2022年初一奥数第4讲相交线、平行线

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载初一数学竞赛系列讲座4相交线.平行线一.学问要点：1 平面上两条不重合的直线,位置关系只有两种：相交和平行；2 两条不同的直线,如它们只有一个公共点,就说它们相交；即,两条直线相交有且只有一个交点；3 垂直为相交的特别情形；有关两直线垂直,有两个重要的结论：（ 1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（ 2）直线外一点与直线上全部点的连线中,垂线段最短；4 在同一平面内,不相交的两条直线称为平行线；平行线中要懂得平行公理,能娴熟地找出“三线八角”图形中的同位角.内错角.同旁内角,并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理；5 利用平行公理及其推论

2、证明或求解；二.例题精讲例 1如图 1,直线 a 与 b 平行, 1 3x+70 ° 、 2=5x+22 ° 、求 3 的度数；解：a b,l3a3 4（两直线平行,内错角相等）1+ 3 2+ 4 180° 平角的定义 41 2等式性质 2b就3x+70 5x+22解得 x=24即 1 142°3 180°- 1 38°图1评注：建立角度之间的关系,即建立方程（组）,为几何运算常用的方法；例 2已知：如图 2 , ab ef cd ,eg 平分 bef, b+ bed+ d =192 °, b- d=24 °,求

3、gef 的度数；ab解： ab ef cdg b= bef , def= d （两直线平行,内错角相等） b+ bed+ d =192 °（已知）ef即 b+ bef+ def+ d=192 °cd 2（ b+ d ） =192°（等量代换）就 b+ d=96 °（等式性质） b- d=24 °（已知）图2 b=60 °（等式性质） 即 bef=60 °（等量代换） eg 平分 bef （已知）1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 gef= bef=30 °（角平分线定义）2精品学习资料精选学习资料 -

4、 - - 欢迎下载例 3如图（ 3）,已知 ab cd ,且 b=40 °, d=70 °,求 deb 的度数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：过 e 作 ef abab cd （已知）cdef cd （平行公理） bef= b=40 ° def= d=70 °（两直线平行,内错角相等）ab deb= def- bef deb = d- b=30 °ef评注：证明或解有关直线平行的问题时,假如不构成“三线八角”,就应添出帮助线；图（ 3）例 4已知锐角三角形abc 的三边长为a, b, c,而 ha,hb,hc 分别为对应边上

5、的高线长,求证： ha+hb+hc a+b+c分析：对应边上的高看作垂线段,而邻边看作斜线段hca证明：由垂线段最短知,ha c , hb a,hc b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载以上三式相加得ha+hb +hc a+b+cb精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载讨论垂直关系应把握好垂线的性质；1 以过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；a2 垂线段最短；例 5如图（ 4）,直线 ab 与 cd 相交于 o, efab 于 f, ghcd 于 h,求证 ef 与 gh 必相交；分析：欲证ef 与 gh 相交,直接证很困难,可考虑用反证eg法；ad证明：假设ef 与 g

6、h 不相交；fhef.gh 为两条不同的直线oef ghcbefabghab又因 ghcd故 ab cd 垂直于同始终线的两直线平行图（ 4）这与已知ab 和 cd 相交冲突；所以 ef 与 gh 不平行,即ef 与 gh 必相交评注：此题应用结论：(1) 垂直于同一条直线的两直线平行；(2) 两条平行线中的一条直线垂直于第三条直线,那么另一条直线也平行于第三条直线；例 6平面上n 条直线两两相交且无3 条或 3 条以上直线共点,有多少个不同交点？解： 2 条直线产生1 个交点,第 3 条直线与前面2 条均相交,增加2 个交点,这时平面上3 条直线共有1+2=3 个交点；第 4 条直线与前面3

7、 条均相交,增加3 个交点,这时平面上4 条直线共有1+2+3=6 个交点；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就n 条直线共有交点个数：1+2+3+ n-1=1nn-12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评注：此题为平面上n 条直线交点个数最多的情形,需要认真观看,由简及繁,深化摸索,从中发觉规律；例 7 6 个不同的点,其中只有3 点在同一条直线上,2 点确定一条直线,问能确定多少条直线？解： 6 条不同的直线最多确定：5+4+3+2+1=15 条直线,除去共线的3 点中重合多算的2 条直线,即能确定的直线为15-2=13 条；另法： 3 点所在的直线外的3 点间最多

8、能确定3 条直线,这3 点与直线上的3 点最多有3×3=9 条直线,加上3 点所在的直线共有：3+9+1=13 条精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评注：一般地,平面上n 个点最多可确定直线的条数为：1+2+3+n-1=1nn-12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 8 10 条直线两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域？解： 2 条直线最多将平面分成2+2=4 个不同区域；3 条直线中的第3 条直线与另两条直线相交,最多有两个交点,此直线被这两点分成3 段,每一段将它所在的区域一分为二,就区域增加3 个,即最多分成2+2+3=7 个不同区域；同理： 4

