2022年湖南省衡阳市蒸北中学高三数学理联考试题含解析

1、2022年湖南省衡阳市蒸北中学高三数学理联考试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知定义在上的函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）a        b       c.         d参考答案：d点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出

2、来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.2. 已知集合,则 a.1,2            b.1        c. 1,2       

3、60;  d. 1,1,2 参考答案：d3. 设与是定义在同一区间a，b上的两个函数，若对任意a，b，都有成立，则称和在a，b上是“亲密函数”，区间a，b称为“亲密区间”若与在a，b上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是 a、0，2       b、0，1       c、1，2       d、-1，0参考答案：b略4. 过点m（2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于p1、p2两点，线段p1p2的中点为p，设直线m的斜率为k1（k0）

4、，直线op的斜率为k2，则k1k2的值为（）a2b2cd参考答案：d【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题【分析】点斜式写出直线m的方程，代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系及中点公式求出p的横坐标，再代入直线m的方程求出p的纵坐标，进而求出直线op的斜率k2，计算 k1k2的值【解答】解：过点m（2，0）的直线m的方程为  y0=k1（x+2 ），代入椭圆的方程化简得（2k12+1）x2+8k12x+8k122=0，x1+x2=，p的横坐标为 ，p的纵坐标为k1（x1+2 ）=，即点p（，），直线op的斜率k2=，k1k2=故选d【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，

5、线段中点公式的应用，根据题意，求出点p的坐标是解题的关键和难点5. 已知a=log0.34，b=log43，c=0.32，则a，b，c的大小关系是（）acabbbaccacbdabc参考答案：d【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出【解答】解：a=log0.340，0b=log431，c=0.320.30=1，abc故选：d6. 已知，则（    ）  a   b   c    d参考答案：c略1.已知全集等于a.b.c.d.参考答案：a8. 过原点的直

6、线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是(   )     a.    b.    c.   d. 参考答案：c略9. 设，则多项式的常数项为             参考答案：因为，则多项式为，它的展开式的通项公式为，令，求得，所以展开式的常数项为故选【解题探究】本题考查定积分的计算和二项式定理的应用先由定积分求出的值，再求解二项式展开式中的常数项，利用二项式的展开式的通项，令的对应次数为即可

7、求出其常数项10. 如图，在三棱锥中，底面，=，于，于, 若，=，则当的面积最大时，的值为(    )a 2         b            c           d 参考答案：d略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知a，b是圆o：上的两个动

8、点，.若m是线段ab的中点，则的值为_.参考答案：3【分析】易得，可得，结合，是圆：上两个动点，计算可得答案.【详解】解：设，则，所以.由，得，  又，在圆上，所以，  联立得，所以化简并整理，得.优解由条件易知为正三角形.又由为的中点，则，所以.【点睛】本题主要考查平面向量的应用及平面向量数量积运算，由已知得出代入计算是解题的关键.12. 若集合，则        .参考答案：13. 已知函数的图象是一段圆弧，如图，且函数在上的导数总有，则圆弧所在圆的方程为_.参考答案：  答案：14. 设是

9、周期为2的奇函数，当时，=，则=   参考答案：由是周期为2的奇函数可知，.15. 奇函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称，f(1)=2,则f(3)=        。参考答案：2略16. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为           参考答案：17. （4分）（2015?丽水一模）设，（0，），且，则cos的值为参考答案：【考点】： 二倍角的正切；两角和与差的正弦函数【专题】： 三角函数的求值【分

10、析】： 由tan的值，利用二倍角的正切函数公式求出tan的值大于1，确定出的范围，进而sin与cos的值，再由sin（+）的值范围求出+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（+）的值，所求式子的角=+，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值解：tan=，tan=1，（，），cos=，sin=，sin（+）=，+（，），cos（+）=，则cos=cos（+）=cos（+）cos+sin（+）sin=×+×=故答案为：【点评】： 此考查了二倍角的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键三

11、、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 设函数。(1)求的单调区间；(2)若当时,(其中)不等式恒成立,求实数的取值范围；(3)试讨论关于的方程:在区间上的根的个数。参考答案：解：（1）函数的定义域为.    由得;   由得,                        

12、        则增区间为,减区间为.                                   (2)令得,由(1)知在上递减,在上递增,    由

13、,且,     时, 的最大值为,故时,不等式恒成立.  (3)方程即.记,则.由得;由得.所以g(x)在0,1上递减，在1，2上递增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，g(0)g(2)g(1) 。 所以，当a1时，方程无解；当3-2ln3a1时，方程有一个解；当2-2ln2aa3-2ln3时，方程有两个解；当a=2-2ln2时，方程有一个解；当a2-2ln2时，方程无解.           &

14、#160;                                  综上所述，a时，方程无解；或a=2-2ln2时，方程有唯一解；时，方程有两个不等的解.         

15、; 19. 设f(x)是定义在r上的偶函数，当0x2时，yx，当x>2时，yf(x)的图象是顶点为p(3,4)，且过点a(2,2)的抛物线的一部分(1)求函数f(x)在(，2)上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域参考答案：(1)设顶点为p(3,4)，且过点a(2,2)的抛物线的方程为ya(x3)24，将(2,2)代入可得a2，y2(x3)24，即y2x212x14.设x<2，则x>2.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)2×(x)212x14，即f(x)2x212x14.函数f(x)在(，2)上的解析式为f(x)2x2

16、12x14.(2)函数f(x)的图象如图所示(3)函数f(x)的值域为(，420. 学校某文具商店经营某种文具，商店每销售一件该文具可获利3元，若供大于求则削价处理，每处理一件文具亏损1元；若供不应求，则可以从外部调剂供应，此时每件文具仅获利2元为了了解市场需求的情况，经销商统计了去年一年（52周）的销售情况销售量（件）10111213141516周数248131384以去年每周的销售量的频率为今年每周市场需求量的概率（1）要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5，问进货量的最大值是多少？（2）如果今年的周进货量为14，写出周利润y的分布列；（3）如果以周利润的期望值为考虑问题的依据，今年的

17、周进货量定为多少合适？参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（i）若进货量定为13件，相应有13+13+8+4=38周可得“进货量不超过市场需求量”的概率p=0.5；同理：若进货量定为14件，则“进货量不超过市场需求量”的概率0.5，即可得出（ii）今年的周进货量为14，设“平均今年周利润”y；若售出x件，x14时，则利润y=x×3+（14x）×（1）x15时，则利润y=14×3+（x14）×2即可得出y的分布列（iii）以周利润的期望值为考虑问题的依据，今年的周进货量定为11件或12件合适【解答】解：（i）若进货

18、量定为13件，则“进货量不超过市场需求量”是指“销售两不小于13件”，相应有13+13+8+4=38周“进货量不超过市场需求量”的概率p=0.5；同理：若进货量定为14件，则“进货量不超过市场需求量”的概率0.5；要使进货量不超过市场需求量的概率大于0.5，进货量的最大值是13（ii）今年的周进货量为14，设“平均今年周利润”y；若售出10件，则利润y=10×3+4×（1）=26售出11件，则利润y=11×3+3×（1）=30售出12件，则利润y=12×3+2×（1）=34售出13件，则利润y=13×3+1×（1）=38售出1