2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察：最值问题综合(二)

1、2021年九年级数学中考复习专题之二次函数考察:最值问题综合（二）1. 如图，在平面直角坐标系xy中，抛物线y= - x+b-c与X轴相交于原点0和点B （4,0）,点力（3,刃）在抛物线上.（1）求抛物线的表达式，井写出它的对称轴；（2）若点P为线段01上方抛物线上的一点，过点P作X轴的垂线，交于点0,求线 段长度的最大值.(3) 求 tan Z OAB的值.（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点M使得以"为以/18为腰的等腰三角形，若不2. 如图，抛物线y= - +6x÷c的图象与X轴交于4 0两点（点力在点8的左边），与y 轴交于点G,点Q为抛物线的顶点.点力坐标的为（

2、-3, 0）,点G的坐标为（0, 3）.（I ）求抛物线的解析式；（II）点"为线段/18上一点（点不与点久8重合），过点作X轴的垂线，与直线 人C交于点E,与抛物线交于点P,过点P作P0/10交抛物线于点0,过点Q作QNlX轴 于点M若点P在点0左边，当矩形；2的周长最大时，求刊的面积；（III）在（II）的条件下，当矩形创购的周长最大时，连接Q0,过抛物线上一点F作y 轴的平行线，与直线'交于点G（点G在点F的上方）.若FG=2DQ求点F的坐标.3. 如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y=axbc (a0)经过力(1, 0)、B (3,0)、C (0, 3)三点，连接并

3、延长(1) 求抛物线的解析式；(2) 点“是直线在第一象限部分上的一个动点，过“作MN/y轴交抛物线于点M1°求线段例的最大值；2°当例取最大值时，在线段例右侧的抛物线上有一个动点P,连接PMS PN, 沁PMN 的外接圆圆心0在A的边上时，求点P的坐标.图图)4. 已知抛物线y=-bx÷-c （b, C为常数，b>Q）经过点/1 （-1, 0）,点 S, 0）是X 轴正半轴上的动点.（1）当b=2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点、D （b, %）在抛物线上，当AM=ADi心3时，求6的值；（3）点0（嗨，）在抛物线上，当的最小值为里泸时，求b的值.（说 明

4、：表示Q点的纵坐标，力表示O点的纵坐标）5. 如图甲，直线y=-x÷-3与”轴、y轴分别交于点8、点G经过久C两点的抛物线y=X +6÷c与X轴的另一个交点为Ai顶点为P.（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以C、P、为顶点的三角形为等腰三角形？ 若存在，请求岀所符合条件的点"的坐标；着不存在，请说明理由；（3）当0VxV3时，在抛物线上求一点F,使ACBF的面积有最大值（图乙、丙供画图 探究），求岀F点的坐标.6. 如图所示，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，且A408是等腰直角三角形，AOB=90° ,点 A （2,

5、1）.（1）求点8的坐标；（2）求经过久0、8三点的抛物线的函数表达式；（3）在（2）所求的抛物线上，是否存在一点P,使四边形S8QP的面积最大？若存在,7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点/1坐标为（2, 4）,直线X= 2与"轴相交于点8, 连结,抛物线尸，从点。沿方向平移，与直线X= 2交于点P,顶点“到/1点时停 止移动.（1）求线段所在直线的函数解析式；（2）设抛物线顶点"的横坐标为刃. 用含的代数式表示点P的坐标； 当为何值时，线段PB最短；（3）当线段储最短时，平移后的抛物线上是否存在点0,使Sz=2S”,若存在，请 求出点0的坐标；若不存在，请说明理由.8

6、已知抛物线y=abc （a0）过点S （1,0）, B （3, 0）两点，与卩轴交于点G OC（1）求抛物线的解析式及顶点。的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当面积最大时,求点P的坐标；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AOC是否存在最小值？若存在，求岀这个 最小值；若不存在，请说明理由9. 抛物线y=ax+bx- 5的图象与"轴交于AS B两点，与y轴交于点C、其中点/4坐标为（-1, 0）,次函数y=A÷的图象经过点0、C.（1）试求二次函数及一次函数的解析式；（2）如图1,点Q （2, 0）为X轴上一点，P为抛物线上的动点，过点P、D作直线P

7、D交线段阳于点0,连接PG DC,若氐跑=3氐购，求点Q的坐标；（3）如图2,点F为抛物线位于直线BC下方图象上的一个动点，过点F作直线EG±X2轴于点G交直线BC于点F,当昭专CF的值最大时，求点F的坐标10. 如图，二次函数y=+Z>c的图象交X轴于点>4（-3, 0） , 3（1, 0）,交F轴于点C.点P（/77, 0）是X轴上的一动点，刖丄X轴，交直线SC于点"，交抛物线于点M（1）求这个二次函数的表达式；（2）若点P仅在线段力。上运动，如图，求线段剜的最大值；若点P在”轴上运动，则在y轴上是否存在点0,使以, N、C, 0为顶点的四边形为菱形.若存在

