2022届高三数学一轮复习（原卷版）黄金卷04（理）（新课标Ⅱ卷）（解析版）

1、黄金卷04（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合，若，则实数的值为( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】，又，又，、是方程的两个根，故选a。2设复数满足，则复数( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】，故选a。3函数的图像大致是( )。a、 b、 c、 d、【答案】b【解析】函数的定义域为，又，则为奇函数，排除c、d，在上恒成立，而在上恒成立，当时，故选b。4如图虚线网格的最小正方形边长为，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为( )。a、b、c、d、【

2、答案】c【解析】还原三视图为几何体的直观图可知如图：是圆柱的一半，可得该几何体的体积为：，故选c。5已知实数、满足不等式组，若的最大值为，最小值为，则( )。a、b、c、d、【答案】b【解析】表示可行域中的点到原点距离的平方，由图可知点到原点的距离最大，原点到直线的距离为可行域中点到原点距离的最小值，设距离为，则，故选b。6已知等差数列的通项公式为()，当且仅当时，数列的前项和最大，则当时，( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】由题意可知，解得，又，则，即，或(舍)，故选a。7已知，则中的系数为( )。a、b、c、d、【答案】c【解析】，则，的通项公式，则两个通项公式为，当时，当时，则的系

3、数为，故选c。8已知在边长为的正三角形中，、分别为边、上的动点，且，则的最大值为( )。a、b、c、d、【答案】b【解析】如图建系，则、，则，设()，则()，则，当时取最大值，故选b。9已知函数()关于对称，将函数图像向左平移()个单位后与函数重合，则的最小值为( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】关于对称，即()，又，将向左平移个单位，此时与重合，有()，的最小值为，故选a。10互相垂直的直线、(不与坐标轴垂直)过抛物线：的焦点，且分别与抛物线交于点、，记、的中点分别为、，则线段的中点的轨迹方程为( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】由题意，抛物线：的焦点，设直线、的方程分别为和，、

4、，联立得，、，联立得，、，、，的轨迹方程为，故选a。11南宋著名数学家杨辉在年所著的详解九章算法中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就。在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前项和为，将数列中的整数项组成新的数列，则的值为( )。a、b、c、d、【答案】d【解析】根据“杨辉三角"的性质可得数列前项和为：，此数列为、，其中的整数项为、，即、，其规律为各项之间以、递增，数列是奇数项以为公差，为首项的等差数列，偶数项以为公差，为首项的等差数列，即，由得，故选d。12已知函数()有两个极值点、()，则的最大值为( )。a、b、c、d、【答案】

5、d【解析】的定义域为，设，由题意可知在内有两个不等的实数根、()，需满足，解得，又、，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故选d。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13曲线在处的切线方程为 。【答案】【解析】由求导可得，故在处切线斜率为，切线方程为。14若，则 。【答案】【解析】，则，。15某学校进行足球选拔赛，有甲、乙、丙、丁四个球队，每两队要进行一场比赛。记分规则为胜一场得分，平一场得分，负一场得分。若甲胜乙、丙、丁的概率分别是、，甲负乙、丙、丁的概率分别是、，最后得分大于等于为胜出，则甲胜出的概率为 。【答案】【解析】两队进行一场比赛，一队胜、平、负是互斥事件，由题意可知：

6、甲平乙、丙，丁的概率分别是、，甲胜的概率为。16在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，线段的中点为，若，则此四棱锥的外接球的表面积为 。【答案】【解析】如图，设为中点，为正方形中心，连、，设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则球心一定在过点且垂直于底面的垂线上，是边长为的等边三角形，又、，又，为外心，则球心一定在过点且垂直于侧面的垂线上，又，。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）某公司统计了年期间该公司年收入的增加值(万元)以及相应的年增长率，所得数据如表所示：年份代码增加值增长率(1)通过表格数据可知，可用线性回归模型拟合年的年收入增加

7、值与代码的关系，求增加值关于代码的线性回归方程；(2)从哪年开始连续三年公司年收入増加值的方差最大？(不需要说明理由)附：对于一组数据、，其回归直线中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，。【解析】(1)依题意， 1分， 2分， 4分， 6分，故， 8分故所求的同归方程为； 9分(2)年。 12分18（12分）如图所示，在四棱锥中，为的中点。(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值。【解析】(1)， 2分在中， 3分又、平面，平面； 4分(2)由(1)得、，又，平画，以为坐标原点，、为，轴如图建立空直角坐标系， 5分、，又为的中点，则， 6分由图可知平面的法向量为，又， 8分设直线与

8、平面所成角的平面角为，则， 11分则。 12分19（12分）已知在锐角中，三个内角、所对的边分别为、，满足。(1)求的值；(2)若，求的取值范围。【解析】(1)在中，由得：，又由正弦定理得：， 2分即， 4分即，解得，； 5分(2)在锐角中，由正弦定理可得， 6分 ， 9分，而， 10分又正切函数在上单调递增， 11分从而，即的取值范围是。 12分20（12分）已知圆： ，点，以线段为直径的圆内切于圆，记点的轨迹为。(1)求曲线的方程；(2)若、为曲线上的两点，记、，且，试问的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。【解析】(1)取，连接，设动圆的圆心为，两圆相内切，又， ，

9、 2分点的轨是以、为焦点的椭圆，其中，、，的轨迹方程为； 4分(2)当轴时，有、，由得，又，、， 6分当与轴不垂直时，设直线的方程为，联立得：， 8分则，由得，即，整理得：， 10分，综上所述，的面积为定值。 12分21（12分）已知函数，函数的导函数为，()。(1)求函数的单调区间(2)若函数存在单递增区间，求的取值范围；(3)若函数存在两个不同的零点、，且，求证：。【解析】(1)的定义域为， 1分令解得，当时，此时在上单调递减， 2分当时，此时在上单调递增， 3分的单调递减区间为，单调递增区间为； 4分(2)，定义域为， 5分若函数存在单递增区间，只需在上有解，即存在使得，令，则，令解得，

10、 6分当时，则在上单调递增，当时，则在上单调递减，则时取极大值也是最大值，的取值范围为； 8分(3)由(2)可知()，令可知，设，则，令解得， 9分当时，则在上单调递增，当时，则在上单调递减，又，且当时， 10分当时，直线与的图像有两个交点，即有两个不同的零点、，。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为。(1)求的普通方程和圆的直角坐标方程；(2)已知点，直线与圆相交于、两点，求。【解析】(1)将直线的参数方程消去参数得直线的普通方程为， 2分将和代入到中，则圆的直角坐标方程为，即； 5分(2)将的参数方程 (为参数)代入到圆的直角坐标方程，得，设这个方程的两个实根分别为、， 7分则由参数的几何意义即知，。 10分23选修4-5：不等式选讲（10分）已知()。(1)当时，求不等式的解集；(2)若，不等式恒成立