考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)知识方法篇专题4三角函数与平面向量第17练Word版含答案(精编版)

1、高效复习第 17 练三角函数的化简与求值 题型分析 ·高考展望 三角函数的化简与求值在高考中频繁出现，重点考查运算求解能力. 运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，属于比较简单的题目，这就要求在解决此类题目时不能丢分，由于三角函数部分公式比较多，要熟练记忆、掌握并能灵活运用.体验高考1.(2015课·标全国 )sin 20co°s 10°cos 160s°in 10等°于 ()3311a.2b. 2c.2d.2答案d解析sin 20c°os 10 ° cos 160 °sin

2、10°sin 203c°os 10 ° cos 20 °sin 10°sin 30 °1.22.(2015重·庆 )若 tan 2tan5，则cos 10sin 5等于 ()a.1b.2c.3d.4答案c33cos 10解析sin210sin 5sin 5tan 1sin 5sincos 5cos sin5tan5 2 1 3.tan 2 1sin 5sincos 5cos sin5 1tan53.(2016课·标全国甲 )若 cos 43，则 sin 2等于 () 5a. 7 25b.15c. 15d. 725答

3、案d2 4解析因为 sin 2 cos 2 2 2cos 1，3又因为 cos4 5，所 以 sin 22× 9 1 7 ，2525故选 d.324.(2016 课·标全国丙 )若 tan ，则 cos2sin 2等于 ()6448416a. 25b.25c.1d.25答案a解析tan3 4，2则 cos2 2sin 2 cos 4sin cos 1 4tan 64.cos2 sin2 1 tan222255.(2016四· 川 )cos sin 88 .答案22解析由题可知， cos2sin228428 cos .高考必会题型题型一利用同角三角函数基本关系式化简

4、与求值基本公式： sin2 cos2sin 1； tan cos.基本方法： (1)弦切互化； (2)“ 1”的代换，即1 sin2cos2；(3) 在进行开方运算时，注意判断符号 .例 1已知 tan 2，求：4sin 2cos (1) 5sin 3cos2的值； 2(2)3sin 3sin cos 2cos的值 .解(1) 方法一tan 2， cos 0，4sin 2cos 4sin 2cos coscos 4tan 24× 226.5sin 3cos 5sin cos3cos cos 5tan 35× 2313方法二由 tan 2，得 sin 2cos ，代入得4si

5、n 2cos 4×2cos 2cos 6cos 65sin 3cos 5×2cos 3cos 13cos.13(2) 3sin 2 3sin cos 2cos23sin 2 3sin cos 2cos23tan2 3tan 2sin2 cos2tan213× 22 3× 2 222 116.5点评本题 (1)(2) 两小题的共同点：都是正弦、余弦的齐次多项式.对于这样的多项式一定可 以化成切函数，分式可以分子分母同除“ cos ” 的最高次幂，整式可以看成分母为“ 1” ，代换 “然后用 sin2 cos21” ，变成分式后再化简.3变式训练1已知 si

6、n(3 ) 2sin2 ，求下列各式的值：sin 4cos (1) 5sin 2cos；(2) sin 2sin 2.解由已知得 sin 2cos .2cos 4cos (1) 原式 1.5× 2cos 2cos 6222sin 2sin cos sin sin 8(2) 原式sin2 cos2212 5.sin题型二利用诱导公式化简与求值 4sin 1. 六组诱导公式分两大类，一类是同名变换，即“函数名不变，符号看象限”；一类是异名变换，即“函数名称变，符号看象限”.2. 诱导公式化简的基本原则：负化正，大化小，化到锐角为最好！例 2(1) 设 f()2sin cos cos si

7、n 1， 则 f 23 .232 261 sin cos2 sin2 2sin cos 22sin cos (2) 化简：cos .sin 答案(1)3(2)0解析(1) f() 2sin cos cos 1 sin2 sin cos22sin cos cos 2cos 1 2sin 12sin sin sin 1 2sin tan，f 23111623tan 3.6tan 4 6tan6cos sin (2) 原式cos sin sin sin sin sin 0.点评熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键.另外，切化弦是常用的规律技巧.变式训练2(1)(201

