描述性统计学公式

1、名师推荐精心整理学习必备统计学公式汇总表一、组限和组中值1 当两组间的相邻组限重合时：组距 =本组上限 本组下限组中值 =（上限 +下限） / 2或=下限 +组距 / 2 或=上限 组距 / 22 当两组间的相邻组限不重合时：组距 =下组下限 本组下限或 =本组上限 上组上限组中值 =（本组下限 +下组下限） / 2 或 =本组下限 +组距 / 2或 =下组下限 组距 / 23 组距式分组中的“开口”情况：组中值 =上限 邻组组距/ 2或 =下限 +邻组组距/ 2一、相对指标的种类和计算方法（一）计划完成相对数1 计划完成相对数的基本计算公式：实际完成数计划完成相对数 =* 100%计划完成数

2、例：某公司计划 销售收入500 万元，实际的销售收入552 万元。则：计划完成相对数=552* 100% = 110.4%5002 计划完成相对数的派生公式：（ 1）对于产量、产值增长百分数：100%实际增长 %计划完成相对数 =* 100%100%计划增长 %（2）对于产品成本降低百分数：100% 实际增长 %计划完成相对数 =* 100%100% 计划增长 %例：某企业 规定产值计划比上年增长8%，计划生产成本比上年降低5%，产值实际比上年提高 10%，生产成本实际比上年降低6%，试求该企业产值和成本计划完成相对数。解：产值计划完成相对数100%10%=* 100% = 101.85%10

3、0%8%100% 6%成本计划完成相对数=* 100% = 98.95%100% 5%名师推荐精心整理学习必备（ 3）计划执行进度相对数的计算方法：计划期内某月止累计完成数计划执行进度 =本期计划数* 100%例：某公司计划完成商品销售额1500 万元， 1 9 月累计实际完成 1125 万元。则：1 9 月计划执行进度 =1125* 100% = 75%1500（二）结构相对数总体某部分数值* 100%结构相对数 =总体数值例：某地区 国内生产总值为1841.61亿元，其中第一产业增加值为88.88 亿元，则：第一产业增加值所占比重=88.88* 100% =4.83%1841.61（三）比

4、例相对数总体中某一部分数值* 100%比例相对数 =同一总体另一部分数值例：某地区 国内生产总值为 2106.96 亿元，其中轻工业产值为1397.31 亿元，重工业产值为 709.65 亿元，则：轻重工业比例 =1397.31:709.65=1.97:1（四）比较相对数比较相对数 =甲地区（单位）某指标数值* 100%乙地区（单位）同一指标数值例： 某省两个市有关资料如表所示。市名人口数（万人）国内生产总值 （亿元） 人均国内生产总值（元/人）甲7252803862乙3401925647比较相对数213.24145.8368.39（以乙市为 100）（五）动态相对数报告期数值* 100%动态

5、相对数 =基期数值例：某地区国内生产总值为 2097.77 亿元，为 2383.07 亿元。则：动态相对数 = 2383.07* 100% = 113.6%2097.77（六）强度相对数名师推荐精心整理学习必备某一指标数值强度相对数 =另一有联系的指标数值例：某地区零售商业网点为50000 个，年平均人口为800 万人，则：零售商业网密度 =50000个= 62.5（个 /万人）800万人零售商业网密度 =800万人= 0.016（万人 /个）50000个三、平均指标（一）算数平均数1 简单算数平均数：n_xix = x1x2xn=i 1nn例：某生产班组10 个工人日加工零件数量分别为20、

6、 21、22、 23、24、 25、 26、 28、29、32，则这 10 个工人日平均加工零件数为：平均加工零件数 = 20212223 24 2526 28 29 32= 25（件）102 加权算术平均数： 根据单项数列计算加权算术平均数：nxifi_ x1 f 1x2 f 2x3 f 3xnfni 1x =f 2f 3fn=nf 1fii1例：某车间有200 名职工，他们每月加工的零件数如表所示：零件数（件） xi工人数（人）f i产量 * 工人数xi f i30206003250160034762584354014003614504合计2006688职工平均加工零件数= 30* 203

