高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：7.7立体几何中的向量方法word版含答案(精编版)

1、第七节立体几何中的向量方法空间角(1) 空间角的定义(2) 掌握线线角、线面角、面面角的求法知识点一直线的方向向量与平面的法向量1. 直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合， 则称此向量a 为直线 l 的方向向量2. 平面的法向量：直线 l ，取直线 l 的方向向量a，则向量a 叫作平面的法向量 易误提醒(1)通常取直线上的两个特殊点构成直线的方向向量；当直线平行于x 轴，y 轴或 z 轴时，直线的方向向量可分别取i (1,0,0) ， j (0,1,0) ，k (0,0,1) (2)求平面的法向量时，建立的方程组有无数组解，利用赋值法，只要给x，y，z 中

2、的一个变量赋一特殊值(常赋值 1,0,1) ，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但n (0,0,0) 不能作为法向量必备方法平面的法向量求法步骤：(1) 设平面的法向量为n (x， y， z)(2) 找出 (求出 )平面内的两个不共线的向量的坐标a (a1， b1， c1)， b (a2， b2， c2)；n·a 0，(3) 根据法向量的定义建立关于x， y， z 的方程组n·b 0；(4) 解方程组，取其中的一组解，即得法向量 自测练习 1若直线 l平面 ，直线 l 的方向向量为s、平面 的法向量为n，则下列结论正确的是()a s ( 1,0,2)， n (1

3、,0， 1)bs ( 1,0,1)， n(1,2， 1)cs ( 1,1,1)， n(1,2， 1)d s ( 1,1,1)， n ( 2,2,2)解析：直线与平面平行， 直线的方向向量和平面的法向量垂直，经检验只有选项c 中 s·n0，故选 c.答案： c2设 u ( 2,2，t)， v (6， 4,4)分别是平面， 的法向量若 ，则 t() a 3b 4c5d 6解析： ，则 u·v 2× 6 2× ( 4) 4t 0， t 5.答案： c知识点二利用空间向量求空间角1. 求两条异面直线所成的角设 a，b 分别是两异面直线l 1， l2 的方向向量，

4、则l 1 与 l 2 所成的角a 与 b 的夹角a， b范围0< 2|a·b|0<a， b<a·b关系cos |cosa，b| |a|b|cosa， b |a|b|2. 求直线与平面所成的角设直线 l 的方向向量为a，平面 的法向量为n，直线 l 与平面 所成的角为， 则 sin .|cosa， n| |a·n|a|n|3. 求二面角的大小(1) 若 ab、cd 分别是二面角 l的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量ab与cd 的夹角 (如图 a)(2) 设 n1， n2 分别是二面角 l 的两个半平面， 的法向量，则向量n1

5、与 n2 的夹角( 或其补角 )的大小就是二面角的大小(如图 b、c)2易误提醒(1)空间向量的夹角与所求角的范围不一定相同，如两向量的夹角范围是0 ， ，两异面直线所成的角的范围是0， .(2) 用平面的法向量求二面角时，二面角的大小与两平面法向量的夹角有相等和互补两种情况 自测练习 3已知两平面的法向量分别为m (0,1,0) ，n (0,1,1)，则两平面所成的二面角为()a 45°c45°或 135 °b 135 °d 90°解析：m， n m·n 12m， n 45°，其补角为135°.|m|n|1

6、83; 22 ，即两平面所成二面角为45°或 135°.答案： c4. 若平面 的一个法向量为n (4,1,1)，直线 l 的一个方向向量为a ( 2， 3,3)，则l 与 所成角的正弦值为 解析： 设 l 与 所成角为，则 sin n， a |n·a| 8 3 3|n|a|16 1 1×49 941133.答案： 41133考点一异面直线所成角|(2015 ·云南模拟 )如图，在正方体abcd -a1b1c1d 1 中， e 为 ab 的中点(1) 求直线 ad 和直线 b1c 所成角的大小；(2) 求证：平面eb1 d平面 b1cd .解不