8、6 ·课标全国乙 )已知 是第四象限角，且sin 4 ， 则35tan 4 .(2) 已知 cos 6 a(|a | 1)，则 cos6 sin523 .答案(1) 43(2)0解析(1)将 4转化为 (4) 2.由题意知sin( 345) ，是第四象限角，所以 cos( 4) 0，所以 cos( 4)1 sin 4 5.24tan(4) tan() tan422 (4)sin 24cos 44cos2 4sin 543543.(2)cos56 cos 6 cos 6 a.sin23 sin 2 cos a，66cos6 sin3 0.52题型三利用其他公式、代换等化简求值两角和与差

9、的三角函数的规律有三个方面：(1) 变角，目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名，通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等.(3) 变式，根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.例 3化简：(1) sin 50(1°3tan 10)°；22cos4x 2cos2x 1(2) 2.2tan4 x sinx 4解(1)sin 50 (1°3tan 10 °)sin 50 °

10、;(1 tan 60 °tan 10 °)sin 50cos 60 c°os 10°sin 60 s°in 10°°·cos 60c°os 10 °sin 50cos 60° 10°2sin 50 c°os 50 °°°·cos 60 c°os 10cos 10 °sin 100°cos 10 °cos 10°cos 10 1.°22cos2x cos2x 1 1(2

11、) 原式2 2tanx cos x44 4cos2xsin2x11sin22x4cos4 x sin4 x2sin22xcos22x12cos 2x 2cos 2x.点评(1)二倍角公式是三角变换的主要公式，应熟记、巧用，会变形应用.(2) 重视三角函数的“ 三变” ： “三变 ” 是指“ 变角、变名、变式”.变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求 (或所证明 )问题的整体形式中的差异，再选择适当的公式恒等变形.变式训练3(1) 在 abc 中，

12、已知三个内角a，b，c 成等差数列，则tan a tan c3tana2 tan22c的值为 . 22cos 10 °sin 20°(2)1a. 2b.sin 70°的值是 ()32c.3d.2(3) 若 2，且 3cos 2sin4，则 sin 2的值为 ()111717a. 18b. 18c.18d. 18答案(1)3(2)c(3)d解析(1)因为三个内角a，b，c 成等差数列， 且 ab c ，所以 ac 2a ctan a c3，2所以 tan a tan c3tan atan c3 ，2 3，2tan a c2a1 tan22c 3tan actan22

13、222 tan 23 1tan atan c3tan ac3.222tan 2(2) 原式2cos 30° 20° sin 20°sin 70°2 cos 30·°cos 20°sin 30·s°in 20°sin 20°3cos 20°sin 70°cos 203.°(3) cos 2 sin 2 sin 2 24 2sin 4代入原式，cos 4得 6sin4 cos 4 sin ，4， ， sin( )0，24cos 14 6，2 17sin 2 c

14、os 2 2 2cos4 1 18.高考题型精练1.(2015 陕·西 )“ sin cos ”是“ cos 2 0”的 ()a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c.充分必要条件d. 既不充分也不必要条件答案a解析 sin cos ? cos 2 cos2sin2 0；cos 20? cos ±sin ? sin cos ，故选 a.12.(2016课·标全国丙 )若 tan ，则 cos 2等于 () 34114a. 5b. 5c.5d. 5答案d解析tan221cos 2 cos2 sin2 cos sin 21tan 4 3，则cos22 2 5.1 s

15、in 2sin2 sin 21tan 3.若 tan 4 2，且 2 0，则cos 4等于 ()a.25 5答案ab.35 10c.35 10d.25 5解析由 tan tan 11tan 134 1 tan 2，得.10又 0，所以 sin 210 .2sin 2 sin 22sin sin cos 25故cos 42 sin cos 222sin 5.4. 已知 f(x)sin 2 x ，若 a f(lg 5) ， b f(lg1，则 ()4) 5a. a b0b. ab 0c.a b1d. a b 1答案c1 cos 2lg 5 4)解析a f(lg 5) sin 2(lg 5 21 s

