2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5讲　高效演练分层突破 (2)

1、 基础题组练 1(2020 开封市定位考试)等比数列an的前 n 项和为 sn，若 a34s20，则公比 q( ) a1 b1 c2 d2 解析：选 c法一：因为 a34s20，所以 a1q24a14a1q0，因为 a10，所以 q24q40，所以 q2，故选 c 法二：因为 a34s20，所以 a2q4a2q4a20，因为 a20，所以 q4q40，即(q2)20，所以 q2，故选 c 2 (2020 宁夏银川一中一模)已知等比数列an中， 有 a3a114a7， 数列bn是等差数列，其前 n 项和为 sn，且 b7a7，则 s13( ) a26 b52 c78 d104 解析：选 b设等比

2、数列an的公比为 q，因为 a3a114a7，所以 a274a70，解得 a74， 因为数列bn是等差数列，且 b7a7， 所以 s1313(b1b13)213b713a752.故选 b 3(2020 吉林长春 5 月联考)已知等差数列an的前 n 项和为 sn，公差 d0，a6和 a8是函数 f(x)154ln x12x28x 的极值点，则 s8( ) a38 b38 c17 d17 解析：选 a因为 f(x)154ln x12x28x，所以 f(x)154xx8x28x154xx12x152x， 令 f(x)0，解得 x12或 x152. 又 a6和 a8是函数 f(x)的极值点，且公差

3、d0， 所以 a612，a8152，所以a15d12，a17d152，解得a117，d72. 所以 s88a18(81)2d38，故选 a 4(多选)(应用型)一个弹性小球从 100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的23再落下 设它第 n 次着地时， 经过的总路程记为 sn， 则当 n2 时， 下面说法正确的是( ) asn500 bsn500 csn的最小值为7003 dsn的最大值为 400 解析： 选ac 第一次着地时， 共经过了100 m， 第二次着地时， 共经过了100100232 m，第三次着地时，共经过了1001002321002322 m，以此类推，第 n 次着地

4、时，共经过了1001002321002322100 23n12 m所以 sn1004003123n1123100400123n1.则 sn是关于 n 的增函数，所以当 n2 时，sn的最小值为 s2，且 s27003.又 sn100400123n1100400500.故选 ac 5(创新型)(2020 山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即 f(1)f(2)1，f(n)f(n1)f(n2)(n3，nn*)此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用若此数列被 2 除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前 2 0

5、19 项的和为( ) a672 b673 c1 346 d2 019 解析：选 c由于an是数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，各项除以 2 的余数， 故an为 1，1，0，1，1，0，1，1，0，1， 所以an是周期为 3 的周期数列， 且一个周期中的三项之和为 1102. 因为 2 0196733， 所以数列an的前 2 019 项的和为 67321 346.故选 c 6(2019 高考北京卷)设等差数列an的前 n 项和为 sn.若 a23，s510，则 a5_，sn的最小值为_ 解析：设等差数列an的公差为 d，因为a23，s510，即a1d3，5a110d10，所以

6、可得 a14，d1，所以 a5a14d0，因为 snna1n(n1)2d12(n29n)，所以当 n4 或 n5时，sn取得最小值，最小值为10. 答案：0 10 7若数列an满足1an12an0，则称an为“梦想数列”已知正项数列1bn为“梦想数列”，且 b1b2b31，则 b6b7b8_ 解析：由1an12an0 可得 an112an，故an是公比为12的等比数列，故1bn是公比为12的等比数列，则bn是公比为 2 的等比数列，b6b7b8(b1b2b3)2532. 答案：32 8(2020 湖南岳阳一模)曲线 yn2xln x(nn*)在 x2n处的切线斜率为 an，则数列1anan1的

7、前 n 项的和为_ 解析：对 yn2xln x(nn*)求导，可得 yn21x，由曲线 yn2xln x(nn*)在 x2n处的切线斜率为 an，可得 ann2n2n.所以1anan11n(n1)1n1n1，则数列1anan1的前 n项的和为 11212131n1n1nn1. 答案：nn1 9(2020 湖南省湘东六校联考)已知数列an的前 n 项和 sn满足 snsn11(n2，nn)，且 a11. (1)求数列an的通项公式 an； (2)记 bn1anan1，tn为bn的前 n 项和，求使 tn2n成立的 n 的最小值 解：(1)由已知有 sn sn11(n2，nn)，所以数列 sn为等

8、差数列，又 s1 a11，所以 snn，即 snn2. 当 n2 时，ansnsn1n2(n1)22n1. 又 a11 也满足上式，所以 an2n1. (2)由(1)知，bn1(2n1)(2n1)1212n112n1， 所以 tn12113131512n112n112112n1n2n1. 由 tn2n得 n24n2，即(n2)26，所以 n5， 所以 n 的最小值为 5. 10(创新型)(2019 高考江苏卷节选)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“m数列” (1)已知等比数列an(nn*)满足：a2a4a5，a34a24a10，求证：数列an为“m数列”； (2)已知数列bn(nn*)

9、满足：b11，1sn2bn2bn1，其中 sn为数列bn的前 n 项和求数列bn的通项公式 解：(1)证明：设等比数列an的公比为 q，所以 a10，q0. 由a2a4a5，a34a24a10，得a21q4a1q4，a1q24a1q4a10， 解得a11，q2. 因此数列an为“m数列” (2)因为1sn2bn2bn1，所以 bn0. 由 b11，s1b1，得11212b2，则 b22. 由1sn2bn2bn1，得 snbnbn12(bn1bn)， 当 n2 时，由 bnsnsn1， 得 bnbnbn12(bn1bn)bn1bn2(bnbn1)， 整理得 bn1bn12bn. 所以数列bn是首

