2022届高三数学一轮复习（原卷版）第2讲　高效演练分层突破 (8)

1、 基础题组练 1下列四个函数中，在 x(0，)上为增函数的是( ) af(x)3x bf(x)x23x cf(x)1x1 df(x)|x| 解析：选 c当 x0 时，f(x)3x 为减函数； 当 x0，32时，f(x)x23x 为减函数， 当 x32， 时，f(x)x23x 为增函数； 当 x(0，)时，f(x)1x1为增函数； 当 x(0，)时，f(x)|x|为减函数 2函数 f(x)x1x在2，13上的最大值是( ) a32 b83 c2 d2 解析： 选a 函数f(x)x1x的导数为f(x)11x2， 则f(x)f(x) b对任意 x1，x20，)，且 x1x2，都有 f(x1)f(x2

2、) c对任意 x1，x20，)，且 x1x20，都有 f(x1)f(x2)0 解析：选 cd根据题意，依次分析选项：对于选项 a，对任意 x0，都有 f(x1)f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项 b，当 f(x)为常数函数时，对任意 x1，x20，)，都有 f(x1)f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项 c，对任意 x1，x20，)，且 x1x20，都有 f(x1)f(x2)x2，若f（x1）f（x2）x1x20，必有 f(x1)f(x2)0，则函数在0，)上为增函数，符合题意 5(创新型)定义新运算：当 ab 时，aba；当 ab 时，abb2，则函数 f(x)(

3、1x)x(2x)，x2，2的最大值等于( ) a1 b1 c6 d12 解析：选 c由题意知当2x1 时，f(x)x2，当 1x2 时，f(x)x32，又 f(x)x2，f(x)x32 在相应的定义域内都为增函数，且 f(1)1，f(2)6，所以 f(x)的最大值为 6. 6函数 f(x)|x2|x 的单调减区间是_ 解析：由于 f(x)|x2|xx22x，x2，x22x，x2.结合图象可知函数的单调减区间是1，2 答案：1，2 7函数 y2 x24x的最大值是_，单调递增区间是_ 解析：函数 y2 x24x2（x2）24，可得当 x2 时，函数 y 取得最大值 224；由 4xx20，可得

4、0 x4，令 tx24x，则 t 在0，2上为增函数，y2 t在0，)上为增函数，可得函数 y2x24x的单调递增区间为0，2 答案：4 0，2 8已知函数 f(x)是 r 上的增函数，a(0，3)，b(3，1)是其图象上的两点，那么不等式3f(x1)1 的解集为_ 解析：由函数 f(x)是 r 上的增函数，a(0，3)，b(3，1)是其图象上的两点，知不等式3f(x1)1，即为 f(0)f(x1)f(3)，所以 0 x13，所以1x0，x0) (1)求证：f(x)在(0，)上是增函数； (2)若 f(x)在12，2 上的值域是12，2 ，求 a 的值 解：(1)证明：任取 x1x20， 则

5、f(x1)f(x2)1a1x11a1x2 x1x2x1x2，因为 x1x20， 所以 x1x20，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0， 即 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在(0，)上是增函数 (2)由(1)可知，f(x)在12，2 上为增函数， 所以 f121a212， f(2)1a122， 解得 a25. 10已知 f(x)xxa(xa) (1)若 a2，试证明 f(x)在(，2)上单调递增； (2)若 a0 且 f(x)在(1，)上单调递减，求 a 的取值范围 解：(1)证明：设 x1x20，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)， 所以 f(x)在(，2)上单调递增 (

6、2)设 1x10，x2x10， 所以要使 f(x1)f(x2)0， 只需(x1a)(x2a)0 恒成立， 所以 a1. 综上所述，a 的取值范围为(0，1 综合题组练 1已知函数 f(x)3（a3）x2，x1，4aln x，x1对任意的 x1x2都有(x1x2)f(x2)f(x1)0成立，则实数 a 的取值范围是( ) a(，3 b(，3) c(3，) d1，3) 解析：选 d由(x1x2)f(x2)f(x1)0，得(x1x2) f(x1)f(x2)0， 所以函数 f(x)在 r 上单调递减， 所以a30； 对于定义域内任意 x1，x2都有 fx1x22f（x1）f（x2）2成立 则称其为 g

7、 函数下列函数为 g 函数的是( ) af(x)3x1 bf(x)2x1 cf(x)x22x3 df(x)x24x3，x(，1) 解析：选 ad对于定义域内任意不相等的实数 a，b 恒有f（a）f（b）ab0，则函数f(x)在定义域为增函数；对于定义域内任意 x1，x2都有 fx1x22f（x1）f（x2）2成立，则函数 f(x)为“凸函数” 其中 a f(x)3x1 在 r 上为增函数， 且 fx1x22f（x1）f（x2）2， 故满足条件； bf(x)2x1 在 r 上为减函数，不满足条件； cf(x)x22x3 在(，1)上为减函数，在(1，)为增函数，不满足条件； df(x)x24x3

8、 的对称轴为 x2，故函数 f(x)x24x3 在(，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件. 综上，为 g 函数的是 ad 3设 f(x)（xa）2，x0，x1xa，x0.若 f(0)是 f(x)的最小值，则 a 的取值范围为_ 解析：因为当 x0 时，f(x)(xa)2，f(0)是 f(x)的最小值，所以 a0.当 x0 时，f(x)x1xa2a，当且仅当 x1 时取“”要满足 f(0)是 f(x)的最小值，需 2af(0)a2，即 a2a20，解得1a2， 所以 a 的取值范围是 0a2. 答案：0，2 4(创新型)如果函数 yf(x)在区间 i 上是增函数，且函数 yf（x）x在区

9、间 i 上是减函数，那么称函数 yf(x)是区间 i 上的“缓增函数”，区间 i 叫做“缓增区间”若函数 f(x)12x2x32是区间 i 上的“缓增函数”，则“缓增区间”i 为_ 解析：因为函数 f(x)12x2x32的对称轴为 x1，所以函数 yf(x)在区间1，)上是增函数，又当 x1 时，f（x）x12x132x，令 g(x)12x132x(x1)，则 g(x)1232x2x232x2， 由 g(x)0 得 1x 3， 即函数f（x）x12x132x在区间1， 3 上单调递减， 故“缓增区间”i 为1， 3 答案：1， 3 5已知函数 f(x)x2a|x2|4. (1)当 a2 时，求 f(x)在0，3上的最大值和最小值； (2)若 f(x)在区间1，)上单调递增，求实数 a 的取值范围 解：(1)当 a2 时，f(x)x22|x2|4x22x8，x2x22x，x2（x1）29，x2（x1）21，x2， 当 x0，2)时，1f(x)1 时，f(x)0，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0. (2)证明：任取 x1，x2()0，且 x1x2，则x1x21，由于当 x1 时，f(x)0，所以 fx1x20，即 f(x1)f(x2)0，