16、in 2lg 522，1 cos 2lg 1 b f(lg1)sin 52(lg1 )54521 sin 2lg 522，则可得 ab 1.34375. 已知 sin sin 5 ， 则 sin 6的值是 ()232344a.5b. 5c.5d. 5答案d43433343解析sin sin ? sincos cossin sin ?sin cos 3533?3sin 1cos 4，5225225故 sin 7sin 7 cos 7314.6cos 6 sin 6 2 sin 2cos 56.若(4tan 1)(14tan )17，则 tan( )等于 ()a. 14b.12c.4d.12答案c

17、解析由已知得4tan 16tan tan 14tan 17，tan tan 4(1 tan tan )，tan( ) tan tan 4.1tan tan 7.(2015江·苏 )已知 tan 2， tan( )1，则 tan 的值为 .7答案3解析 tan 2，tan tan 2 tan 17tan( )1tan tan1 2tan ，解得 tan 3.8. 设当 x 时，函数f(x) sin x 2cos x 取得最大值，则cos .答案 255sin x解析f(x)sin x 2cos x555255cos x 5sin(x )，其中 sin 255当 x 2k cos 5，5

18、2(k z) 时，函数f(x)取到最大值，即 2kf(x)取到最大值，2 时，函数.所以 cos sin 255sin 0224 19. 已知 答案268，2 ， 且 2sin sin ·cos 3cos 0，则 sin 2 cos 2 .解析 0， ，且 2sin2 sin ·cos 3cos20，2(2sin 3cos )(sin cos ) 0，2sin 3cos ，又 sin22 cos 1，cos 213， sin 3，134sin 2 sin cos 262sin 2 cos 2 1sin cos2 cos2 sin28.10.(2015四·川 )已知

19、 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2的值是 .答案 1解析 sin 2cos 0，sin 2cos ，tan 2.2sin cos cos2 2tan 12又 2sin cos cos221原式 2× 2 1 1. 2sin2 cos tan2 1 ，11.(2015 广·东 )已知 tan 2.(1) 求 tan 4 的值；(2) 求2sin 2 的值.sin sin cos cos 2 1tan tan 解(1)tan 4441 tan tan tan 11 tan 2 11 2 3.sin 2(2) sin2 sin cos cos 2 122sin

20、 cos 2sin sin cos 2cos 1 122sin cos 2sin sin cos 2cos 2 2tan tan tan 22× 22 2 2 2 1.12.已知函数f(x) cos2x sin xcos x， x r.6(1) 求 f 的值；(2) 若 sin 3，且 5， ，求 f 22 24 .解(1) f 6cos2 6sincos663 2212×3332 4.(2) 因为 f(x) cos x sin xcos x21 cos 2x221sin 2x1 1(sin 2x cos 2x)221222sin 2x，4所以 f 1222422sin 1

21、241222sin 312222 1sin 2 cos .3又因为 sin 3，且 52， ，所以 cos 45，所以 f 12242 13222525× 3× 4 10 32 4206.合理分配高考数学答题时间找准目标，惜时高效合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习， 对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心，我们把这称为战术上的纯熟。临近高考，在短短不到50 天的时间里，怎样让成绩再上一个台阶？ 靠战术上的硬拼俨然很快就会碰到瓶颈，此刻， 同学们更需要的是战略上的调整，在实力一定的情况，科学地分配答题时间，是做一个成功的应试者必备的战略技巧。“我们每次考试的时候都做不完，尤其后面的两道大题都没有时间看。”常常听到同学们痛苦地抱怨。高考，作为一场选拔性考试，它必然存在一定的难度梯度。就我省的高 考数学卷而言，可以按“16/3/3原则” 将其分为三大部分，即客观题（16 道）、简易解答题（解答题前3 题）与压轴题（解答题后3 题）。学会合理分配这三个部分的答题时间，可以让考生以从容不迫的心态面对考试，亦可从最优化的角度帮助考生挣分。一般而言，我们建议用 40 分钟左右的时间解决前面的客观题（选择填空题） ，再用剩下的时间应对解答题。但