7、妨设正方体的棱长为2 个单位长度， 以 da ，dc ，dd 1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系d -xyz.根据已知得： d(0,0,0) ，a(2,0,0) ，b(2,2,0) ，c(0,2,0) ，b1 (2,2,2)(1) (2,0,0) (2,0,2) ， cos da ·cb1da，cb1da ，cb 12.2|da |cb1|直线 ad 和直线 b c 所成角为 1.4(2)证明：取b1d 的中点 f，得 f(1,1,1) ，连接 ef. e 为 ab 的中点， e(2,1,0) ，ef ( 1,0,1) ，dc (0,2,0) ， ef

8、·dc 0， ef·cb10， ef dc ，ef cb1. dc cb 1 c， ef平面 b1cd .又 ef? 平面 eb1 d，平面 eb 1d平面 b1cd .注意向量的夹角与异面直线所成角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角1. 直三棱柱abc-a1b1 c1 中， bca 90°， m，n 分别是 a1b1，a1c1 的中点， bc cacc 1，则 bm 与 an 所成角的余弦值为()a. 1 10c. 30 10b.25d. 2 2解析： 建立如图所

9、示的空间直角坐标系c- xyz，设 bc2，则 b(0,2,0)， a(2,0,0) ， m (1,1,2) ，n(1,0,2) ，所以bm (1， 1,2)， ( 1,0,2)，故 bm 与 an 所成角 的余弦值cos |bm ·an| an330.|bm | ·|an|6×510答案： c考点二直线与平面所成角|(2015 ·高考全国卷)如图， 长方体 abcd -a1b1c1d1 中，ab 16， bc 10，aa1 8，点 e， f 分别在 a1 b1， d1c1 上， a1ed1f 4，过点 e， f 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个

10、正方形(1) 在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求直线 af 与平面 所成角的正弦值解(1)交线围成的正方形ehgf 如图(2) 作 em ab，垂足为 m，则 am a1e 4， em aa 1 8.因为 ehgf 为正方形，所以ehef bc 10.于是 mh eh 2em 2 6，所以 ah 10.以 d 为坐标原点，da 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系d -xyz，则 a(10,0,0) ， h(10,10,0) ，e(10,4,8) ， f(0,4,8) ， fe (10,0,0) ， he (0， 6,8)设 n(x，y， z)是平面 ehgf

11、 的法向量，fen· 0，则hen· 0，10x 0，即6y 8z 0，所以可取 n (0,4,3) 又af ( 10,4,8)，故 |cosn，af | |n·af | 45.15|n|af|.所以 af 与平面 ehgf 所成角的正弦值为4515利用向量法求线面角的方法(1) 分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角 )；(2) 通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角2. 如图，四棱锥p-abcd 中，底面abcd 是直角梯形，dab 90

12、6;，ad bc，ad 侧面 pab， pab 是等边三角形， da2ab 2， bc 1ad， e 是线段 ab 的中点(1) 求证： pe cd ；(2) 求 pc 与平面 pde 所成角的正弦值解： (1)证明：因为ad 侧面 pab， pe? 平面 pab，所以 ad pe. 又因为 pab 是等边三角形，e 是线段 ab 的中点，所以pe ab. 因为 ad ab a，所以 pe 平面 abcd . 而 cd ? 平面 abcd ， 所以 pe cd .(2) 以e 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系e-xyz.则 e(0,0,0)， c(1， 1,0)， d(2,1,0) ， p

13、(0,0，3) (2,1,0) ， (0,0，3)， (1， 1，3)edeppc设 n(x，y， z)为平面 pde 的法向量edn· 0，由epn· 0，2x y 0，即3z 0，令 x 1，可得 n (1， 2,0)设 pc 与平面 pde 所成的角为，则sin |cospc， n| |pc·n|3.|pc|n|5所以 pc 与平面 pde 所成角的正弦值为3.5考点三二面角 |(2015 ·高考北京卷 )如图， 在四棱锥a-efcb 中， aef为等边三角形， 平面 aef平面 efcb，ef bc，bc 4，ef 2a，ebc fcb 60&#

