安徽大学2008-2009学年第一学期《量子力学》(B)卷及答案

1、1 r r , r , 安徽大学 2008-2009 学年第一学期量子力学（b）卷及答案一、简答题1. 能级简并、简并度。答：量子力学中，把处于不同状态、具有相同能量、对应同一能级的现象称为能级简并。把对应于同一能级的不同状态数称为简并度。2. 用球坐标表示，粒子波函数表为r, ,，写出粒子在球壳r , r dr 中被测到的几率。2解： p r 2 dr sindr,2 d。0 0 3. 粒子在一维势垒v (x) (x) (0) 中运动，波函数为(x) ，写出(x) 的跃变条件。解：(0 ) (0 ) 2m(0) 。2 4. 写出电子自旋 s z 的二本征值和对应的本征态。解： s z, 2

2、1 1 2 (s z ) 0； s , z 20 1 2 (s z ) 1。二、填充题5. 量子力学中，体系的任意态(x) 可用一组力学量完全集的共同本征态n (x) 展 开 ， 展 开 式 为(x) cnn (x) n ， 展 开 式 系 数cn n (x),(x)(x)(x)dx * 26. 一个电子运动的旋量波函数为r , s r ,，电子自旋向上z 2r , （ sz 2 ） 、位置在处的几率密度为 / 22 ；电子自旋向下（s 2 ）的几率为d 3 r / 22 。n z 2 j1 j2 jm x x x x 7. 二粒子体系，仅限于角动量涉及的自由度，有两种表象，分别为耦合表象和非

3、耦合表象；它们的力学量完全集分别是j 2 , j 2 , j 2 , j 和j 2 , j , j 2 , j ；在1 2 z 两种表象中，各力学量共同的本征态分别是和1 1z 2 2 z 。8. 计算下列对易式：(1) x , d 1 （2） d , x 2 2x d x d x 三、证明题9. 设力学量 a 不显含时间 t ，证明在束缚定态下，证：设束缚定态为，即有d a 0 。d t h e ，h e ，d a 1 d t ia, ha 。t 因 a 不显含时间 t ，所以a 0 ，因而t d a 1 d t ia, h 1 iah ha1 iah ha1 e a ie a 0 。10.

4、 粒子自旋处于 sz 2 的本征态1 0 ，试证明 sx 和sy 的不确定关系2 / 4 解：( sx)2 (s sx)2 s 2 s 2 。但s 2 2 / 4 （常数） ，?0 11sx sx1 0 0 ，2 所以( s )2 2 / 4 。1 00j1m1 j2 m2（s ）2 （s ）2x y x 3 （s ）2 （s ）2x y 3 y r 2 21 1同理，( s )2 2 / 4 。所以2 / 4 。四、计算题11. 氢原子处于状态1r , s y11 ，r 21 y10 2 2 求轨道角动量的z 分量 lz 的平均值； 求自旋角动量的z 分量 sz 的平均值；e 求总磁矩e 的

5、 z 分量m 的平均值。m 1 22l s z3 2 1解：lz 2 0 。2 4 1 2 3 2 sz 2 2 2 2 4 。 m el e s e e e1 m 。z 2zz 24 4 84 b 12. 考虑在无限深势阱（0 x a ）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，求体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。解：二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为e nn,n , n , , n na（1）基态：ea 。空间部分波函数是对称的：( )( ) , n sin na x 。z a 4 2 2自旋部分波函数是反对称的：总波函数(

6、)( ) ( )( ) 。( )( ) ( )( ) 。( )( ) ( )( ) （2）第一激发态：ea 。空间部分波函数：s 1 (1)2( 2 ) 1 ( 2 )2(1) ，1 (1)( 2 ) ( 2 ) (1) 。a 1 2 1 2 自旋部分波函数：( )( )s ( , ) ( ) ( ) ，( )( ) ( )( ) a ( , ) ( )( ) ( )( ) 。二电子体系的总波函数a s ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) s a 基态不简并，第一激发态是四重简并的。13.对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为e x2 ，为参数。用变分法求基态能量。解：设基态波函数c e x2 ，归一化，得c e x22d x c e2 x2 d x c 2 1/ 2 1 1 2 25 2取21 / 4c 则有1 / 4 2ex22 d2 1 2 2h x2d x2x 2e 1/ 2 * hd x x22 d2 1 2 2 x22d x2 2 1/ 2 2 2e2 x2 1 2 x2 d x 1 2e2 x2x2