8、，请直接写岀所有满足条件的点0的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案1 解：(D把点O (0, 0),点B (4, 0)分别代入y= - /+b"c得: C=Ok -16+4b+c=0,解得:rb=4kc=0,即抛物线的表达式为：y= - ÷4x,4它的对称轴为：X= - 2 f十厂=2;2 I-IJ(2) 把点/I (31 m)代入 y=-04"得刃=-3J4X3 = 3,则点/1的坐标为：(3, 3),由点O (0, 0) , A (3, 3)得直线01的解析式为：y=x9设点 P (p, - p2+4p) J 则点 Q (p, P),294'PQ=

9、yp- Yq= - p2+4p- p= - p2÷3p= - (Q-专)S 当P= 时，的值最大，最大值为学；24：.AE=3, OE=3、交于点2过点1作AEr OB9交08于点F,：心OE为等腰直角三角形，Z初F=45° , 4=2=32, 在等腰RtABOD中，Off=A9：.OD=BD=2 42,：.AD=OA-OD=322=2,.tanZ fl45= -=2；1D(4) 存在，设点 N 12, a),若 AB=ANy.点力(3, 3) , B点(4, 0),点"(2, R , (3-4)2+(3-0) 2= (3-2)2+(3-a)日I=O, a2=6,

10、当7=6时，点P,点力，点8共线，日2=6不合题意舍去，点“坐标为（2, 0）若 AB=BN,点力（3, 3） , B点（4, 0）,点 Na R , "(3一4) '+(S一O) '=(4一2) '+O一a)'3 =V6> G= _ V点"坐标为(2, 6)或(2, -6),综上所述：点Na 6)或(2, -或(2, 0)2.解:（I ）依题意-(-3 ) +b × (-3)+c=0, C=3.解得b=-2, lc=3.抛物线的解析式y=- 2a÷3 J(Il ) /=-,-2丹3=- (÷1) 2+4,

11、抛物线的对称轴是直线X=-1,设 M (x, O) , Pg -2÷3),其中-3<x<-1,V。关于直线x=-1对称,设0的横坐标为a1则日-（-1） =一1-. a= - 2 - X,. 0 ( - 2 - ”，-X- 2x÷3),：.MP=-X-23. PQ=_2_ x_ x=_2_2x、周长 d=2 (-2-2"-,-2÷3) =-2,-8÷2=-2 (a÷2) 2÷10,当X=-2时，取最大值，此时，4/(-2, 0),.AAf=-2- (-3) =II设直线力C的解析式为y=kZ-3k+b=0b=3解

12、得k=l设直线SC的解析式为y=÷31将 X= -2 代入 y=÷3,得 F=1,F (-2, 1),.EM=, amhe=×ixi=;(III)由(II)知，当矩形脇VQ的周长最大时，X= _2,此时点0 (0, 3),与点O重合，OQ=3、Vy= - -2÷3= - (÷1) 2+4,：.D (-1,4),如图，过。作DKLy轴于则 ZW=1, OK=4、：QK=OK-OQ=4-3 = H ：£DKQ是等腰直角三角形, %= FG=22DQ=4,设 F （/77, 一卅-2耐3） $ 则 G （/77,时3）,FG= m3 一（-

13、/?/- 2"3） =+37,.*./7+3/77= 4,解得 g= -4, ½ = 1,当 /77= - 4 时，-d - 27t*3= - 51 当/77=1 时，-分-2卅3=0,点 F(-4, -5)或(1, 0)3. 解： 把久B、G三点的坐标代入抛物线y=d+b"c (50)中，得a+b+c=O< 9a+3b+c=0fuc=3'a=l解得,< b=-4,C二3抛物线的解析式为：y=-4÷3;(2) 1°设直线的解析式为y=mn (O),则3n÷n=0'EL=S解得，IrF-In=3直线的解析式为

14、：卩=-丹3,设 M (t, - t÷3)(0<t<3),则 Ng t2-4Z÷3),=-t2÷3t=- (tf)2 专，QO当f=时，剜的值最大，其最大值为子；242MN的外接圆圆心0在的边上，:'PMN为直角三角形，QOOO由*知，当側取最大值时，"(77，77), N (),2224 当PMN=W 时，P“X轴，则P点与"点的纵坐标相等, P点的纵坐标为,当 y=-时，y=-43 = -, 解得，X=M俘，或X= 士礬<(舍去)， P (呼亘 .P(2，2儿 当ZzW=90°时，PN"轴，则P

