高中数学第1章不等关系与基本不等式5不等式的应用学案北师大版选修4-5-北师大版高二选修4

1、5不等式的应用学习目标： 1. 理解不等式的性质、平均值不等式；掌握不等式的解法( 重点 )2. 能利用不等式解决一些实际问题( 难点 ) 教材整理不等式应用的类型及步骤阅读教材p23p24，完成下列问题1不等式的应用大致分为两类(1) 利用不等式研究函数的性质，求参数的取值范围(2) 实际问题中建立不等式( 或函数 ) 模型，解决简单的实际问题2解不等式应用问题的四个步骤(1) 审题，必要时画出示意图(2) 建立不等式模型，即根据题意找出常数量和变量的不等关系(3) 利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号(4) 作出问题结论填空：(1) 不等式 |2x1|x的解集为

2、_(2) 长为 2 米的木棍，截断围成矩形，其矩形的最大面积为_(3) 若abc且abc0，则a的符号为 _，c的符号为 _ 解析 (1)|2x1|x等价于 2x1x或 2x 11 或x1或xbc且abc0 知 3aabc0，即a0,3cabc0，即c1或x13(2)14(3) 正负不等式解法的应用【例 1】已知 0b1a， 若关于x的不等式 (xb)2(ax)2的解集中的整数恰有3 个，则( ) a 1a0 b0a 1 c1a3 d3a 6 精彩点拨 原不等式变形关于x的方程 讨论二次项系数满足的条件韦达定理结果 自主解答 由(xb)2(ax)2，得x2(1 a2) 2bxb20. 若恰有

3、3 个整数解，必须满足1a20，即a1 或a 1( 舍去 ) 设不等式对应方程两根为x1，x2，则|x1x2| x1x224x1x22b1a224b21a24a2b21a2 22aba21. 又不等式有3 个整数解，22aba213，解得b3a232a. 由已知 0b1a，得3a232a 1a，解得 1a3，1a 3. 答案 c 1“三个二次”的关系，一元二次不等式，一元二次方程及二次函数的关系，解题要注意相互转化2对二次项系数含有参数的式子要进行讨论1不等式 |x 3| |x1| a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( ) a( ， 1 4 ，)b( ， 2 5 ，)c1,2 d

4、( ， 1 2 ，) 解析 对任意xr，均有|x3| |x1| |(x3) (x1)| 4，原不等式恒成立，只需a23a4.则a23a40，解得a4 或a 1，实数a的取值范围是a4 或a 1. 答案 a 利用不等式解决实际问题中的大小问题【例 2】甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果mn，则甲、乙二人谁先到达指定地点？ 精彩点拨 本题考查比较法在实际问题中的应用，考查应用意识及运算求解能力 自主解答 设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1，t2，依题意有：t12mt12ns，s2ms2nt2. t12smn，t2s mn2mn，t1t22smns mn2mns4mnmn22mnmns mn22mnmn. 其中s，m，n都是正数，且mn，t1t20，即t10) ，已知船在静水中的速度为v2(v20)，试比较v1和v2的大小 解设水流速度为v(v0) ，则船在流水中在甲乙间来回行驶一次的时间tsv2vsv2v2sv2v22v2，平均速度v12stv22v2v2. v10，v20，v1v2v22v2v2v2v22v2v221vv21，v10)，解得x 40 或x30. 由于x0，从