证明不等式的基本方法正式版

1、怀仁一中高二数学学案(文科)周次回时间6.2编号12编制 审核课题：2.1比较法1一、学习目标：掌握比较法解题的一般步骤，并会应用比较法证明不等式二、重点：比较法的解题步骤难点：应用比较法解题三、自学指导：1. 作差比较法的理论依据：a-b0u a-b ：0 = a _ b = 0 u 作差比较法解题的一般步骤：; ; ;2. 作商比较法的理论依据是不等式的基本性质1 ) b>0,若 aA1,则；若 a<1 则；bb2 ) bc0,若亘>1,则；若亘<1则；bb作商比较法的一般步骤判定a.b的符号作商变形整理判定与1的大小关系得出结论 四、导思探究：如果akg白糖制出b

2、kg溶液，则糖的质量分数 a ,若在上述溶液中再添 b加mkg白糖，此时糖的质量分数增加到a* ,你能将这个事实抽象为数学问题，b m并给出证明五、导练展示:1.求证：1)a2 b2 -2(a -b-1)a a b > c,贝U bc2 + ca2 + ab2 < b2c + c2a + a 2b2.已知a至1 ,求证 Ja+b _ ja < ja _ Ja _ 1六、达标训练：1 .求证 a2 +b2 +5 >2(2a -b)2 .已知 a > b ,求证 a3 -b3 > ab(a -b)七、反思小结：会用比较法证明不等式怀仁一中高二数学学案(文科)周次

3、16 时间6.2编号13编制 审核课题：2.1比较法2一、学习目标：掌握比较法解题的一般步骤，并会应用比较法证明不等式二、重点：比较法的解题步骤 难点：应用比较法解题三、自学指导：1. 作差比较法的理论依据：a-b 0= a -b ：二0 = a _ b = 0 u 作差比较法解题的一般步骤： ; ; ;2. 作商比较法的理论依据是不等式的基本性质1 ) b>0,若 a>1,则；若 a<1 则；bb2 ) bc0,若 a>1,则；若2<1 则；bb作商比较法的一般步骤判定a.b的符号作商变形整理判定与1的大小关系得出结论四、导思探究：已知 a #b ,求证 a4

4、+6a2b2 +b4 a4ab(a2 +b2)五、导练展示：1 .已知a.b都是正数，且a # b ,求证a3 +b3 a a2b + ab22 .已知 a.b.c 都是正数，求证 a2ab2bc2c>aHcbHaca4b六、达标训练：1.已知 ad #bc,求证(a2 +b2)(c2 +d2) > (ac +bd )22.已知 a #b ,求证 a4 +6a2b2 +b4 a4ab(a2 + b2)七、反思小结：会用比较法证明不等式怀仁一中高二数学学案（文科）周次16_时间64编号14编制_ 审核课题：2.2综合法与分析法1一、学习目标：掌握综合法与分析法的证明步骤，并会应用综合

5、法与分析法证明不等式二、重点：综合法，分析法的解题步骤难点：应用综合法，分析法证明不等式三、复习回顾：列的综合法1. 一般地，从 出发，利用定义，公理，定理，性质等，经过一系,而得出 成立，这种证明方法叫做综合法，叫 或2. 证明命题时，从 出发，逐步寻求使它成立的 条件，直至所需条件为 条或一个 的事实（定义，定理，公理，性质等）从而得出 成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种 的思考和证明方法。四、导练展示：11 .一1 .已知 x>0, y>0 且 x + y=1 求证(i + _)(i+)之 9xy2 .已知a.b.c W R +,用综合法证明1) (ab+a+b+1)(a

6、b+ac+ bc+c2)之 16abe_,333、2,、2,、2,、2) 2(a +b +c)至 a (b+c)+b(a+c)+c(a+b)五、达标训练：一一一.1 91 9251.已知 a.b.c WR ,且 a+b=1,求证（a+）2 +（b+）2 之一ab 22.已知AABC的三边长是a.b.c且m为正数，求证六、反思小结：会用综合法，分析法证明不等式怀仁一中高二数学学案（文科）周次16_时间6.3编号15编制 审核课题：2.2综合法与分析法2一、学习目标：掌握综合法与分析法的证明步骤，并会应用综合法与分析法证明不等式二、重点：综合法，分析法的解题步骤难点：应用综合法，分析法证明不等式三

