高中数学第1章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.3直线与平面的夹

1、1.2.3 直线与平面的夹角学 习 目 标核 心 素 养1理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性2会求直线与平面的夹角( 重点、难点 ) 通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养倾斜的大树，因倾斜而闻名的斜塔，高昂的塔克炮筒，发射导弹的壮观场面在这些画面中都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子，如果把大树、斜塔、炮筒、导弹抽象成直线，把地面抽象成平面，怎样来刻画直线相对于平面的倾斜程度？1直线和平面所成的角2最小角定理3用空间向量求直线与平面的夹角如果v是直线l的一个方向向量，n是平面的法向量，设直线l与平面所成角的大小为，则2v，n或v，n2，特别地 cos sin

2、 v，n或 sin |cos v，n| 思考：直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ 提示 不是直线和平面的夹角为2s，n1思考辨析 ( 正确的打“”，错误的打“”)(1) 直线与平面的夹角不是锐角就是直角( ) (2) 斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角( ) (3) 斜线与平面的夹角为 0,90 ( ) (4) 直线与平面的夹角为 0,90 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) 提示 (1) 错误，角的度数还可以是零度(2) 根据线面角的定义知正确(3) 斜线与平面的夹角为 (0,90 ) (4) 正确2若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120

3、，则直线l与平面所成的角等于 ( ) a120b60c30 d以上均错c 设直线l与平面所成的角为，则 sin | cos 120| 12，又090，30 3已知向量m，n分别为直线l和平面的方向向量、 法向量， 若 cosm，n32，则直线l与平面所成的角为 _60 设直线l与平面所成的角为，则sin |cos m，n | 32又0,90 ，60 4在正方形abcd-a1b1c1d1中，cb1与平面aa1c1c所成角的大小为_30 如图，连接b1d1交a1c1于o， 连接oc， 因为几何体是正方体， 所以ob1平面aa1c1c，所以b1co是cb1与平面aa1c1c所成角，设正方体的棱长为1

4、，则ob122，cb12，sin b1co22212，可得b1co30即cb1与平面aa1c1c所成角的大小为30 公式 cos cos 1cos 2的应用【例 1】boc在平面内，oa是平面的一条斜线，若aobaoc60，oaoboca，bc2a，求oa与平面所成的角 思路探究 根据定义或cos cos 1cos 2求解 解法一：oaoboca，aobaoc60，abaca又bc2a，ab2ac2bc2abc为等腰直角三角形同理boc也为等腰直角三角形取bc中点为h，连接ah，oh，ah22a，oh22a，aoa，ah2oh2ao2aho为等腰直角三角形ahoh又ahbc，ohbch，ah平

5、面oh为ao在平面内的射影，aoh为oa与平面所成的角在 rtaoh中， sin aohahao22aoh45oa与平面所成的角为45法二：aobaoc60，oa在内的射影为boc的平分线，作boc的角平分线oh交bc于h又oboca，bc2a，boc90故boh45，由公式cos cos 1cos 2，得 cosaohcosaobcosboh22，oa与平面所成的角为45求线面角的关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角在本例中，也可以直接作ahbc于h，进而证明ah平面，从而证明h是点a在平面内的射影解法二则灵活应用公式cos cos 1cos 2求线面角

6、，也是常用的方法 跟进训练 1如图所示，在四棱锥p-abcd中，abcd是正方形，pd平面abcd若pbc60，求直线pb与平面abcd所成的角 解由题意得cbd45，pbd即为直线pb与平面abcd所成的角cospbccos coscbd，pbc60即 cos 60 cos cos 45 ， cos 22，45用定义法解决直线与平面的夹角问题 探究问题 1用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？ 提示 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影2定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？ 提示 若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0；若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为

7、2；若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为o，在直线上任取异于o点的另一点p，过p作平面的垂线pa，a为垂足，则oa即为直线在平面内的投影，aop即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小【例 2】如图所示，在三棱锥p-abc中，pa平面abc，paab，abc60，bca90(1) 求证：bc平面pac；(2) 若d为pb的中点，试求ad与平面pac夹角的正弦值 思路探究 (1) 证明bc和平面pac内的两条相交直线垂直(2) 作出ad在平面pac内的射影后，构造三角形求解 解(1) 因为pa平面abc，bc? 平面abc，所以pabc又bca90，所以acbc，

8、又ac? 平面pac，pa? 平面pac，paaca，所以bc平面pac(2) 取pc的中点e，连接de因为d为pb的中点，所以debc，所以de平面pac连接ae，则ae是ad在平面pac内的投影，所以dae是直线ad与平面pac的夹角设paaba，在直角三角形abc中因为abc60，bca90，所以bca2，dea4，在直角三角形abp中，ad22a，所以 sin daedeada422a24即ad与平面pac夹角的正弦值为241( 变问法 ) 若本例条件不变，问题(2) 改为：d为pb上的一点，且bd13pb，试求ad与平面pac夹角的正弦值 解由已知bcac，bcpa，acpaa，所以

