高中数学2.4线性回归方程学案苏教版必修3-苏教版高中必修3数学学案

1、2.4 线性回归方程学习目标重点难点1会求回归直线的方程2准确理解变量间的相关关系.重点：会求回归直线方程难点：准确理解变量间的相关关系. 1变量间的两种关系在实际问题中， 变量之间的常见关系有如下两类：一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示；一类是相关关系， 变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达预习交流1 相关关系与函数关系有何区别与联系？提示：相同点：两者均是指两个变量的关系；不同点：函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系；函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系2散点图为了刻画两个变量之间的相关关系，常用横坐标x表示一个变量， 纵坐标y表示另一

2、个变量，建立平面直角坐标系，将两个变量所表示的点在坐标系内标出，这样的图称为散点图预习交流2 散点图有什么作用？提示：可以用来判断两个变量是否相关3线性回归方程(1) 最小平方法： 离差的平方和q(a，b) 是直线ybxa与各散点在垂直方向( 纵轴方向 )上的距离的平方和， 可以用来衡量直线ybxa与图中各个点的接近程度所以，设法取a，b的值，使q(a，b) 达到最小值这种方法叫做最小平方法，又称“最小二乘法”其中y读作“y估计”(2) 线性相关关系的概念：能用直线方程ybxa近似表示的相关关系叫做线性相关关系(3) 线性回归方程的概念：一般地，设有n对观察数据如下：x x1x2x3xny y

3、1y2y3yn当a，b使q (y1bx1a)2(y2bx2a)2 (ynbxna)2取得最小值时，就称方程ybxa为拟合这n对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线(4) 线性回归系数公式：线性回归方程ybxa中的系数a，b可用下面的公式计算bi 1nxiyin xyi 1nx2in x2i1n (xix)(yiy)i 1n (xix)2，ayb x.预习交流3 线性回归方程ybxa是否一定经过一个定点？提示：由ayb x代入线性回归方程，得ybxyb x，整理得 (yy) b(xx) 因此，线性回归方程一定经过定点(x，y) 预习交流4 (1) 以下两变量之间具有相关关系的是_正

4、方形的面积与边长人的身高与年龄匀速行驶车辆的行驶路程与时间人的身高与视力(2) 散点图的作用是_查找个体个数比较个体数据大小关系探究个体分类粗略判断变量是否具有相关关系(3) 若施化肥量x( 千克 / 亩) 与水稻产量y( 千克 / 亩) 的回归方程为y5x250， 当施化肥量为 80 千克 / 亩时，预计水稻产量为_提示： (1) (2) (3)650 千克 / 亩一、线性相关关系的判断某公司利润y( 单位：千万元) 与销售总额x( 单位：千万元) 之间有如下表的对应数据：x 10151720252832 y 11.31.822.62.73.3 (1) 画出散点图；(2) 判断y与x是否具有

5、线性相关关系思路分析： 本题中涉及两个变量：利润与销售总额，以销售总额为自变量，考察利润的变化趋势，从而作出判断解： (1) 散点图如下，(2) 由图知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系1在下列各变量之间的关系中：凸n边形 (n3)的边数与内角度数之和；烧香拜佛的次数与考试成绩；某校高一学生的身高与体重；一块农田的玉米产量与施肥量其中具有相关关系的是_答案： 解析： 是函数关系，没有相关关系，均具有相关关系，故填.2下列各图中所示两个变量之间具有线性相关关系的是_答案： 解析： 由散点图易知中变量具有线性相关关系3设对变量x，y有如下观察数据：x 151152153154

6、156157158160160162163164 y 40414141.54242.5434445454645.5 画出散点图，并判断两变量间是否存在相关关系解： (1) 画出散点图如图(2) 由图知，两变量间存在相关关系(1) 两个变量x和y相关关系的确定方法：散点图法：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定规律，直观地判断；表格、关系式法：结合表格或关系式进行判断；经验法：借助积累的经验进行分析判断(2) 判断两个变量x和y之间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响二、求线性

7、回归方程假设关于某设备使用年限x( 年) 和所支出的维修费用y( 万元 ) 有如下统计资料：x 23456 y 2.23.85.56.57.0 请画出上表数据的散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关， 求出y关于x的回归方程思路分析： 先画出散点图， 判断它们是否具有相关关系，再根据题目中提供的数据先计算出x，y，i 1nx2i，i 1nxiyi，代入公式求a，b的值即可解： 散点图如图所示由散点图可知，两变量之间具有相关关系，且为线性相关列表，计算i 12345 xi23456 yi2.23.85.56.57.0 xiyi4.411.422.032.542.0 x2i49162536 x4

8、，y5，i 15x2i90，i15xiyi 112.3 设所求回归方程为：ybxa，则由上表可得bi 15xiyi5xyi15x2i5x2112.3 5459054212.310 1.23 ，ayb x51.234 0.08. 回归方程为y1.23x0.08. 1两个相关变量满足如下关系：x 1015202530 y 1 0031 0051 0101 0111 014 两变量的回归直线方程为_答案：y0.56x997.4 解析： 利用公式bi 15xiyi5xyi 15x2i5x20.56 ，ayb x997.4 ，故回归直线的方程为y0.56x997.4. 2下表是某旅游区游客数量y( 单位