7、、复习回顾：1. 一般地，从 出发，利用定义，公理，定理，性质等，经过一系列的,而得出 成立，这种证明方法叫做综合法，综合法叫 或2. 证明命题时，从 出发，逐步寻求使它成立的 条件，直至所需条件为 条或一个 的事实（定义，定理，公理，性质等）得出 成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种 的思考和证明方法。四、导练展示:lab r R 且 2ca+b,求证 c-c2 -ab < a <c + Vc2 -ab3. 已知 f (x) = 41+ x2 , a*b,求证 f (a) - f(b) <|a-b五、达标训练:1.2. 2.2 22 22.已知 a.b.c>0, 求

8、证 a b +b c +c aabc六、反思小结：会用综合法，分析法证明不等式怀仁一中高二数学学案（文科）周次回时间6.4编号17编制 审核课题：2.3反证法2一、学习目标：掌握反证法的证明步骤，并会应用反证法证明不等式二、重点：反证法的解题步骤难 点：用反证法证明不等式三、复习回顾：1. 已知 m.nw R+，求证 mnmtmnnm22. 已知 a <1, b <1,求证 1 ab >|a-b四、导思探究：你能写出反证法的证明步骤吗?五、导练展示:1设 0<a.b.c<1 证明(1a)b,(1b)c,(1c) a不能都大于-4六、达标训练：111.设x.y为正数

9、，且x + y=1,用反证法证明(2_1)(2 _1)29x y2. 已知0<x<1,a>0,a #1,试比较loga(1 x)与loga(1 + x)的大小，并说明理由一， 一 4 一3. 已知m>0,求证 m + 223 m七、反思小结： 会用反证法证明不等式怀仁一中高二数学学案（文科）周次12时间6.10编号18编制 审核课题：2.4放缩法1一、学习目标：掌握放缩法的证明特点，并会应用放缩法证明不等式二、重点：放缩法的证明方法 难 点：用放缩法证明不等式三、自学指导：阅读P28P29,回答下列问题：1. 证明不等式时，通常把不等式的某些部分的值 或,简化不等式，从

10、而达到证明的目的。我们把这种方法称为放缩法。2. 放缩法的理论依据主要有：1 ）不等式的传递性2 ）等量加不等量为不等量3 ）同分子（分母）导分母（分子）的两个分式大小的比较4 ）基本不等式与绝对值不等式的基本性质5 ）三角函数的有界性等四、导思探究：1 .放缩法的关键在于 要适当2.当要证明的不等式中有分式时，我们把分母放大，则相应的缩小；反之，如果把分母缩小，则相应的 放大，这是一种常用的法 五、导练展示：证明1-七土十方十十M七1，（n = 2,3,4，）2 n 1 23 n n六、达标训练：已知a.b.为实数，求证：忖 叫 < JaL +JbL1 ： |a b 1a 1b七、反思

11、小结：会用放缩法证明不等式怀仁一中高二数学学案（文科）周次17时间6.10编号19编制 审核课题：2.4放缩法2一、学习目标：掌握放缩法的证明特点，并会应用放缩法证明不等式二、重点：放缩法的证明方法难 点：用放缩法证明不等式三、自学指导：回答下列问题：1. 证明不等式时，通常把不等式的某些部分的值 或,简化不等式，从而达到证明的目的。我们把这种方法称为放缩法。2. 放缩法的理论依据主要有：1 ）不等式的传递性2 ）等量加不等量为不等量3 ）同分子（分母）导分母（分子）的两个分式大小的比较4 ）基本不等式与绝对值不等式的基本性质5 ）三角函数的有界性等四、导思探究： 1.放缩法的关键在于 要适当

