(完整word版)六年级奥数-分数裂项

1、1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page 1 of 8教学目标本讲知识点属于计算大板块内容，其实分数裂项很大程度上是发现规律、利用公式的过程，可以分为 观察、改造、运用公式等过程。很多时候裂项的方式不易找到，需要进行适当的变形，或者先进行一部分 运算，使其变得更加简单明了。本讲是整个奥数知识体系中的一个精华部分，列项与通项归纳是密不可分的，所以先找通项是裂项的前提，是能力的体现，对学生要求较高。分数裂项将算式中的项进行拆分，使拆分后的项可前后抵消，这种拆项计算称为裂项法裂项分为分数裂项和整数裂项，常见的裂项方法是将数字分拆成两个或多个数字单位的和或差。遇到裂项的计算题时，要仔细的 观察每项

2、的分子和分母，找出每项分子分母之间具有的相同的关系，找出共有部分，裂项的题目无需复杂 的计算，一般都是中间部分消去的过程，这样的话，找到相邻两项的相似部分，让它们消去才是最根本的。（1）对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即丄形式的，这里我们把较小的数写在前面,a b那么有（2）对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即:形式的，我们有:n (n 1) (n 2) (n 3)1 1 1 1 _ n (n 1) (n 2) 2 n (n 1) (n 1)(n 2)1 1 1n (n 1) (n 2) (n 3)3【n (n 1) (n 2)裂差型裂项的三大关键特征:（1） 分子全部相同，

3、最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x（x为任意自然数）的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2） 分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3） 分母上几个因数间的差是一个定值。、“裂和”型运算:常见的裂和型运算主要有以下两种形式:分数裂项计算知识点拨“裂差”型运算1n (n 1) (n 2)1(n 1) (n 2) (n 3)1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page 2 of 82 2(1)工11(2)a babababbaa b裂和型运算与裂差型运算的对比：裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的” 同时还有转化为“分数凑整”型

4、的，以达到简化目的。例题精讲【例1】丄丄丄丄丄1223344556112 L 100公式的变式1 212n n (n 1)当n分别取1,2,3,100时，就有1_2_1 1 21223121233 412123 4 451212100100 101【巩固】1 110 11 11 12159 60【巩固】2 210 99 8，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的,【例2】1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page 3 of 8111 112123121002222212233 4991001001012(-11111)1 2233 4991001001011111111112(1 )2233

5、49910010010112 (1 )101100101200101991 -101求和公式推导：S1=1+2+3+4+5+ S1=5+4+3+2+1199 101【巩固】计算：25【巩固】2512512514 88 1212 162512000 20042512004 2008【巩固】计算:3242 55 77 115611 16 16 227122 29291 1x3x( (2- -15) ) + +?【例【例3】123 251-2-2-1.分数裂项.题库教师版page 4 of 811111111(2X4+ -+ -+16X18)X1284X66X8 8X1010X1212X1414X1

6、61111111= _X(_ -+ ?+ - + - -)X1282v24141616181 1 1 1 1厂(2-3)-?(9-和【巩固】丄1111。1040881542381 111111=X(_ - - +一一-+? -)325581417【例4】方法一:计算：（!1111111) 1288244880120168224288方法.111 11111=-X(1+ + + -+ -+)X128836 101521283622 222222=16X(+ -+ - +)6 1220304256122222222216X(-+ +- + +-+ +)V1X22X33X44X55X66X77X88

7、X9711111=16X2X(1 -2+ 2+ ? +38-9)【巩固】6 12203042567290【巩固】11丄36一项隔一项来拆项丄丄丄丄101521281111)+X(3632111111-)+ +一X(一- -)+ 51543 728【巩固】计算：丄26122030425672901-2-2-1.分数裂项.题库教师版page 5 of 81133.75 3.23计算：1111111315356399143195【巩固】计算：丄5111929L970198992612203097029900111=1 -+ 1 -+ ? + 1269900111【巩固】=99 - $+6+?+990

8、0【例【例7】1 1L11232347 8 94.5 0.1&18【例【例5】11113153563【例【例6】26122042011111=(1 + 2+ ? + 20) + (1 -+-+ ?+ -)223 2021计算：2008120091201011201112012 -。1854108180270【巩固】 计算:153577计算：1 - 2- 34 L 20【巩固】1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page 6 of 8【巩固】 计算:【巩固】 计算:【巩固】【例8】【例9】1 3 52 4 61 1 41X3999897198 99 100120 22 241 1 1 1

9、+ - + ? +3X52X44X 620X221 2 32 3 43 4 51=1 - + 1 -1X2X3112 3 499 1001 13X(1X2X3计算:1、22X24)10131 -3X4X59999X100X1011 16 7 8 97 8 9 101 1+ ? +2X3X47X8X97_L193 48 9 1018X9X10)2 + 33 + 49 + 10-+ ? + -1X2X32X3X 48X9X101-2-2-1.分数裂项.题库教师版page 7 of 8【例10】1234561 21 23 12 34 12 345 1 2 34 5 6123456 7131417-1

10、 -+ -+ ? +1X21X2X31X21X31X2X3X41X2X3X41X2X3X4X5X6X71X2X3X4X5X6X77 8 8 9 9 107 8 8 9 9 10【巩固】计算：13257_9_1011193457820212435365791113576122030423653+44+55+66 + 7=+一一+-+5763X44X55X66X7【巩固】【巩固】计算：-3L3!4!99100!【例【例11】12X21 (1 2)1X(1 -(1 2) (12 3)1 1-) + 3 X-(-1 +23 1 + 2_ 4(1 2 3) (1 23 4)50_(1 2 3 L 49) (1 2 L 50)1 1 11 + 2+3)+?+ 50X50X(1 + 2 + ? + 4911 + 2 + ? + 50【巩固】121(1 2)_ 3(12) (1 23)10(1 2 3 L 9) (1 2 3 L 10)1-2-2-1.分数裂项.题库教师版page 8 of 8132574+53+73+85 + 7+7+ -+ +345784X53X73X85X7【巩固】12379111725