京城教育网高三数学学法指导--合理构造速解三角题

1、合理构造速解三角题对于某些三介函数问题，若能从构造角度去思考，往往能收到意想不到的效果，常用的 构造方法主要有以下儿种。1. 构造对偶式例 1.求cos? 10 + cos2 50 一 sin40° sin80° 的值。解：设 m = cos210° + cos2 50° sin40° sin80°,n = sin210° + sin2 50° 一 cos40° cos80°, 则m + n = 2-cos40°,m _ n = cos40° -2两式相加可得m = 2，故4

2、3cos210 + cos2 50° 一 sin40 sin 80 =.4例2.函数y = （acosx + bsinx）cosx有最大值2,最小值-1,则实数a=b=o解：由于y = （acosx + bsin兀）cos兀=qcos? x + bsin兀cosx,构造对偶式z = a sin2 x + bsinxcosx,贝lly + z = a + 2/?sinxcosx, y- z = gcos2兀两式相加，得y = a + 丄d cos2x + 丄方 sin 2x2 2 2=a + yla2 + h2 sin（2x 4-（/）（其中（an （p - 22b所以a+ y/a2

3、+ z?2 = 2 , a -y/a2 b2 = 1.2 2 2 2解之得d = 1, b = ±2>/2.2. 构造三角形例 3.求 tan20 +4 sin20 的值。解：由式了中角的特点，可以构造如下图所示的rtabc ,使ab=2, bc=1,则 ca = vi, za = 30°, zabc = 60°。作 zcz?z） = 20° ,则 bd = sec20 5= tan20 >°'bcd2v32dc乂凶为 s'bcd + abd = smbc 2所以冷+2sin20。即 tan 20° +4

4、sin 20° =73.例4.求cos36"的值。解：如下图所示，作aabc,使 ba=bc=1, za = zc = 36°,又作 zabd = 36°,bd 交 ac 于 d 点，则 zcbd = 72° , zcdb = 72° , bc = 1,1)ac = 2 ab cos36" = 2 cos36abad = 2=? cos36° 2 cos36因为 a£> + dc = ac,所以!+ 1 = 2cos36q，2 cos36即 4 cos2 36°-2cos36°-

5、1 = 0因此cos36°是二次方程4/ _2兀-1 = 0的正根,即 cos 36° =、'门43. 构造函数例 5.若 x> vs zg , ci e r 日.满足+ sin 兀2ci = 0 和44_4)卩 + siny cosy+ a = 0 ,贝ucos(x + 2y) =。解：构造函数f(x) = x3 4-sinx,则f (2y) = (2y)3 + sin2y = 2(4y3 + sin y cosy) = -2a,所以/(2j) = -/(x)= /(-x),当x、y g -各,y 时,44f(x)是单调递增的，所以2y = -x ,即x +

6、 2y = 0,故cos(x + 2y) = 1。4. 构造特例例6.在aabc中，角a、b、c的对边长分别为a、b、c,若c-a等于ac边上的高 h,贝jsin£a+cos£±a 的值是（）2 2a. 1b丄c丄d.23-1解：将已知条件特殊化，如下图所示，在rtaacb中，此时za = 30°, zc = 90j,sin2+ cos=sin 30 + cos60j = 1,故应选a。5 构造曲线方程例 7.已知 y = sin? x + 2sinxcosx + 3cos2 x，求证：2-v2<y<2 + v2.证明:因为=1 - cos2

7、 v+sin2x+3(1 + c°s2 y)2 2=cos2x + sin 2x + 2 ,令上=cos2x, v = sin2x,贝ijy = u + v + 2,即“ + y + (2 - y) = 0, xm2 + v2 = 1.(1)(2)其屮（1）为一条直线，（2）为单位圆，点（心v）同时满足两方程，即圆心（0, 0）到直线的距离不超过圆的半径，如下图所示，即2_y “。所以2 - v2 <）* < 2 + v2 ov1 + 16.构造单位圆例& 若 sin a > tan a > cot a - < a < ,则 a w()v 22丿d.a.(号一另; b. (_扌,0)； c. (o,壬解：画出单位圆和三角函数线如卜-图所示，不难看出，当（-中，o）时，因为| mp<at<bs,所以 |sina<|tana<|cota。又 esin(7 < 0. tan <2 < 0, cot a < 0,所以 sina > tana > cot a ,故应选 b。7.构造平面向量例9.函数/'（x）= 3 sin x cos兀- 4 cos2兀的最人值为 解：由 丁 f(x)= 3sinxcosx - 4cos2 x = ysin2x