12、2.当要证明的不等式中有分式时，我们把分母放大，则相应的缩小；反之，如果把分母缩小，则相应的 放大，这是一种常用的 放缩方法 五、导练展示：已知 a, b,c, d w R ;试证：1 :二 _a . b c d:二2a b d b c a cd b d a c六、达标训练:2.、r11.证明：1 1、21.31.2, n, n,一 1111设n为正数，证明 1 < + <12 n 1 n 2 2n七、反思小结：会用放缩法证明不等式学习不是一朝一夕的事情，需要平时积累，需要平时的勤学苦练。有个故事：古希腊大哲学家苏格拉底在开学第一天对他的学生们说：“今天你们只学一件最简单也是最容易

13、的事儿。每人把胳膊尽量往前甩，然后再尽量往后甩。”说着，苏格拉底示范做了一遍，“从今天开始，每天做 300下，大家能做到吗？”学生们都笑了，这么简单的事，有什么做不到的？过了一个月，苏格拉底问学生：每天甩手 300下，哪个同学坚持了，有 90%的学生骄傲的举起了手，又过了一个月，苏格拉底又问，这回，坚持下来的学生只剩下了80%。一年过后，苏格拉底再一次问大家： “请告诉我，最简单的甩手运动。还有哪几个同学坚持了？”这时，整个教室里，只有一个人举起了手，这个学生就是后来成为古希腊另一位大哲学家的柏拉图。同学们，柏拉图之所以能成为大哲学家，其中一个重要原因，就是，柏拉图有一种持之以恒的优秀品质。要

14、想成就一番事业，必须有持之以恒的精神，大家都熟悉愚公移山的故事，愚公之所以能够感动天帝，移走太行、王屋二山。正是因为他具有锲而不舍的精神。戎马一生，他前十次革命均告失败，但他百折不挠，终于在第十一次革命的时候，推翻了清王朝的统治，建立了中华民国。这些故事，情节不同，但意义都是一样的，它告诉无们，做事要有恒心。旬子讲：“锲而不舍，朽木不折；锲而舍之，金石可镂。了这句话充分说明了一个人如果有恒心，一些困难的事情便可以做到，没有恒心，再简单的事也做不成。学习是一条慢长而艰苦的道路，不能靠一时激情，也不是熬几天几夜就能学好的，必须养成平时努力学习的习惯。所以我说：学习贵在坚持！当下市面上关于教授学习方

15、法的书籍不少，其所载内容也的确很有道理，然而当读者实际应用时，很多看似实用的方法用来效果却并不明显，之后的结果无非是两种：要么认为自己没有掌握其精髓要领，要么抱怨那本书的华而不实，但最终肯定还是会回归到当初的原点。这本学会学习在一开始并没有急于兜售自己的方法，而是通过测试让读者真正了解自己，从而找到适合自己思维方式的学习方法,书的第一部分就是左脑还是右脑思维测试和视觉、听觉和动觉学习模式测试，经过有效分类后，针对不同读者对不同思考和接收接受学习的特点，有针对性的分别给出建议，从而不断强化自己的优势。在其后书中的所有介绍具体学习方法章节的最开始，都是按照不同学习模式给出各种学习方法不同的建议，这

16、是此书区别于其他学习方法类书籍的最大特点，这种“因材施教”的方式能让读者有种豁然开朗的感觉，除了能够得到最适合自己的有效的学习方法也能更深入的认识客观的自己，不论对学习还是生活都有帮助。 除了 “针对性” 强外， 本书第二大特点就是 “全面”，全书都是由一篇篇短文、图表集成，更像是一本博文或者PPT课件合集，每个学习方法的题目清晰明了十分便于查找，但也因此有些章节内容安排的比较混乱，所幸每一章节关联性并不太强，每个章节都适合独立检索来阅读学习。其内容从“时间规划” 、 “笔记” “阅读”直到“考试”几乎涉及了所有学习中的常遇问题，文中文字精炼没有过分的渲染，完全是纯纯的“干货” ，可以设身处地