14、176;， o 为 ef 的中点(1) 求证： aobe；(2) 求二面角f-ae-b 的余弦值；(3) 若 be平面 aoc，求 a 的值解(1)证明：因为aef 是等边三角形，o 为 ef 的中点， 所以 ao ef.又因为平面aef平面 efcb ， ao? 平面 aef，所以 ao 平面 efcb .所以 ao be.(2)取 bc 中点 g，连接 og. 由题设知 efcb 是等腰梯形， 所以 og ef.由(1)知 ao平面 efcb ， 又 og? 平面 efcb ，所以 oa og.如图建立空间直角坐标系oxyz，则 e(a,0,0)， a(0,0，3a)，b(2，3(2 a)

15、 ，0)， ( a,0，ea3a) ，be ( a 2，3(a 2)，设平面 aeb 的法向量为n( x， y， z)，则 0，n·ea 0，n·be ax3az 0，即a 2 x3 a 2 y0.令 z 1，则 x3， y 1.于是 n (3， 1,1) 平面 aef 的法向量为p (0,1,0) 所以 cosn， p n·p |n|p|55 .由题知二面角f ae b 为钝角，所以它的余弦值为55 .(3)因为 be平面因为 be (a 2，aoc，所以 be oc，即 · 0.be oc3( a 2)， 0)， oc ( 2，3(2 a)， 0)

16、，所以 be·oc 2(a2) 3(a 2)2.由 ·be oc 0 及 0<a<2 ，解得 a 34.0)3(2015 ·高考安徽卷 )如图所示，在多面体a1b1d1dcba 中，四边形aa1b1b，add 1a1，abcd 均为正方形， e 为 b1d 1 的中点，过a1， d， e 的平面交 cd 1 于 f.(1) 证明： ef b1c；(2) 求二面角e a1 d b1 的余弦值解：(1)证明：由正方形的性质可知a1b1 abdc ，且 a1b1ab dc ，所以四边形a1b1cd 为平行四边形， 从而 b1ca1d ， 又 a1d? 面 a

17、1de， b1c?面 a1de ，于是b1c面 a1de .又 b1c? 面 b1cd 1，面 a1de 面 b1 cd 1ef，所以 ef b1c.(2)因为四边形aa1b1b，add 1a1， abcd 均为正方形，所ab以 aa1ab，aa 1 ad ，abad 且 aa1 ab ad，以 a 为原点，分别以 ， ， 1为 xadaa11111a1e1d轴，y 轴和 z 轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标a(0,0,0) ，b(1,0,0) ， d(0，1,0)，a1(0,0,1)，b1(1,0,1) ，d1(0,1,1) ，而 e 点为 b1 d1 的中点，所以 e

18、 点的坐标为 (0.5,0.5,1) 设面 ade 的法向量n (r，s ，t)，而该面上向量 (0.5,0.5,0) ，a (0,1， 1)，0.5r1 0.5s1 0，由 n1 a1e，n1 a1d得s1 t1 0，(1,1,1) 为其一组解， 所以可取n1 ( 1,1,1)设a1 b1面 a1b1cd 的法向量n2 (r2，s2， t2)，而该面上向量同理可得n2(0,1,1) (1,0,0) ，a1d (0,1， 1)，由此所以结合图形知二面角e a1d b1 的余弦值为|n1·n2| 26|n1| ·|n2|3×23 .24.向量法在立体几何探索性问题中

19、的应用【典例】(2016 ·绵阳诊断 )如图，在直角梯形abcd 中， adbc ， adc 90°， ae平面 abcd ， ef cd ，bc cd aeef 1ad1.2(1)求证： ce平面 abf； (2)求证： be af；(3)在直线 bc 上是否存在点m ，使二面角e-md -a 的大小为若不存在，请说明理由6？若存在， 求出 cm 的长；思维点拨 (1) 作 fg ea， ag ef， 连接 eg 交 af 于 h， 证明 bh ce. (2)证明 af 面 bge.(3)利用向量法求解解(1)证明：如图，作fg ea， ag ef ，连接 eg 交 af