7、2* 5034* 7635* 40 36 * 14= 33.44（件）2050764014根据组距数列计算加权算术平均数名师推荐精心整理学习必备nxi fi_i1（ xi 为组中值）x =nfii 1例：某食品厂上月有员工300 人，其糖果产量资料如表所示：产量（千克）员工人数（人） f i组中值 xi总产量（千克） xi f i400 以下2235077004005005045022500500600665503630060070076650494007008005675042000800 以上3085025500合计300183400nxi fi_i1x =n= 611.33（千克）fii

8、1（二）调和平均数1 简单调和平均数：H= n（H 代表调和平均数， xi 代表各单位标志值，n 代表标志值的项数 ）n1i 1xi例：轮船从甲地开往乙地，去时顺水行舟，船速为每小时100 千米，返回时逆水行舟，船速为每小时80 千米，求轮船的平均时速。H=1=88.89（千米 /时）11100 8022 加权调和平均数：nmiH= i n1 mii 1 xi名师推荐精心整理学习必备例：红星制造厂本月购进甲种原材料三批， 每批采购价格和采购金额如表所示， 求本月购进甲种原材料的平均价格。价格（元 /千克） ximimi采购金额（元）采购量（千克）xi第一批5025000500第二批554400

9、0800第三批6018000300合计870001600nmi原材料的平均价格： H=i 1= 87000 =54.38（元 /千克）min1600i 1xi（三）几何平均数1 简单几何平均数：G= n x1 * x2 * x3 * xn = nxi（G 代表几何平均数， xi 代表各单位标志值， n 代表标志值的项数，连乘符号）例：某地区上个五年期间，经济的发展速度如表所示：时间第一年第二年第三年第四年第五年发展速度（ %）104.1107.7110.5114.0118.0则平均发展速度 G= nxi= 5 1.041* 1.077 * 1.105 * 1.14 * 1.18 =1.1075

10、2 加权几何平均数：nfinifxi fiG= i 1 x1 f 1 * x2 f 2 * x3 f 3 * * xn fn = i 1利用对数计算，则计算公式为：nfi lg xilgG=f 1 lg x1 f 2 lg x2fn lg xn= i 1nnfifii 1i 1例：某地区20 年来的经济发展速度如表所示，要求计算20 年中经济平均发展速度。发展速度（ %） xi年数（次数）f ilgx if i lgx i10212.00862.008610552.021210.106107102.029420.294011042.04148.1656合计2040.5742名师推荐精心整理学习

11、必备nfi lg xilgG=i 1=40.57422.0287n20=fii 1G=106.83%四、众数和中位数（一）众数 ：下限公式： M 0= L+1* i12上限公式： M 0=U 2* i12公式中： L 代表众数组的下限值；U 代表众数组的上限值； 1 代表众数组次数与前一组次数之差； 2 代表众数组次数与后一组次数之差；i 代表众数组的组距。例：现检测某厂生产的一批电子产品的耐用时间，的资料如表所示。耐用时间（小时）产品个数（个）600 以下8460080016180010002441000120015712001400361400 以上18合计700易知众数落在第二组，则：L

12、=800 ，1 =244 161=83 ，2 =244 157=87 ，i = 200众数 M0=L+1* i = 800 +12（二）中位数1 由未分组资料确定中位数：83* 200 =897.65（小时）8387n1Om =（ n 代表单位标志值的项数）2例：某生产小组7 人日产量（件） ，由低到高排列为：9， 10,12，13,14,15,16 ，求中位数。n171中位数所在位置Om =4222 由单项数列确定中位数：nfii 1Om =2名师推荐精心整理学习必备例：某车间56 个工人的日产量资料如表所示，求车间工人日产量的中位数。日产量（件）工人数（人）累计次数108815122018

13、204020105022656合计56nfi56i 1Om =28，对应在第三组。22所以 M e =183 由组距数列确定中位数nfi中位数所在位置Om =i 12nfii 1Sm12下限公式： M e = L +fm* infii 1Sm12上限公式： M e =U * ifm公式中： L 为中位数所在组的下限值；U 为中位数所在组的上限值；f m 为中位数所在组的次数；Sm1 为中位数所在组前面各组的累计次数；Sm+1 为中位数所在组后面各组的累计次数；i 代表中位数所在组的组距。耐用时间（小时）产品个数（个）累计次数以下累计以上累计600 以下848470060080016124561

