学研究方法及进展J.中国机械工程，2006，17（11）：1203-120819 杨先勇，周晓军，胡宏伟等.螺旋锥齿轮非线性振动特性及参数影响J.浙江大学学报，2009，43（3）：505-510

24、20 冯治恒.螺旋锥齿轮多体多自由度非线性动力学研究D.博士学位论文，重庆大学，201021 范叶森，王三民，杨振等.斜交弧齿锥齿轮耦合多转子系统振动分析方法J.哈尔滨工业大学学报，2011，43（3）：111-11622 李以农，李贵彦，郑玲等.支承刚度和啮合间隙变化时弧齿锥齿轮传动系统的分叉与混沌行为J.高技术通讯，2011,21（1）：65-7023 Robert F.Handschuh. Recent advances in the analysis of spiral bevel gearsR.NASA Report TM-107391,199724 J.Argyris, Alfon

25、so Fuentes, F.L.Litvin. Computerized integrated approach for design and stress analysis of spiral bevel gearsJ. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2002, 191:1057-109525 F.L.Litvin, Alfonso Fuentes, Kenichi Hayasaka. Design, manufacture, stress analysis, and experimental tests of l

26、ow-noise high endurance spiral bevel gearsJ.Mechanism and Machine Theory,2006,41:83-11826 F.L.Litvin. 齿轮几何学与应用理论M.上海：上海科学技术出版社，200827 Faydor L.Litvin, Alfonso Fuentes, Claudio Zanzi, et al. Face-gear drive with spur involute pinion geometry, generation by a worm, stress analysisJ.Computer Methods in

27、 Applied Mechanics and Engineering, 2002,191:2785-281328 Faydor L.Litvin, Ignacio Gonzalez-Perez, Alfonso Fuentes, et al. Design, generation and stress analysis of face-gear drive with helical pinionJ. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2005, 194:3870-390129 Faydor L.Litvin, Alfon

28、so Fuentes, Matt Howkins. Design, generation and TCA of new type of asymmetric face-gear drive with modified geometryJ. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2001, 190:5837-586530 Faydor L.Litvin, Alfonso Fuentes, Claudio Zanzi, et al. Design, generation, and stress analysis of two v

29、ersions of geometry of face-gear drivesJ. Mechanism and Machine Theory,2002,37:1179-112131 Claudio Zanzi, José I.Pedrero. Application of modified geometry of face gear driveJ. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2005,194:3047-306632 付自平.正交面齿轮的插齿加工仿真和磨齿原理研究D.硕士学位论文，南京航空航天大学，20

30、0633 赵宁，曾晓春，郭辉等.斜齿面齿轮齿面仿真及其轮齿接触分析J.航空动力学报，2008，23（10）：1927-193234 沈云波，方宗德，赵宁等.齿廓方向修形的斜齿面齿轮啮合特性研究J.中国机械工程，2008，19（18）：2219-222235 靳广虎，朱如鹏，鲍和云.正交面齿轮传动系统的非线性振动特性研究J.中南大学学报，2010，41（5）：1807-181336 林腾蛟，冉雄涛.正交面齿轮传动非线性振动特性研究J.振动与冲击，2012，31（2）：25-3137 A.Kahraman. Planetary gear train dynamicJ. Journal of Mec

31、hanical Design,1994,116（1）：713-72038 Robert G.Parker, Vinayak Agashe, Sandeep M.Vijayakar. Dynamic Response of a Planetary Gear System using a Finite Element/Contact Mechanics ModelJ.Journal of Mechanical Design,2000,122:304-31039 A.Kahraman, A.A.Kharazi, M.Umrani. A deformable body dynamic analysis

32、 of planetary gears with thin rimJ.Journal of Sound and Vibration, 2003,262:752-76840 C.Yuksel, A.Kahraman. Dynamic tooth loads of planetary gear sets having tooth profile wearJ.Mechanism and Machine Theory,2004,39:695-71541 卜忠红，刘更，吴立言.行星齿轮传动动力学研究进展J.振动与冲击，2010,29（9）：161-16642 Jian Lin, R.G.Parker.

