2022年备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题32线性规划问题的求解策略含解析

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载【高考位置】线性规划问题为高考的必考内容,其基本解题策略为定区域.化函数.找最值；近年来,高考中的线性规划问题更趋敏捷多样,表达了“活.变.新”等特点,更加深刻的考查同学 解决综合性问题的才能；在高考中以各种题型中均显现过,其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一线性目标函数问题使用情形：求目标函数的最值解题模板：第一步依据已知约束条件画出其可行域；其次步平移目标函数的直线系,依据直线的斜率和截距之间的关系求出其最优解；第三步得出结论 .x 0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1 已知实数x、 y 满意不等式组y 2、就 2xy 的最大值为

2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 xy2 0、【答案】 6【解析】考点：简洁的线性规划问题【方法点睛】运用线性规划求解最值时,关键为要搞清晰目标函数所表示的直线的斜率与可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载行域便利直线的斜率之间的大小关系,以好确定在哪个端点,目标函数取得最大值；在哪个端点,目标函数取得最小值,正确作出可行域为解答此类问题的前提条件x2 y30例 2 已知. y 满意不等式组x y3 y130 ,就z2 xy 的最大值为【答案】 6【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载目标函数为z2xy , 当 x3、 y0 时, z2 xy 取得最大

3、值为6.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：简洁的线性规划精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【名师点睛】 简洁的线性规划问题,第一要作出可行域,作直线l : axby0 ,把 zaxby精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载中转化为ya zzx,易知为直线的纵截距,因此当b 0 时,直线向上平移,增大,在精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bbbb0 时,直线向下平移, 增大, 这样我们把的值与直线纵截距联系起来,可简洁求得最优解y2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式演练1】已知变量x

4、、 y 满意约束条件：xy1 ,如表示的区域面积为4,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyaz3 xy 的最大值为 .【答案】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试题分析 : 画出不等式组表示的区域如图、 因 acbc 且 acbc 、 故区域的面积为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s1 a 23 21a 24 、 解之得 a1 、 平移动直线y3xz 、 结合图形可以看出当动精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - -

5、- 欢迎下载直线经过点b 3、2 时、 动直线y3xz 的截距z 最小 、 最大 、zmax927 、 故应填 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yx-y=a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a-1、2b2+a、2y=2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a+1c、2o1-a2 x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x+y=1考点：线性规划的有关学问及运用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式演练2】已知约束条件xkxy40 表示面积为1 的直角三角形区域,就实数的值为xy0精品学习资料精

6、选学习资料 - - - 欢迎下载（）a 0b 1c.1或 3d 3【答案】 b【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载bac考点： 1.线性规划；2.三角形的面积.类型二非线性目标函数问题使用情形：求非线性目标函数的最值解题模板：第一步依据已知约束条件画出其可行域；其次步借助目标函数的几何意义,并利用数形结合法将所求问题转化为我们所熟识的问题如直线的斜率问题.两点的距离的平方等；第三步得出结论 .x0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3已知不等式组xy0、就 zyx1 的最大值为1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4x3 y12,【答案】 3【解析】

7、考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质为把代数问题几何化,即数形结合的思想. 需要留意的为：一,精确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要留意与约束条件中的直线的斜率进行比较,防止出错；三,一般情形下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4在平面直角坐标系xoy 中、 m为不等式组3 xyxy602 0所表示的区域上一动点、已精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0、 y0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载知点 a1、2、 就直线 am 斜率的最小值为（）精品学习资料精选学习资料 - - -

8、 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a23【答案】 b【解析】b2cd 45精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试题分析： 可行域为一个四边形obcd及其内部 、 其中b 0、2、c 2、0、d4、6,因此直线am精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载斜率的最小值为直线ao 斜率,为2 ,选 b.考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质为把代数问题几何化,即数形结合的思想. 需要留意的为：一,精确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要留意与约束条件中的直线的斜率进行比较,防止出错；三,一般情形下,目

9、标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 5 如xyx、 y 满意xy2040 ,就 zy2 | x | 的最大值为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y0a -8b -4c 1d 2【答案】 d【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点： 1.可行域的画法；2.最优解的求法.【方法点晴】此题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简洁题. 求目标函数 最值的一般步骤为“一画. 二移. 三求”：（ 1）作出可行域 （肯定要留意为实线仍为虚线）；（ 2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移

10、变形后的目标函数,最先通过或最终通过的顶点就为最优解） ；（ 3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.xy402精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式演练3】已知实数x、 y 满意y 10x10,就 zy的最大值为（）x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 13【答案】 b【解析】b9c 2d 11精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：线性规划.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【变式演练4】如变量x, y 满意约束条件x2 y0xy0x2 y2,且 z0y仅在点 axa11、 处2精品学习资料精选