10、项和公差均为 1 的等差数列 因此，数列bn的通项公式为 bnn(nn*) 综合题组练 1(综合型)(2020 湖北十堰调研)已知等差数列an的公差为2，前 n 项和为 sn.若 a2，a3，a4为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为 120 ，则 sn的最大值为( ) a5 b11 c20 d25 解析：选 d由等差数列an的公差为2 可知该数列为递减数列，则 a2，a3，a4中 a2最大，a4最小又 a2，a3，a4为三角形的三边长，且最大内角为 120 ，由余弦定理得 a22a23a24a3a4.设首项为 a1，则(a12)2(a14)2(a16)2(a14)(a16)，整理得(a1

11、4)(a19)0，所以 a14 或 a19.又 a4a160，即 a16，故 a14 舍去，所以 a19.数列 an的前 n 项和 sn9nn(n1)2(2)(n5)225.故 sn的最大值为 s525.故选 d 2(创新型)(2020 江西上高模拟)定义：若数列an对任意的正整数 n，都有|an1|an|d(d 为常数)，则称|an|为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和”已知“绝对和数列”an中，a12，绝对公和为 3，则其前 2 019 项的和 s2 019的最小值为( ) a2 019 b3 010 c3 025 d3 027 解析：选 c依题意，要使“绝对和数列”an前 2 019 项

12、的和 s2 019的值最小，只需每一项的值都取最小值即可因为 a12，绝对公和 d3，所以 a21 或 a21(舍)，所以a32 或 a32(舍)，所以 a41 或 a41(舍)，所以满足条件的数列an的通项公式 an2，n1，2，n为大于1的奇数，1，n为偶数，所以 s2 019a1(a2a3)(a4a5)(a2 018a2 019)2(12)2 019123 025，故选 c 3已知 an3n(nn*)，记数列an的前 n 项和为 tn，若对任意的 nn*，tn32k3n6 恒成立，则实数 k 的取值范围是_ 解析：tn3(13n)13323n12， 所以 tn323n12， 则原不等式可

13、以转化为 k2(3n6)3n12n43n恒成立， 令 f(n)2n43n， 当 n1 时，f(n)23，当 n2 时，f(n)0， 当 n3 时，f(n)227，当 n4 时，f(n)481，即 f(n)是先增后减，当 n3 时，取得最大值227，所以 k227. 答案：k227 4(创新型)(2020 山西太原期中改编)已知集合 px|x2n，nn*，qx|x2n1，nn*，将 pq 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，记 sn为数列an 的前 n项和，则 a29_，使得 sn1 000 成立的 n 的最大值为_ 解析：数列an的前 n 项依次为 1，2，3，22，5，7，23，.利

14、用列举法可得，当 n 35 时，pq 的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列an，所以数列an的前 35 项分别为 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，57，59，2，4，8，16，32，故 a2949.s353030(301)222(251)213022629621 000.当 n36 时，pq 中的所有元素从小到大依次排列， 构成一个数列an， 所以数列an的前 36 项分别为 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，59，61，2，4，8，16，32，s363131(311)222(251)21961621 0231 000.

15、所以 n 的最大值为 35. 答案：49 35 5(应用型)(2020 重庆八中 4 月模拟)某地区 2018 年人口总数为 45 万实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从 2019 年开始到 2028 年，每年人口总数比上一年增加 0.5 万人，从 2029 年开始到 2038 年，每年人口总数为上一年的 99%. (1)求实施“二孩”政策后第 n 年的人口总数 an(单位：万人)的表达式(注：2019 年为第一年)； (2)若“二孩”政策实施后的 2019 年到 2038 年人口平均值超过 49 万，则需调整政策，否则继续实施，问到 2038 年结束后是否需要调整政策？(参

16、考数据：0.99100.9) 解：(1)由题意知，当 1n10 时，数列an是首项为 45.5，公差为 0.5 的等差数列，可得 an45.50.5(n1)0.5n45，则 a1050； 当 11n20 时，数列an是公比为 0.99 的等比数列，则 an500.99n10. 故实施“二孩”政策后第 n 年的人口总数 an(单位：万人)的表达式为 an0.5n45，1n10，500.99n10，11n20. (2)设 sn为数列an的前 n 项和从 2019 年到 2038 年共 20 年，由等差数列及等比数列的求和公式得 s20s10(a11a12a20)477.54 950(10.9910

17、)972.5. 所以“二孩”政策实施后的 2019 年到 2038 年人口平均值为s202048.63，则s202049， 故到 2038 年结束后不需要调整政策 6(创新型)已知在等差数列an中，a25，a4a622，在数列bn中，b13，bn2bn11(n2) (1)分别求数列an，bn的通项公式； (2)定义 xx(x)，x是 x 的整数部分，(x)是 x 的小数部分，且 0(x)1.记数列cn满足 cnanbn1，求数列cn的前 n 项和 解：(1)设等差数列an的公差为 d，因为 a25，a4a622，所以 a5a4a6211，所 以 da5a2522，所以 ana22(n2)52(n2)2n1.