2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.1.2弧度制学案新人教A版必修4

1、1.1.2 弧度制学习目标 1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换(重点).2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式(重、难点).I ilii預习自t学习吐基制知识点 i 弧度制i.度量角的两种制度角度制定义用度作为单位来度量角的单位制f、1 度的角周角的 360 为 1 度的角，记作 1弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1 弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角.1 弧度记作 1 radJjMbL_.X2.弧度数的计算(1) 正角：正角的弧度数是一个正数.(2) 负角：负角的弧度数

2、是一个负数.(3) 零角：零角的弧度数是 0.如果半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为I，那么，角a的弧度数的绝对值是 Ia|3角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360=2nrad2nrad=360180= n_radnrad=180n1=rad0.017 45 rad 1801801 rad()57.30n度数X弧度数180180弧度数x( ) 度数n【预习评价】(正确的打“V”，错误的打“X”)(1)1 弧度就是 1的圆心角所对的弧.()“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关.()8(3)160 化为弧度制是 9nrad.( )2=(4n X型) =1445n提示(1)X,1 弧度

3、是长度等于半径的弧所对的圆心角.(2)2,“1弧度的角”的大小等于半径长的圆弧所对的圆心角，是一个定值，与所在 圆的半径大小无关.n8V,160=160Xrad= nrad1809知识点 2 扇形的弧长及面积公式度量单位类别扇形的弧长扇形的面积圆的半径是6 cm,则圆心角为 15的扇形面积是解析因为15=君所以面积S= 1aF2= 2XnX36= 3n(cm2).2n(cm )I裸堂互动题型一角度与弧度的互化及应用【例 1】 将下列角度与弧度进行互化:题型剖析.可动攥究(1)20 ；(2)-on n(1)20=20X面=6；7Wc7n4800；(3)12；(4)5n .800=-800Xn40

4、-=n；7n727n180、(石Xn)=105;【预习评设扇形的半径为R弧长为I,a(0a2n)为其圆心角，则3规律方法角度制与弧度制互化的原则和方法(1)原则:牢记 180 =nrad，充分利用 1n亍180冠rad和1 rad=()进行换算.方法:设一个角的弧度数为a,角度数为小180n,贝y arad =a();nnnn1804【训练 1】把 112 30化成弧度;题型二用弧度制表示角的集合的角的集合(不包括边界，如图).所以阴影部分(不包括边界)内的角的集合为a| + 2kna夕+ 2kn,k Z.362n7n终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合是a|才+ 2kna0,I=a 2r0

5、,. 0r2,厶2aaa a当r= 4 时,ax=此时，I=a 2 4=2,a= - = 2.故当扇形的圆心角为 2 rad 时，扇形的面积最大，最大值为规律方法扇形弧长、面积问题的解决方法(1) 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：1 畀1 2一一是S=2lr=2|a|r，二是I=|aIr,如果已知其中两个，就可以求出另一个./(2) 解决此类题目要首先分析已知哪些量，要求哪些量，然后灵活运用公式求解.提醒：当扇形周长一定时，求扇形面积的最大值， 需把面积S转化为关于R的二次函数,但要注意R的取值范围，特别注意一个扇形的弧长必须满足0l2nR【训练 3】已知扇形AOE的周长为 10 cm .

6、(1)若这个扇形的面积为 4 cm2,求扇形圆心角的弧度数；求该扇形的面积取得最大值时圆心角的大小及弧长.解 设扇形圆心角的弧度数为0(002nrad，舍去;当r= 4 时，I= 2 cm，此时，2 10 4rad.(2)由I+ 2r= 10 得I= 10- 2r,112S= glr= 2(10 2r) r= 5rr5225=(r 2)+4(0r5)-525当r=时，S取得最大值-,这时I= 10 2X|= 5,550 =-= =2 rad.r52课堂达标1.下列命题中，假命题是（）A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B. 1的角是周角的1360,1 rad 的角是周角的12nC.

7、 1 rad 的角比 1的角要大D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关解析 根据 1 度、1 弧度的定义可知只有 D 为假命题，故选 D. 答案 D2. 2 340 转化为弧度为（）13A. nB. 13n13C. D. 13解析 2 340Xn= 13n，选 B.答案 B33.已知半径为 1 的扇形面积为 8n,则扇形的圆心角为（）A.3n16B.3n8答案/0与a终边相同, 0 =2kn +轨(kZ)丫S25又0 ( 4n, 4n) ,一 4n2kn+ 転n4n,k= 2, 1,0,1 .课堂小结1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系： 每一个