9、条直线最多分成2+2+3+4=11 个不同区域；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 10 条直线最多分成 2+2+3+4+5+6+7+8+9+10=56 个不同区域推广： n 条直线两两相交,最多将平面分成 2+2+3+4+ +n=1+ 的区域摸索：平面内 n 个圆两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域？1nn+1=21n2+n+2 块不同2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 9平面上n 条直线两两相交,求证所成得的角中至少有一个角不大于180 0n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料

10、- - - 欢迎下载证明：平面上n 条直线两两相交最多得对顶角n n21 × 2 nn-1 对,即 2nn-1 个角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平面上任取一点o,将这 n 条直线均平行移动过点o,l 3成为交于一点o 的 n 条直线,l 2这 n 条直线将以o 为顶点的圆周角分为2n 个（共 n 对）互不重叠的角：1.2.3.2nol n由平行线的性质知,这2n 个角中每一个都和原先n 条直线中的某两条直线的交角中的一个角相等,即这2n 个角均为原 2nn-1 个角中的角；00精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如这 2n 个角均大于180,就1+2 +3

11、+2n 2n× 180=360° 、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nn而1+2+3+2n =360° 、 产生冲突精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故1.2.3.2n 中至少有一个小于180 0,n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即原先的 2nn-1中至少有一个角不小于0180n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评注：通过平移,可以把原先分散的直线集中交于同一点,从而解决问题；例 10（ a）请你在平面上画出6 条直线（没有三条共点）,使得它们中的每条直线都恰与另3

12、 条直线相交,并简洁说明画法；（ b）能否在平面上画出7 条直线（任意3 条都不共点） ,使得它们中的每条直线都恰与另 3 条直线相交,假如能请画出一例,假如不能请简述理由；解：（ a）在平面上任取一点a ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载过 a 作两直线m1 与 n1；在 n1 上取两点b, c,在m1 上取两点d,g；过 b 作 m2 m1,过 c 作 m3 m1,过d 作 n2 n1,过 g 作 n3 n1,这时 m2.m3.n2.n3 交得 e.f.h.i 四点,如下列图；由于彼此平行的直线不相交, 所以,图中每条直线都恰与另3 条直线相交；（b）在平面上不能画出没有3

13、线共点的7 条直线,使得其中每条直线都恰与另外3 条直线相交；理由如下：adgm12behmcfim3n1n2n3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载假设平面上可以画出7 条直线, 其中每一条都恰与其它3 条相交, 因两直线相交只有一个交点,又没有3 条直线共点,所以每条直线上恰有与另3 条直线交得的3 个不同的交点；依据直线去计数这些交点,共有3× 721 个交点,但每个交点分属两条直线,被重复精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载计数一次,所以这7 条直线交点总数为21 10.5 个,由于交点个数应为整数,冲突；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所

14、以,满意题设条件的7 条直线为画不出来的；三.巩固练习挑选题1平面上有5 个点,其中 仅有 3 点在同始终线上,过每2 点作一条直线,一共可以作直线（）条a 6b 7c 8d 9 2平面上三条直线相互间的交点个数为（）a 3b 1 或 3c 1 或 2 或 3d 不肯定为1, 2, 33平面上6 条直线两两相交,其中仅有3 条直线过一点,就截得不重叠线段共有（）a 36 条b 33 条c 24 条d 21 条4 已知平面中有n 个点 a、 b、 c 三个点在一条直线上,a、 d 、 f 、 e 四个点也在一条直线上,除些之外,再没有三点共线或四点共线,以这n个点作一条直线,那么一共可以画出38

15、 条不同的直线,这时n等于（）（ a） 9（ b） 10（ c）11（ d） 125如平行直线ab .cd 与相交直线ef.gh 相交成如图示的图形,就共得同旁内角 （）a 4 对b 8 对c12 对d 16 对 6如图,已知fd be,就 1+ 2- 3=a 90°b 135°c 150°d 180°精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aeg3a1e精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab1cfgcdbcd22fd精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载h第 5 题fb第 6 题e第 7 题精品学习资料精选学习资料 - - -

16、 欢迎下载7如图,已知ab cd , 1= 2,就 e 与 f 的大小关系；8平面上有5 个点,每两点都连一条直线,问除了原有的5 点之外这些直线最多仍有交点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9平面上3 条直线最多可分平面为个部分；a10如图, 已知 ab cd ef,ps gh 于 p, frg=110 °, 就 psq；ce11已知 a .b 为直线 l 外的两点,就线段ab 的垂直平分线与直线的交点个数为；gpbqdslfr第10题h精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12平面内有4 条直线,无论其关系如何,它们的交点个数不会超过个；13已知：如图,decb,求证： aed= a+ b14已知：如图,ab cd ,求证： b+ d+ f= e+ gabaefdegcdcb第 13 题第 14 题15如图,已知cbab , ce 平分 bcd ,de 平分 cda , edc+ ecd =90 °,ad求证： daab1