14、68001000244489455100012001576462111200140036682541400 以上1870018合计700名师推荐精心整理学习必备nfi700Om =i 1=35022说明中位数在第三组，即在800-1000 小时之间。nfi700i1Sm 12245中位数 M e = L +* i = 800 +2* 200 = 886.07（小时）fm244五、几种平均数的关系1 算数平均数、众数和中位数的关系：_当x =M e=M 0 时，分布曲线为正态分布；_当x >M e>M 0 时，分布曲线右偏；_当x <M e<M 0 时，分布曲线左偏；2

15、算数平均数、调和平均数和几何平均数的关系：_H G x六、变异度指标（一）变异度指标的计算1 全距：R = xmax - xmin例：某车间5 个工人日产量分别为5,15,20,30,50，求工人产量全距。R=50 5=45 （件）2 四分位差：Q0= xmin ；Q4= xmax；Q2= M e四分位差的计算公式为：Q= Q3Q1公式中： Q3为第三个四分位数，（3n1）Q3 的位置 =4；Q1为第一个四分位数，n1Q1 的位置 =4例：某车间有12个工人，其日产量按数量由小到大依次排列如下：10,20,22,24,25,26,27,28,30,32,34,35 ，求其四分位差。名师推荐精心

16、整理学习必备Q1的位置 = n 1=12 1=3.25 ，则 Q1=22+2422=22.5（件）444Q3（3 n1） （3121）（332 30）的位置 =4=9.75， Q3=30+31.5（件）44所以 Q= Q 3 Q1=31.2 22.5=9（件）3 平均差简单平均差：A.D. =n_xixi 1n例：某车间组5 个工人的日产量分别为20,22,25,26,27（件），求该组日产量平均差。n_xix =i 1=24（件）nn_i 1xix12 = 2.4（件）A.D. =n=5加权平均差：n_xix * fii1A.D. =nfii1例：某车间100 个工人的日产量资料如表所示：日

17、产量（件）f i组中值 xixi fi_工人数（人）|xi x |xi x | fi10 以下1055018.8188102024153608.82112030402510001.2483040203570011.222440 以上64527021.2127.2合计1002380798.4名师推荐精心整理学习必备n_xi fi2380x =i1=23.8（件）n100fii1n_xix *fiA.D. =i 1n= 798.4 =7.98（件）fi100i14 标准差和方差简单平均法n_(xix) 22 =i 1n例：某车间组5 个工人的日产量分别为20,22,25,26,27（件），求该组日

18、产量标准差差。n_xixi1=24（件）=nn_2(xix)2 =i 134n= =6.85=6.8 =2.61（件）加权平均法：n_( xix)2 fi2 =i 1nfii 1例：红星食品厂本月员工500 人，本月糖果产量资料如表所示，试以标准差反映该糖果厂人均产量的差异情况。人均产量（千克）工人数（人） fi组中值 xi600 以下40550600700100650700800160750800900120850900 以上80950名师推荐精心整理学习必备合计500nxi fi_385000x =i 1=n500=770(千克 )fii1n_2 fii1( xix)68000002 =1

19、3600nfi500i 1= 13600=116.62（千克）交替标志的标准差：p=P(1 P)（P 为某事件发生的概率）例：某车间生产300 件产品其中合格品为270 件，不合格品30 件试计算这批产品的平均合格率及标准差。合格率：P= 270 =90%300p=P(1 P) =0.9(1 0.9) =30%总方差、组间方差和平均组内方差：总方差：n_(xix) 2_2 =i 1（2 代表总体方差，x 代表总体平均数，n 表示总体单位数）n组间方差：n_( xix)2 ni_2 = i 1（2表示组间方差，x i 表示第 i 组的组平均数（组中值） ， x 代n表总体平均数， ni 表示第