9、bc平面pac，bcpc，过pb的三等分点d作debc，则de平面pac，连接ae，ad，则dae为ad与平面pac的夹角，不妨设paab1，因为abc60，所以bc12，de231213，pb2，bd23在abd中，ad2ab2bd22abbdcos 4559， ad53， 所以 sin daedead135355即ad与平面pac夹角的正弦值为552( 改问法 ) 若本例的题 (2) 条件不变，求ad与平面pbc的夹角的正弦值，结果如何？ 解由例题 (1) 知bc平面pac，所以平面pac平面pbc过a作aepc所以ae平面pbc连接ed，则ade为ad与平面pbc的夹角设pa2a，ab2

10、a，所以pb22a故ad2a在apc中，ap2a，acabsin 60 2a323a，所以pc3a24a27a，设acp，则aeacsin acappc3a2a7a237a2217a，所以 sin adeaead221a72a427即ad与平面pbc夹角的正弦值为427用定义法求直线与平面的夹角找直线在平面内的射影，充分利用面面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角( 或夹角的某一三角函数值) 用向量求直线与平面所成的角【例 3】如图，在直三棱柱a1b1c1-abc中，acbc，acbc1，cc1 2，点m是a1b1的中点(1) 求证：b1c平面ac1m；(2) 求aa1与平面ac1m所成角的正弦

11、值 解(1) 证明：在直三棱柱a1b1c1-abc中，acbc，acbc1，cc12，点m是a1b1的中点以c为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则b1(0,1,2)，c(0,0,0)，a(1,0,0)，c1(0,0,2)，a1(1,0,2)，m12，12，2 ，b1c(0 ，1，2) ，ac1( 1,0,2) ，am 12，12，2 ，设平面ac1m的法向量n(x，y，z) ，则nac1x2z0，nam12x12y2z 0，取z 1，得n(2 ， 2,1) ，b1cn0，b1c?平面ac1m，b1c平面ac1m(2)aa1(0,0,2)，平面ac1m的法向量n(2 ， 2,1) ，设aa1与

12、平面ac1m所成角为，则aa1与平面ac1m所成角的正弦值：sin |aa1n|aa1| |n|22313，所以aa1与平面ac1m所成角的正弦值为13用向量法求线面角的步骤(1) 建立空间直角坐标系；(2) 求直线的方向向量ab；(3) 求平面的法向量n；(4) 计算：设线面角为，则 sin |nab|n| |ab| 跟进训练 2已知棱台abc-a1b1c1，平面aa1c1c平面a1b1c1，b1a1c160，a1b1c190，aa1accc1a1c12，d，e分别是bc和a1c1的中点(1) 证明：deb1c1；(2) 求de与平面bcc1b1所成角的余弦值 解(1) 证明：过点a作ao平

13、面a1b1c1，交a1c1于点o，连接b1o，设aa1accc1a1c12 2，则a1o1，a1b12，b1oa1c1，b1o3，以o为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则b32，12，3 ，c(0,2 ， 3) ，d34，54，3 ，e()0，1，0，b1(3， 0,0) ，c1(0,3,0)，de 34，14，3 ，b1c1( 3，3,0) ，又deb1c10，deb1c1(2)cb1(3， 2，3) ，cc1(0,1 ，3) ，设平面bcc1b1的法向量n(x，y，z) ，则ncb13x2y3z0，ncc1y3z0，取y3，得n(3 ，3，1) ，de 34，14，3 ，设de与平面bc

14、c1b1所成角为，则 sin |den|de| |n|4313cos 1431321113de与平面bcc1b1所成角的余弦值为11131知识：掌握线面角的概念以及最小角定理2方法： ( 转化思想 ) 利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量( 有明显的线面垂直关系时尽量建系) 表示出向量，其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系1若直线l与平面所成角为3，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是( ) a 0，23b2，23c3，23d3，2d 由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为3，又l，a为异面直线

15、，则所成角的最大值为2 2已知长方体abcd-a1b1c1d1中，abbc4，cc12，则直线bc1和平面dbb1d1所成角的正弦值为 ( ) a32b52c105d1010c 连接a1c1交b1d1于o点，由已知得c1ob1d1，且平面bdd1b1平面a1b1c1d1，c1o平面bdd1b1，连接bo，则bo为bc1在平面bdd1b1上的射影，c1bo即为所求c1o1242 4222，bc1422225，sin c1boc1obc12225105 3若平面的一个法向量为(1,1,1)，直线l的方向向量为(0,3,4)，则l与所成角的正弦值为 _7315 设l与平面所成的角为，则 sin |1 01314|302324273257315 4在正三棱锥p-abc中，pa4，ab3，则侧棱pa与底面abc所成角的正弦值为_154 如图，在正三棱锥p-abc中，pa4，ab3，设p在底面上的射影为o，则o为abc的中心，由已知求得ao1，又pa4，po421215sin paopopa154即侧棱pa与底面abc所成角的正弦值为154 5在正四棱锥