高考数学一轮复习总教案：10.6　空间向量及其运算

1、10.6空间向量及其运算典例精析题型一共线和共面向量来源:【例1】 设a、b、c及a1、b1、c1分别是异面直线l1、l2上的三点，而m、n、p、q分别是线段aa1、ba1、bb1、cc1的中点，求证：m、n、p、q四点共面.【证明】因为，所以2，2，又()，2，2，所以(22)，所以、共面，即m、n、p、q四点共面.【点拨】可以利用共面向量定理或其推论完成证明.用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.来源:【变式训练1】如图所示，长方体abcda1b1c1d1中，m为dd1的中点，nac，且annc2，求证：a、b、n、m四点共面.【证明】设a，b，c，则ba.因

2、为m是dd1的中点，所以ca.因为annc2，所以(bc)，所以(bc)a(ba)(ca)，所以a、b、m、n四点共面.题型二利用向量计算长度和证明垂直【例2】已知平行六面体abcda1b1c1d1所有棱长均为1，badbaa1daa160°.(1)求ac1的长；(2)求证：ac1平面a1bd.【解析】(1)设a，b，c，则a·bb·cc·a1×1×cos 60°，a2b2c21.而abc，所以|2(abc)2a2b2c22a·b2b·c2a·c1112×2×2×6

3、，即|.(2)证明：因为ac，所以·(abc)·(ac)a2c2a·bb·c110.所以.同理可得.所以ac1平面a1bd.【点拨】利用|a|2a2是计算长度的有效方法之一；而利用向量数量积为零是证明垂直问题的常用方法之一.【变式训练2】已知平行六面体abcda1b1c1d1中，底面abcd是边长为a的正方形，侧棱aa1长为b，且aa1与ab，ad的夹角都是120°.求ac1的长.来源:【解析】|22()22222·2·2·a2a2b202abcos 120°2abcos 120°2a2b22a

4、b.来源:数理化网所以|ac1|.题型三利用坐标求法向量和证明垂直问题【例3】 正方体abcda1b1c1d1中，棱长为1，e，f分别是bb1，cd的中点.(1)求证：d1f平面ade；(2)求平面ade的一个法向量.【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系dxyz，则d1(0,0,1)，a(1,0,0)，d(0,0,0)， f(0，0)，e(1,1， ).所以(0，1)， (1,0,0)，(0,1，)，因为·0，所以，又·0，所以，所以d1f平面ade.(2)由(1)知d1f平面ade，故平面ade的一个法向量为(0，1).【点拨】空间向量坐标化，大大降低了立体几何试题的难

5、度，同学们需要善于利用.【变式训练3】 已知平面内有一个点m(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列各点中，在平面内的是()a.a(2,3,3)b.b(2,0,1)c.c(4,4,0)d.d(3，3,4)【解析】由于n(6，3,6)是平面的法向量，所以它应该和平面内任意一个向量垂直，只有在选项a中，(2,3,3)(1，1,2)(1,4,1)，·n0.故选a.题型四利用坐标法求解线面及面面位置关系【例4】如图所示，正方体abcda1b1c1d1中，e、f分别是bb1、cd的中点.(1)证明：平面aed平面a1fd1；(2)在ae上求一点m，使得a1m平面dae.【解析

6、】(1)建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则d(0,0,0)，a(2,0,0)，e(2,2,1)，f(0,1,0)，a1(2,0,2)，d1(0，0,2).设平面aed的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以2x10,2x12y1z10. 令y11，得n1(0,1，2).同理可得平面a1fd1的一个法向量为n2(0,2,1).因为n1·n20，所以平面aed平面a1fd1.(2)由于点m在直线ae上，所以可设·(0,2,1)(0,2，)，可得m(2,2，)，于是(0,2，2).a1m平面dae，则a1mae，所以·(0, 2，来源

7、:2) (0,2,1)520，得.故当amae时，a1m平面dae.【变式训练4】 已知(2,2,1)，(4,5,3)，求平面abc的单位法向量.【解析】设平面abc的法向量为n(x，y，z)，则n·0，且n·0，即2x2yz0且4x5y3z0，解得所以nz(，1,1)，单位法向量n0±(，).总结提高1.利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题.2.利用共面向量定理，可解决立体几何中直线在平面内，直线与平面平行以及四点共面等问题.3.同时要重视空间向量基本定理的运用，要注意空间向量基底的选取，用基向量表示出已知条件和所需解决问题的所有向量，将几何问题转化为向量问题.4.用空间向量处理某些立体几何问题时，除要有应用空间向量的意识外，关键是根据空间图形的特点建立恰当的空间直角坐标系.若坐标系选取不当，