20、i 组的总体单位数，n 表示总体单位数）平均组内方差：名师推荐精心整理学习必备n_2 =i 1( xix i ) 2in_n2 niii2 =i1n_2公式中：i2代表各组组内方差的平均数，n 表示第 i 组的总代表第 i 组的组内方差，ii体单位数， n 表示总体单位数例：某班组9 个工人，日产量分别为2，4，4，6， 7，8，9， 11,12，根据资料计算总平均数_x ：nxi_x =i1= 63 = 7（件）n9n_( xix) 22 =i1n= 90 =10（件）92将上述资料整理成组距数列并计算组间方差，计算过程如表所示：日产量（件）xi工人数（人） f i组平均数（件） xi（ x

21、i x ） 2 f i2533.3340.416947.501.001012211.540.5合计981.91n_( xix)2 fi2 = i 1n= 81.91 = 9.1fi9i1_2根据资料计算各组内方差2，计算过程见下列各表：i 以及平均组内方差 i第一组方差计算表日产量（件） xi（xi x1） 2x1 =3.3321.7740.45名师推荐精心整理学习必备40.45合计2.67_n_i 1 (xixi )22.6712= 0.89ni3第二组方差计算表日产量（件） xi2）2（xi x62.2570.2580.2592.25合计5.00_n_( xixi )25.002i 1=1

22、= 1.25ni4第三组方差计算表日产量（件） xi（xi x3 ） 2110.25120.25合计0.50_n_2( xixi )0.502i 1=1= 0.25ni2计算组内平均数x2 =7.5x3 =11.5_n2 nii0.25 * 28.172 =i 10.89* 3 1.25* 4= 0.9in995 变异系数：V = _*100%x例：某农科所对其培育的甲、乙两种农作物良种进行播种试验，得平均收获率资料和资料和收获率标准差，如表所示：甲品种乙品种平均公顷产量（千克）1200014250标准差（千克）570630名师推荐精心整理学习必备日产量（件）工人数 f i组中值 xixi f

23、i（ xi x ）2 f i累计次数50 以下114549599001150601355715520024607070654550700094708012075900002148090508542505000264901003095285012000294标准差系数： V 甲 =甲*100% =570_*100% = 4.75%12000x甲V 乙 =乙630_ *100% =*100% = 4.42%x乙14250（二）偏度与峰度（ 不需要背公式，只需要理解公式的意义和作用）1 偏度的测量 （下面的计算都不需要掌握，只要能看懂即可。）=_= x M 0偏度 算数平均数众数xM0偏态系数： S

24、Kp =例：甲车间300 工人日产量资料如表所示：名师推荐精心整理学习必备10011051055254500299110 以上11151151600300合计3002250045200nxi fi_i122500x =n=75（件）fi300i 1n( xi_x) 2 fi2 =i1n= 452fi3i1=12.27（件）M0=L+1* i50=74.17（件）=70+* 10125070xM 0= 0.07所以 SKp =2 动差法nxifi_一阶原点动差M 1 = in1fi= xi1nxi2fiM 2 = i1二阶原点动差nfii1nxi3fiM 3 = i1三阶原点动差nfii1nxi

25、4fi四阶原点动差 M 4 = i1nfii1名师推荐精心整理学习必备nxi k fiK 阶原点动差M k = i 1nfii 1_若将原点移到算数平均数x 的位置上，则可得中心K 阶动差 mk，如：n（ xi x）fi一阶中心动差 m1= i 1n= 0fii 1n2（xi x） fi二阶中心动差 m2= i 1n= 2fii 1n3（xi x）fi三阶中心动差 m3= i 1nfii 1n4（xi x） fi四阶中心动差 m4= i 1n，等等。fii 1动差法偏态系数：=m3m33或 =3m2当 =0 时，表明分布数列是对称分布。当 >0 时，表明分布数列是正向偏态（右偏）。当 <0 时，表明分布数列是负向偏态（左偏）。例：名师推荐精心整理学习必备日产量（件）工人数 f i组中值 xixi x3（ xi x ）4fi（ xi x ） fi50 以下1145-30-297000891000050601355-20-104000208000060707065-1