高中数学4.1.2圆的一般方程学案新人教A版必修2

1、圆的一般方程1圆的一般方程的特征2与标准方程的互化3用待定系数法求圆的方程4求与圆有关的点的轨迹例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. （1）4x2 + 4y2 4x + 12y + 9 = 0（2）4x2 + 4y2 4x + 12y + 11 = 0解析： （1）将原方程变为x2 + y2x + 3y +94= 0d = 1，e =3 ，f =94. d2 + e2 4f = 1 0此方程表示圆，圆心（12，32） ，半径r =12. （ 2）将原方程化为x2 + y2 x + 3y +114= 0d = 1，e =3 ，f =114.d2 + e2

2、4f = 1 0此方程不表示圆.例 2 求过三点a (0 ，0) ，b (1 ，1) ，c (4 ，2) 的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标 . 分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程. 解：设所求的圆的方程为：x2 + y2 + dx + ey + f = 0a (0 ， 0)，b (1 ，1) ，c (4 ，2) 在圆上，所以它们的坐标是方程的解. 把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于d、e、f的三元一次方程组：即02042200fdefdef解此方程组，可得：d= 8，e=6，f = 0 所求

3、圆的方程为：x2 + y2 8x + 6y = 0221452rdef；4,322df.得圆心坐标为 (4 ， 3). 或将x2 + y2 8x + 6y = 0 左边配方化为圆的标准方程，(x4)2 + (y + 3)2 = 25 ，从而求出圆的半径r = 5 ，圆心坐标为 (4 ， 3).例 3 已知线段ab的端点b的坐标是 (4 ，3) ，端点a在圆上 (x + 1)2 + y2 = 4运动，求线段ab的中点m的轨迹方程 . 解：设点m的坐标是 (x，y) ，点a的坐标是 (x0，y0) 由于点b的坐标是 (4 ，3)且m是线段ab中重点，所以0043,22xyxy，于是有x0 = 2x

4、 4 ，y0 = 2y 3 因为点a在圆 (x + 1)2 + y2 = 4上运动，所以点a的坐标满足方程(x + 1)2 + y2 = 4 ，即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 把代入，得(2x 4 + 1)2 + (2y 3)2 = 4 ，整理得2233()()122xy所以，点m的轨迹是以33(,)22为圆心，半径长为1 的圆 . 经典习题例 1 下列各方程表示什么图形？若表示圆，求出圆心和半径. （1）x2 + y2 + x + 1 = 0；m a x y o b （2）x2 + y2 + 2ac + a2 = 0 (a 0)；（3）2x2 + 2y2 + 2ax 2ay =

5、0 (a0). 【解析】（1）因为d 1 ，e 0 ，f 1 ，所以d2 + e2 4f0 方程（ 1）不表示任何图形；（2）因为d 2a，e 0 ，fa2，所以d2 + e2 4f 4a2 4a2 = 0 ，所以方程（ 2）表示点 ( a， 0)；（3）两边同时除以2，得x2 + y2 + axay = 0 ，所以d = a，e = a，f = 0. 所以d2 + e2 4f 0，所以方程（ 3）表示圆，圆心为(,)22a a，半径22124|22rdefa . 点评：也可以先将方程配方再判断. 例 2 已知一圆过p(4， 2) 、q( 1，3) 两点，且在y轴上截得的线段长为4 3，求圆的

6、方程 . 【分析】涉及与圆的弦长有关的问题时，为简化运算，则利用垂径直径定理和由半弦长、弦心距、半径所构成的三角形解之. 【解析】法一：设圆的方程为：x2 + y2 + dx + ey + f = 0 将p、q的坐标分别代入得4220310defdef令x = 0 ，由，得y2 + ey + f = 0 由已知 |y1y2| = 4 3 ，其中y1，y2是方程的两根. (y1y2)2 = (y1 + y2) 4y1y2 = e2 4f = 48 解联立成的方程组，得2012defd=-10或 e=-8f=4故所求方程为：x2 + y2 2x 12 = 0或x2 + y2 10 x 8y + 4

7、 = 0. 法二：求得pq的中垂线方程为xy 1 = 0 所求圆的圆心c在直线上，故设其坐标为(a，a 1) ，又圆c的半径22|(4)(1)rcpaa由已知圆c截y轴所得的线段长为4 3，而圆c到y轴的距离为 |a|. 2224(3)2ra代入并将两端平方，得a2 5a + 5 = 0，解得a1 = 1 ，a2 = 5. 1213,37rr故所求的圆的方程为：(x 1)2 + y2 = 13或(x 5)2 + (y 4)2 = 37. 【评析】 (1) 在解本题时，为简化运算，要避开直接去求圆和y轴的两个交点坐标，否则计算要复杂得多. （2）涉及与圆的弦长有关问题，常用垂径定理和由半弦长、弦心距及半径所构成的直角三角形解之，以简化运算. 例 3 已知方程x2 + y2 2(t + 3)x + 2(1 t2)y + 16t4 + 9 = 0表示一个圆，求（1）t的取值范围；（2）该圆半径r的取值范围 . 【解析】原方程表示一个圆的条件是d2 + e2