9、：百个 ) 与平均气温x( 单位： ) 的对比表：平均气温 / 1410131826 数量 / 百个202434385064 若已知游客数量y与平均气温x是线性相关的，求线性回归方程解：x706353，y23061153，x21x22x26116100169324 6761 286 ，x1y1x2y2x6y6 20963401338185026643 474. bx1y1x2y2x6y66xyx21x22x26 6x23 474 635311531 286 635321.68，ayb x18.73.即所求得的线性回归方程为y1.68x18.73. (1) 用公式求回归方程的一般步骤是：列表xi

10、，yi，xiyi；计算x，y，i 1nx2i，i1nxiyi；代入公式计算b，a的值；写出回归方程(2) 求回归方程时应注意的问题：知道x与y呈线性相关关系， 无需进行相关性检验；否则，应首先进行相关性检验如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说， 它们之间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计和预测的量也是不可信的；用公式计算a，b的值时，要先算出b，然后才能算出a；使用计算器能大大简化手工的计算，迅速得出正确的结果，但输入数据时要细心，不能出任何差错； 不同计算器的按键方式可能不同，可参考计算器的使用说明书进行相关计算三、线性回归方程的应用下面是水稻产量与施化肥量

11、的一组观测数据：施化肥量15202530354045 水稻产量320330360410460470480 (1) 将上述数据制成散点图；(2) 你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一直随施化肥量的增加而增长吗？解： (1) 散点图如下：(2) 从图中可以发现施化肥量与水稻产量具有线性相关关系，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量由小变大图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增长1 经调查知，某品牌汽车的销售量y( 辆) 与广告费用x( 万元 ) 之间的线性回归方程为y2504x.

12、 当广告费用为30 万元时，预测汽车销售量为_辆答案： 370 解析： 当x30 时，y250430 370. 2某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x/ 万元4235 销售额y/ 万元49263954 根据上表可得回归方程ybxa中的b为 9.4 ， 据此模型预报广告费用为6 万元时销售额为 _答案： 65.5 万元解析： ayb x492639 5449.4 42354 9.1 ，回归方程为y9.4x9.1. 令x6，得y9.4 6 9.1 65.5( 万元 ) 3(2012 福建高考 ) 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如

13、下数据：单价x(元 )88.28.48.68.89 销量y(件 )908483807568 (1) 求回归直线方程ybxa，其中b 20，ayb x；(2) 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从 ( ) 中的关系，且该产品的成本是4 元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？( 利润销售收入成本) 解： (1) 由于x16(x1x2x3x4x5x6) 8.5 ，y16(y1y2y3y4y5y6) 80，所以ayb x 80208.5 250，从而回归直线方程为y 20 x250. (2) 设工厂获得的利润为l元，依题意得lx( 20 x 250)4( 20 x250) 20 x

14、2330 x1 000 20 x3342361.25 ，当且仅当x8.25 时，l取得最大值故当单价定为8.25 元时，工厂可获得最大利润(1) 回归分析是数理统计中最常见的统计方法之一，它研究的是一个变量与另一个变量的相关关系应用线性回归方程解实际问题时，一般是先借助于散点图，直观地看出两个变量之间是否具有相关关系，再利用最小平方法思想建立线性回归方程，从而定量地描述两个变量的关系回归系数a，b刻画了两个变量之间的变化趋势利用回归直线方程， 可以对实际问题进行预测由一个变量的变化推测另一个变量的变化，从而为决策者提供依据(2) 关于回归分析的几个问题：回归分析是寻找相关关系中非确定性关系的某

15、种确定性；对于相关关系细节的分析，我们可以通过作统计图表来使我们对两个变量之间的关系有一个直观的印象和判断. 当然还可以通过另一种图散点图来分析两个变量间的关系. 1给出x，y值的数据如下：y 35917 x 1248 则根据数据可以判断x和y的关系是 _ ( 填“确定关系”“相关关系”或“没有关系”)答案： 确定关系解析： 由表中数据可以得到x，y之间是一种函数关系：y2x1. 所以x和y是一种确定的关系，也即函数关系2下列关系中是相关关系的是_学生的学习态度和学习成绩之间的关系；教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；家庭的经济条件与学生的学习成绩之

16、间的关系答案： 解析： 根据相关性的定义可知为相关关系，不具有相关关系3下列分别是3 对变量的散点图，则具有相关关系的是_答案： 解析： 由散点图知中的点大致分布在一条直线附近4(2012 湖南高考改编 ) 设某大学的女生体重y( 单位： kg) 与身高x( 单位： cm)具有线性相关关系根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2 ，n) ，用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x85.71 ，则下列结论中不正确的个数是_y与x具有正的线性相关关系；回归直线过样本点的中心(x，y) ；若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg ；若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg. 答案： 解析： 中，若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重约为：0.85170