15、点与必点的纵坐标相等， P点的纵坐标为-普，当 y= - -Y时，y=x2 - 4a+3= - -,44解得，=-,或 X=-I-(舍去)， P ( -J-). 当AMPN=W 时，则例为的外接圆的直径，：£PfAN的外接圆的圆心0为剜的中点，0 (, |),半径为敖嗨，过0作QK/X轴，与在剜右边的抛物线图象交于点人如图,图QQ令 y=g,得 y=2-4÷3=,才，即K点在以剜为直径的0外,Q设抛物线=-4a÷3的顶点为点厶则/ (2, -1),连接比 如图，贝IJ厶到的距离为各十1=OO设0点到"的距离为几则*QK 卑#LKh,IIrIK lky2&

16、#247;22.,8 S '422209+209×221 ”、9* LK二聞=我莎1 口>目8直线厶K下方的抛物线与00没有公共点，抛物线中规部分（除"点外）在过N点与”轴平行的直线下方，抛物线中肌部分（除"点外）与00没有公共点，抛物线K点右边部分，在过（点与y轴平行的直线的右边，抛物线K点右边部分与0没有公共点，综上，00与例右边的抛物线没有交点,在线段例右侧的抛物线上不存在点Q,使AZW的外接圆圆心0在剜边上；综上，点P的坐标为（空"J, ）或（春，-4）.22244. 解： I抛物线y=-6x÷-c经过点>1 （-1

17、, 0）,.1+/H-C=O,即 C= - 6 - 1,当b=2时,y=x2-2x-3= （X-I） 2-4,抛物线的顶点坐标为（1, -4）；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y=-bx-b-iT点 D （b, yp）在抛物线 y=-bx-b- ±,:y产6 - bb- 5- 1= - 6- 1,由 b>0,得 b>>09 -L -K0,点D （b, -h-1）在第四象限，且在抛物线对称轴X=等的右侧，如图1,过点。作DEjX轴，垂足为E则点E （b, 0）,在 Rt人DE中，ZADE=ZDAE=A5° ,由已知 AM=AD, /77=3,.3- （ -

18、 1 ） =a2（"1）9,=22-1;（3）点 0（快寺，y0）在抛物线 y=-b-b- ±,比=（快*）2“ 伽寺）=可知点Q （ZH-, - 在第四象限，且在直线x=b的右侧,224v6l>2323 （半彳倂GO ,可取点 V（0, 1）,AM=GAf,由 ZGAM= 45° ,得则此时点满足题意,22过点0作QHkX轴于点/,则点H(T, 0),在R仏MQH中，可处乙QMH=乙MQH=A5° ,：.OH=MH, QM= 27/,T点M (叫0) 9*.0 - (- - -7)= (决£) 一刃，242解得,刃=等- *， .623

19、, .6(务-寺)-(-D b232t (快寺)-(务-寺)=翌 :b=b.5. 解：（1） 直线y=-x*-3与”轴、F轴分别交于点8、点G：.B (3, 0) , C (0, 3),c=30=9+3b+c解得rb=-4抛物线解析式为y=-4÷3；(2) Vy=-4x÷3= (-2) 2-1,对称轴为直线x=2,顶点坐标为P (2, -1), CP= 7(2-0)2+(-l-3)2=25.设点"的坐标为(2, /77),则 PAf=t4+(ir-3)若 Cp=PM=2 翻、则 "11 =2Z5,.*77= 1 ±2",.点"

20、;(2, - 1 - 25)或(2, -1+25);若 CP=CM=2 品则 4+(-3)2=25," /77=7,.点"(2, 7)；若PM=CM9如图，过点C作CH丄PM于/,q X 甲.CH=29 PH=A9 c4hM=c.4+hM= (4-HAf) 2,:HM=冬 点"（乙寻）满足条件的点分别为必（2, 7） , M2 （2, -1+2g）,航（2,寻），必（2, -25 -D ；（4）当OVXV3时，在此抛物线上任取一点F,连接CF、BE、过点F作X轴的垂线亦 交直线于点F、设点 Fg -÷3),则点 Eg -4a÷3),：.EF=