33、Analytical characterization of the unique properties of planetary gear free vibrationJ.Journal of Vibration and Acoustics,1999,121:316-32143 J.Lin, R.G.Parker. Sensitivity of planetary gear natural frequencies and vibration modes to model parametersJ. Journal of Sound and Vibration ,1999,228(1):109-

34、12844 Xionghua Wu, Robrt G.Parker. Modal properties of planetary gears with an elastic continuum rig gearJ.Journal of Applied Mechanics,2008, 75:1-1245 Tugan Eritenel, Robert G.Parker. Modal properties of three-dimensional helical planetary gearsJ. Journal of Sound and Vibraton,2009, 325:397-42046 J

35、.Lin, R.G.Parker. Structured vibration characteristics of planetary gears with unequally spaced planetsJ. Journal of Sound and Vibration, 2000,233(5):921-92847 杨通强，宋轶民，张策等.斜齿行星齿轮系统自由振动特性分析J.机械工程学报，2005,41（7）：50-5548 宋轶民，许伟动，张策等.2K-H行星传动的修正扭转模型建立与固有特性分析J.机械工程学报，2006,42（5）：16-2149 张俊，宋轶民，张策等.NGW型直齿行星传

36、动自由振动分析J.天津大学学报，2010,43（1）：90-9450 Avinash Singh, Ahmet Kahraman, Haris Ligata. Internal gear strains and load sharing in planetary transmissions: model and experimentsJ. Journal of Mechanical Design,2008,130:1-1051 H.Ligata, A.Kahraman, A.Singh. A closed-form planet load sharing formulation for pla

37、netary gear sets using a translational analogyJ. Journal of Mechanical Design,2009,131:1-752 陆俊华，朱如鹏，靳广虎.行星传动动态均载特性分析J.机械工程学报，2009，45（5）：85-9053 Ajit Bodas, Ahemet Kahraman. Influence of carrier and gear manufacturing errors on the static load sharing behavior of planetary gear setJ.JSME Internation

38、al Journal,2004,47(3):908-91554 H.Ligata, A.Kahraman, A.Singh. An experimental study of the influence of manufacturing errors on the planetary gear stresses and planet load sharingJ.Journal of Mechanical Design,2008,130:1-955 Robert G.Parker. A physical explanation for the effectiveness of planet ph

39、asing to suppress planetary gear vibrationJ.Journal of Sound and Vibration, 2000,236(4):561-57356 R.G.Parker, J.Lin. Mesh Phasing Relationships in Planetary and Epicyclic GearsJ.Journal of Mechanical Design, 2004,126:365-37457 Vijaya Kumar Ambariha, Robert G.Parker. Suppression of planet mode respon

40、se in planetary gear dynamics through mesh phasingJ.Journal of Vibration and Acoustics,2006,128:133-14258 J.Lin, R.G.Parker. Planetary gear parametric instability caused by mesh stiffness variationJ.Journal of Sound and Vibration,2002, 249(1):129-14559 Daniel R.Kiracofe, Robert G.Parker. Structured

41、vibration modes of general compound planetary gear systemsJ.Journal of Vibration and Acoustics,2007,129:1-1660 Yichao Guo, Robert G.Parker. Purely rotational model and vibration modes of compound planetary gearsJ. Mechanism and Machine Theory, 2010,45:365-37761 潜波，巫世晶，周广明等.行星齿轮传动系统动力学特性研究J.系统仿真学报，2009,21（20）：6608-662562 朱恩涌，巫世晶，王晓笋等.含摩擦力的行星齿轮传动系统非线性动力学模型J.振动与冲击，2010,29（8）：217:22163 杨富春，周晓军，郑津洋.复式行星齿轮传动系统综合动力学模型及振动特性分析J.2011,30（8）：144-14864 李瑰贤，赵永强，常山等.船用两级双排斜齿行星齿轮系统动力学方程的建立J.船舶力学，2011,15（5）：530-53765 罗玉涛，陈营生.混合动力两级行星机构动力耦合系统动力学建模及分析J.机械工程学报，2012,84（5）：70-7566 孙智民.功率分