17、的想象：当自己面对学海之中手足无措之时，长篇大论的方法肯定会无心查看，明了的编排，让人从目录中就能一目了然的找到自己想要的，一篇篇短文尽可能在最少的时间让读者得到最有用的信息，是一部值得学习的人们不断自我提高的有力武器。曾经看到一个有意思的心理测试 :用“正确的方法” 、 “错误的方法”和“积极的行为” 、 “消极的行为” ，来自由搭配，看如何搭配出最好和最坏的结果， “正确方法”配合“积极的行为”无疑是最好的结果，然而我们会很“惯性”想当然的认为， “错误的方法”和“消极的行为”搭配是最坏的结果，其实“错误的方法”加上“积极的行为”才是最坏的结果，这会让人在错误的路上越走越远，学习也是同理，

18、一味钻牛角尖般的生搬硬套不适合自己的方法不论多努力都只会离成功越来越远，而好的学习方法加上积极的学习态度无疑会让你如虎添翼。这是每个人都需要的，起码在学生的时候如果遇到，或者人生会少一些遗憾，我只恨我遇见的晚了点，可是现在已是终身学习的年代，错过了最恰当的时候，但只要有心又怎会嫌晚呢？本书归类为学习方法 -青年读物，是本工具书，学习手册，但不能阻止她成为经典。这本书的副标题为“增加学习技能与脑力” ，正是本书的宗旨，本书系统化地阐述了学习技能提升的各个方面，可谓事无巨细的令人发指啊。整体来讲主要包括 7 个方面，分别是学习模式，时间管理和学习技巧规划，笔记记录技巧，阅读技巧，记忆，应试技巧，拾

19、遗。全书的结构采取的是总分的形式，前三个方面是总的部分，算是增加学习技能的准备，从认识自己的学习模式开始，然后采取任何事都需要的时间管理技巧，再总体地讲一下学习技巧规划的事项。然后底下是分的部分，将学习的包含的各个方面的技巧进行分开阐述，分别有笔记记录，阅读，记忆，应试以及最后的拾遗。系统地讲述了学习的几乎所有方面。让读到她的人如果实践的话不仅能在学习上得到提高，在脑力上或者说理解力上肯定会受益匪浅。在此，说句题外话，我一直觉得日本人写书在细节上做的是无与伦比的，但是这本书让我对这个看法有了一定的动摇，因为她里面的讲述部分让我觉得美国是个应试教育的国家吗，简直比我们中国还要应试。那个考试应对细

20、节的部分放在中国，一点也没有违和感的，好吗？所以他们能出现这样的情况，从没到过日本的人能够写出描写日本人的书，然后让日本人都觉得是经典的，没有在企业里做过实务管理的德鲁克能成为管理上的大师，其理念影响了全世界不得不说，美国的教育真不是盖的。细节上，我印象比较深的是，作者开篇开始传授如何应该认识自己的学习模式，运用了一些测试题目，然后根据结果找出与自己最近似的学习模式，她把学习模式分为几种情况，分别有左脑型，右脑型，还有另外的分法，为视觉的，听觉的，动作的。我看了一下，确实有跟自己近的类型，我就是视觉的，对号入座后就可以比较直接的去扬长避短了。然后，作者说了，做任何事情，时间管理技巧都是不可缺少的，她不仅教导的是学习的技能，还有很多其他的道理，对我们人生都是有益的，我相信，如果我们的孩子从小就学习这些，将会受用终生。还有，作者提到了学习技巧规划里的家庭档案系统，将我们现在工作中的管理引进了学习中，这是一个非常好的学习习惯，如果孩子持续的做，严格地做，获得的收益将无法估量，因为，这在我们现在工作中都必须要用的管理信息的技能，实在是太可贵了，孩子将这种技能与阅读结合起来，保管好自己思维历程，可以获得持续的提高，直到最后展翅翱翔，他最可贵的是，可以系统地提升自己，从而达到书中简介里提到的那样，碰到不会的领域的时候，