21、- ÷3x,当X=-时，S宓有最大值,.3此时，F=X2 - 4÷3=-6. 解：(1)如图1,过刖乍ACrX轴于点Q过8作少丄"轴于点0C X图1v/l (2, 1),.AC=. OC=BD,MAOB为等腰直角三角形，/.AO=BO9- AOB=W ,:乙 AOC+ 乙 DoB=ZDo陕乙 OBD=9$ ,：.ZAOC=ZOBDi在/1C0和ZkO加中,ZAO C=Z OBD< ZACo=Z ODB,AO=BCl：、ACgHODBIAAa ,：.OD=AC=, BD=OC=2、：.B (-1, 2)；(2) T抛物线过0点，可设抛物线解析式为y=+b,T抛

22、物线的图象经过点点氏.rl=4a+2b “ 2=a-b,解得：经过4 B、0原点的抛物线解析式为y=-6 6（3）存在，理由如下：四边形可知点P在线段4的下方，过P作PE/y轴交初于点E如图2,图2设直线力0解析式为y=kx,剧（2, 1）,直线力0解析式为y=-,R 71设P点坐标为（匕訂2-尹），则Eg ,1R. SoP= E× 2 = PE- - (t-1) 2 七三、M 266由A (2s 1)可求得OA=OB=岳当十=1时，四边形S仇沪的面积最大，此时P点坐标为（1, -,综上可知存在使四边形/1仇沪的面积最大的点P,其坐标为(1, -寺).7. 解：(1)设所在直线的函数

23、解析式为y=2x,TS (2, 4),.2A=4=>A=2,OA所在直线的函数解析式为y=2x；(2) Y顶点的横坐标为必 且在线段上移动，：y=2m (O772),顶点的坐标为5, 2/77),抛物线函数解析式为F= (x-m) 2+2/77,.当 x=2 时，y= (2-/77)2+2tf= - 2+-4 (02),点 P的坐标为(2, /TZ2 - 2r÷-4) J.PB = -2zM = (/77- 1) 2+3,. (/77-1) 2+33,当且仅当z=1时取得最小值，当心1时，线段PB最短；(3) 由(2)可得当线段储最短时，此时点"坐标为(1, 2) J

24、抛物线解析式为F= (X-1) 2+2 = -2+3,假设抛物线上存在点0使SQM=2Spiu,设点0坐标为(日，孑-2M3), PMA×1×1要想符合题意，故SAfiw=1 ,. = iu=5,设点0到线段你的距离为h9 U=x5×h = -× Ia2-4-3 =1,即|孑-4"3=2, 即/-4尹3 = 2或-2,解得 =2+Jc 2 - 3,点 0坐标为(2÷3, 6÷23)或(2-3, 6-23)8. 解：(1)函数的表达式为：F=日(X-I) (-3) =a (-4x÷3),即：3a=3,解得：a= 1,

25、故抛物线的表达式为：y=-43,则顶点Q(2, -1).(2)将点从C的坐标代入一次函数表达式：F=ZTZXS并解得:直线的表达式为：卩=-対3,-a÷3),则 SPBC=PH× OB=(-+3-+4x-3) =I- ( - +3x),QQ-刁VO,故S咖有最大值，此时X=話 故点 P (, - -J-).(3)存在，理由：如上图，过点C作与y轴夹角为30°的直线餐Q4CH、垂足为/, 则HQ=暮CQ,A(hOC 最小值=AIHQ=AH,直线胎所在表达式中的斤值为灵，直线的表达式为：y=33, 则直线力所在表达式中的斤值为-弓，则直线M的表达式为:y=-曹Es,将

26、点力的坐标代入y=-曹卅S并解得：S= 手, 则直线M的表达式为：y=-甞対琴， 联立井解得：X=上护，4故点/(上学3,4则毎竺E2誓)，而点0),即：初評的最小值为乎.9. 解：(1) Y抛物线/=,+&-5的图象与F轴交于点G：.C (0, -5), 一次函数y=x÷A的图象经过点B、G,：.k= - 5,：.B (51 0),设抛物线的解析式为y=a (a÷1) (x-5) = ax -Aax- 5a,. -5日=-5,a= 19二次函数的解析式为y=-45, 次函数的解析式为y=x-5.(2)当点P在直线BC的上方时，如图2-1中，作DH/BC交F轴于&q

27、uot;，过点作直线"交F轴于人交于人 作PT/BC交抛物线于P,直线交抛物线于0：.PD=ZDO,9 PT/DH/BCy PD = DT = TH = DQ 一 DK 一 HC 一VP (2, O) , B (5, O) , C ( -5, O),：OA=OB=5、OD=OH=2、. HC=3、%=9, OT=I.直线/V的解析式为F=丹7,y=÷7由 2IUy=X _4龙_5,解得V19÷77X- 2= 19÷ y 2-)或(爭或"19-/73 , 2当点P在直线的下方时，如图2-2中,当点P与抛物线的顶点（2, -9）重合时，PD=9.