8、角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯 一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的D.3n2解析23n12-a|r得=XaXl，所以8 24.右0 =5,则角0的终边在（A.第四象限B.C.第二象限D.第一象限解析 2n 5 与一 5 的终边相同,/ 2n5(0,2n 5 是第一象限角，则一 5 也是第一象限角.答案 D5.已知a =1 690写成2kn+3(k Z,0,2n)的形式;，使0与a终边相同，且0 ( 4n, 4n).(1)1690=1 440 + 250=4X360+250=4X29747&一 36

9、k36(kZ).470的值是一亦，11nn18 18 182561n _ n .25n +18n.9关键在于充分利用“ 180=nrad ”这一关系式.3. 在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的 单位取弧度.10I ilErt 业押化训药加惚升基础过关i .下列各命题中，真命题是（）A. 1 弧度就是 1的圆心角所对的弧B. 1 弧度是长度等于半径的弧C. 1 弧度是 1 的弧与 1 的角之和D. 1 弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角解析 根据弧度制和角度制的规定可知 A、B、C 均错误，D 正确.答案 D2.将一 1 485。化成a+ 2kn(0 a2n

10、,k Z)的形式是()A.7D.: n一 10n410n,选 D.答案 D3.扇形的半径变为原来的2 倍，而弧长也增加到原来的 2 倍，则（）A. 扇形的圆心角大小不变B.扇形的圆心角增大到原来的2 倍C.扇形的圆心角增大到原来的4 倍D. 扇形的圆心角减小到原来的一半解析设扇形原来的半径为r，弧长为I，圆心角为a，则变化后半径为2r，弧长为I21 I2I，圆心角为B，. a=，3=r=a，即扇形的圆心角大小不变.答案 A5n.4. 若a（0，n），且a与角一终边相同，贝U a =_.“ ，一 5nn , n解析 一 丁 = 2n+ ，故a= 3 .答案才5.已知两角的和是 1 弧度，两角的差

11、是 1，则这两个角为 _c.亍-10n解析1 485=-5X360+315,化为a+ 2kn(0W a3,则fna 3=180，解得a=2+n360,1n3=236o答案1n12+360，2 3607t6如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.H （1）将阴影部分看成是由OA逆时针旋转到所形成,O(4)0B所形成故满足条件的角的集合为3n4nF 2kna -F2kn ,kZ43n若将终边为OA的一个角改写为一，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB6故满足条件的角的集合为n5n舀+2knaW乜+2kn，Z将题干图中x轴下方的阴影部分看成是由x

12、轴上方的阴影部分旋转nrad 而得到,nrad 后可得到第四象限的阴12!+knaV+kn，kCZ4n0 七2n，16n4n=4n+T7.把下列角化为 2kn+a(0WaV2n ,kZ)的形式:16n2； (2) 31513315=55x1n_=7n=触+n,no0W V2n , 315能力提升11把- 4n表示成0+ 2kn（k Z）的形式，使11n = 2n +4答案 A积是（D. (1sin 1cos 1)R2解析 /l=4R- 2R= 2R,S弓形S扇形SA1_21a2aR2(2Rsin)(Fcos答案 D10.已知集合A= X|2kn Wx2kn+n,kZ，集合B= x| 4x4，贝

13、UAAB=解析如图所示,n2n+T|0|最小的0值是（A.B.2nC.71D.71解析=2X(1)n+4n，或一11n5n3n5n厂=4n+T，且丨r|4|，30=列.9.如图是一个半径为R的扇形,它的周长为 4R则这个扇形所含弓形（阴影区域）的面A.1(2sin 1 cos 1)Ra三)=12XR2-為n 1 COs 1=氏(1sin 1cos1)C.14AnB= 4， nU0, n.15答案4,nU0 ,n11.已知a是第二象限角，且|a+ 2| 4,贝U a的集合是 _解析T a是第二象限角，扇形面积的最大值是225cm2,这时a=R= 2 rad .4R13.（选做题）如图，已知一长为

14、 3 dm，宽为 1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动的 翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角.求点A走过的路卜 2knVa Vn +2kn ,kZ,/ |a +2|w4,A 6W a 2,当k=1 时，一3nv aV n,当k= 0 时，V a w2,当k为其他整数时，满足条件的角a不存在.3nn答案（一丁 , n）U（亍,212.已知一扇形的圆心角是a，所在圆的半径是 R.（1）若a= 60,R= 10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；若扇形的周长是 30 cm,当a为多少弧度时，该扇形有最大面积?（1）设弧长为I，弓形面积为Sna =60= ,F=10(cm),310n.I= aF= 3(cm).110n1S弓=S扇一S =?x 3x102x2由I+ 2R= 30,.I= 30 2R、12 一二、2x10心才x10 xcosnn=50n -1 也从而 S= IF=o(30 2R) R2 2=R+ 15R=R-齐 + 字15半径R= -2-cm时，I=30一 2X罗=15 cm