11、学习资料 - - - 欢迎下载取得最大值,就实数的取值范畴为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 2、1b 、1c 2、1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d 1、1【答案】 c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】试题分析： 由约束条件画出可行域如下列图,z y表示的几何意义为: 点xax、 y 与a、0 连精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线的斜率的取值范畴. 当 a0 时 、 通过图象旋转可知、 不行能在a11、处取到最大值、 舍2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资

12、料精选学习资料 - - - 欢迎下载去；当 a0 时、 如1a0 、 就必定存在xa 与可行域有交点、 此时无斜率 、 可以懂得为斜精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载率趋向于正无穷、 故无最大值；当2a1 时、 在点 a 处取到最大值、 在 o 处取得最小值、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载符合题意 、 应选 c.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：线性规划.【变式演练5】已知实数x、 y 满意x2 y10,就 z2 xy2的取值范畴为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a0、 103d、0b

13、10 、3xy10、210 、3xc2、 103精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 d【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：简洁的线性规划问题类型三含参数线性目标函数问题使用情形：求含参数线性目标函数的最值解题模板：第一步依据已知约束条件画出其可行域；其次步画目标函数所对应的直线时,要留意与约束条件中的直线的斜率进行比较并进行分类争论；第三步得出结论 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6 已知【答案】【解析】yxx、 y 满意xyxa122 , 且 z2xy的最大值为最小值的-2 倍,就的值为.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

14、迎下载试题分析：由题意得可行域为一个三角形abc及其内部,其中精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa、 a b a 、2a 、 c 1、1、a1 ,直线 z2 xy 过 c 点时取最大值,过b 点时取最小值,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1因此 122 a2a a.2考点：线性规划【易错点睛】线性规划的实质为把代数问题几何化,即数形结合的思想. 需要留意的为：一,精确无误地作出可行域；二,画目标函数所对应的直线时,要留意与约束条件中的直线的斜率进行比较,防止出错；三,一般情形下,目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得 .精品学习资料精选学习资料 - -

15、- 欢迎下载yx、【变式演练6】设 m1 ,变量,y 在约束条件y xmx、 下,目标函数zxmy 的最大值y1为,就 m 【答案】 m12【解析】考点：简洁的线性规划的应用【高考再现】xy2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.【2021 高考山东文数】如变量x, y 满意2x3 y9、 就 x22 的最大值为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载+yx0、（ a ） 4（ b） 9（ c） 10（d ）12【答案】 c【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试题分析：画出可行域如下列图,点a（3, 1）到原点距离最大,所以精品学习资料精选学习资料 -

16、 - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x22y max10 ,选 c.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：简洁线性规划精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.【 2021 高考浙江文数】如平面区域xy2xy30、30、夹在两条斜率为1 的平行直线之间,就这精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2 y30两条平行直线间的距离的最小值为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3532a. b.2c.52d.5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 b【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试题分析

17、：画出不等式组的平面区域如题所示,由x2 y30得 a1、2 ,由精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xy30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2xyxy30得 b 2、1 ,由题意可知、当斜率为1 的两条直线分别过点a 和点 b 时,两直30精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载线的距离最小,即ab12 22122 应选 b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：线性规划.【思路点睛】先依据不等式组画出可行域,再依据可行域的特点确定取得最值的最优解,代入运算画不等式组所表示的平面区域时要留意通过特别点验证

18、,防止显现错误xy103.【2021 高考新课标2 文数】如x,y 满意约束条件xy30 ,就zx2y 的最小值为x30【答案】5【解析】考点：简洁的线性规划.【名师点睛】利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤为：(1) 在平面直角坐标系内作出可行域；(2) 考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形；(3) 确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解；(4) 求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 xy10、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4. 【2021 高考新课标文数】如 x、 y 满

19、意约束条件x2 yx1、10、就 z2 x3 y5 的最大精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值为 .【答案】 10【解析】考点：简洁的线性规划问题【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：1 作出可行域将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直线,并确定原不等式的区域,然后求出全部区域的交集；2 作出目标函数的等值线 等值线为指目标函数过原点的直线 ； 3 求出最终结果5.【2021 高考新课标 1 文数】某高科技企业生产产品 a 和产品 b 需要甲.乙两种新型材料 . 生产一件产品 a 需要甲材料 1.5kg、乙材料 1kg、 用 5 个工时；生产一件产品 b 需要

20、甲材料 0.5kg、 乙材料 0.3kg、用 3 个工时 、生产一件产品 a 的利润为 2100 元、生产一件产品 b 的利润为 900 元. 该企业现有甲材料 150kg、 乙材料 90kg、 就在不超过 600 个工时的条件下 、生产产品 a .产品 b 的利润之和的最大值为元.【答案】 216000【解析】试题分析：设生产产品 a .产品 b 分别为. y 件、利润之和为元 、那么精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.5x0.5 y、150、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x0.3 y、5x3 y、 x0、y0.90

21、、600、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载目标函数 z2100x900 y .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二元一次不等式组等价于3xy. 300、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10x 5x3 y、3 y、900、600、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x 0、y 0.作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图）、即可行域 .考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也为高考中常考的学问点、一般以客观题形式显现、基此题型为给出约束 条件求目标函数的最值、常见的结合方式有：纵截距.斜率.两点间的距离.点到直线的距离、 解决此类问题常利用数形

22、结合.此题运算量较大、失分的一个主要缘由为运算失误.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6. 【2021 高考上海文科】如x0、x、 y 满意y0、就 x2 y 的最大值为 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yx1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】2【解析】试题分析：由不等式组画出可行域,如图,令z x2 y ,当直线y1 x1 z 经22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载过点 p 0、1 时,取得最大值,且为2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yox考点：简洁线性规划7. 【 2021 高考天津文数】 本小题满分13

23、分某化肥厂生产甲.乙两种混合肥料,需要a、b、c 三种主要原料 .生产 1 车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有 a 种原料 200 吨, b 种原料 360 吨, c 种原料 300 吨,在此基础上生产甲乙两种肥料 .已知生产1 车皮甲种肥料,产生的利润为2 万元；生产1 车皮乙种肥料,产生的利润为 3 万元 .分别用 x、y 表示生产甲.乙两种肥料的车皮数. 用 x、y 列出满意生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域； 问分别生产甲. 乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润？并求出此最大利润.【答案】（）详见解析（）生产甲种肥料20 车皮,乙种肥料24

24、车皮时利润最大,且最大利润为 112 万元【解析】试题分析：（） 依据生产原料不能超过a 种原料 200 吨,b 种原料 360 吨,c 种原料 300 吨,列不等关系式,即可行域,再依据直线及区域画出可行域（） 目标函数为利润z2x3 y ,依据直线平移及截距变化规律确定最大利润精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 x5 y2008 x5 y360试题解析： （）解：由已知x、 y 满意的数学关系式为3 xx10 y0300 ,该二元一次不等式y0组所表示的区域为图1 中的阴影部分 .y8x+5y=36010xo10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4x+5y=200

25、3x+10y=300精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1答：生产甲种肥料20 车皮,乙种肥料24 车皮时利润最大,且最大利润为112 万元 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y8x+5y=360m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10o102x+3y=z 4x+5y=200x3x+10y=300精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22x+3y=0考点：线性规划【反馈练习】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1. 【吉林省长春市一般高中2021 届高三质量监测（一）数学（理）试题】动点p x、 y 满意精品学习资料精选学习资料 - - -

26、 欢迎下载2xy0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y0,就 zx2 y 的最小值为.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xy30【答案】 3【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试题分析：由已知可得,线性可行域如下列图,就线性目标函数在点（3、0）取最小值3.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：线性规划2. 【山西高校附中2021 届高三其次次模拟测试数学（理）试题】设x、 y 满意约束条件精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y2 xx y1 ,就 zx3 y 的最大值为 y 107

27、【答案】3【解析】考点：线性规划3. 【河南省新乡市2021 届高三上学期第一次调研测试数学（理）试题】已知变量x、 y 满意x4 y30xy40,就 zxy 的取值范畴为（）x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2、1b2、0c0、 65精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载d2、 65精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 d【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载试题分析：画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数分别在点b2.6、1.4 和点a 1、3 处精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取得最大值为1.2,最小值为2 .考

28、点：线性规划4. 【河北省武邑中学2021 届高三上学期第三次调研考试数学（理）试题】设不等式组精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x y42y x0 ,表示平面区域为d ,如圆 c :x1y1 2r 2r0经过区域 d 上的点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x10就的取值范畴为（）a22、 25b22、32c.32、 25d 0、 2225、【答案】 a【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ycbaox考点 : 线性规划 .x05.【河北省衡水中学2021 届高三摸底联考,8】 如 a 为不等式组y0,表示的平面区yx2域,就当从2 连续变化到时,动直线xya 扫过 a 中的那部分区域的面积为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab 3 2c 34d 74精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【答案】 d【解析】精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载考点：线性规划.6.【广西南宁二中.柳州高中.玉林高中