20、 于 h， 连接 bh ，bg， ef cd 且 efag， ag cd ， 即点 g 在平面 abcd 内由 ae 平面 abcd 知 ae ag， 又 ag ef，ae fg， 四边形 aefg 为正方形 ， 四边形 cdag 为平行四边形， h 为 eg 的中点 ，b 为 cg 的中点 ， bh ce， ce 平面 abf.(2) 证明 ： 在平行四边形cdag 中， adc 90°， bg ag.又由 ae 平面 abcd 知 ae bg， bg 平面 aefg ， bg af.又 af eg， af 平面 bge， af be.(3) 如图 ， 以 a 为原点 ， ag 为

21、 x 轴， ad 为 y 轴，ae 为 z 轴建立空间直角坐标系a-xyz.则 a(0,0,0)， g(1,0,0) ，e(0,0,1) ， d(0,2,0) ， 设 m (1， y0,0)ed (0,2， 1)， dm (1， y 2,0)， 0设平面 emd 的法向量为n (x， y， z)edn· 2y z 0，则令 y 1， 得 z 2， x 2y0 ，dmn· x y0 2 y 0， n (2 y0,1,2) 又 ae 平面 amd ，ae (0,0,1) 为平面 amd 的一个法向量， |cos n， |2| cos 3y0 23ae1×2 y02 1

22、 46 2 ， 解得±3 ，故在 bc 上存在点m，且 cm 2332±33 .方法点评 立体几何开放性问题求解方法有以下两种：(1) 根据条件作出判断，再进一步论证(2) 假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在跟踪练习 (2016 福·州调研 )如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中， aa1ad 1， e 为 cd 的中点(1) 求证： b1e ad 1；(2) 在棱 aa1 上是否存在一点p，使得 dp 平面 b1ae？若存在， 求 ap 的长；若不存在，说明理

23、由解： (1)证明： 以 a 为原点， ， ， 的方向分别为x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图 )abadaa1，2设 ab a，则 a(0,0,0) ，d(0,1,0) ， d1(0,1,1) ， e a1， 0 ， b1(a,0,1)故ad· 1 b1ea× 0 1×1 ( 1)× 1 0，2 b1e ad1.(2)假设在棱aa1 上存在一点p(0,0， z0)1使得 dp 平面 bae，此时 (0， 1， zdp0 )又设平面 b1ae 的法向量n (x， y， z) n平面 b1ae， n1， n ，得axz 0，axab

24、ae2 y 0.2取 x 1，得平面b1ae 的一个法向量n 1， a， a要使 dp 平面 b1 ae，只要 n ，有a az0 0，dp22解得 z0 1.又 dp ?平面 b1ae ，存在点 p，满足 dp平面 bae，此时 ap 11.2a 组考点能力演练1.如图，几何体 ef-abcd 中，cdef 为边长为2 的正方形，abcd 为直角梯形， ab cd ， ad dc ， ad 2， ab 4， adf 90°.(1) 求证： ac fb；(2) 求二面角e fb c 的大小解： (1)证明：由题意得，ad dc ，ad df ，且 dc df d， ad平面 cdef

25、 ， ad fc ，四边形 cdef 为正方形，dc fc . dc ad d ， fc平面 abcd ， fc ac.又四边形abcd 为直角梯形， abcd ， ad dc ，ad 2， ab 4， ac 22， bc 22，则有 ac 2 bc2 ab2， ac bc，又 bc fcc， ac平面 fcb ， ac fb.(2)由(1) 知 ad， dc ， de 所在直线相互垂直，故以d 为原点， da ，dc ， de 所在直线分别为x， y， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，可得 d (0,0,0) ，f(0,2,2) ，b(2,4,0)，e(0,0,2) ，c(0，2,0)，

26、a(2,0,0) ， ef (0,2,0) ， fb (2,2， 2)，设平面 efb 的法向量为n( x， y， z)，efn· 0，则有n 0，2y 0，2x2y 2z 0.y 0， x y z 0，·fb令 z 1，则 n (1,0,1) ，由(1)知平面 fcb 的一个法向量为ac (2,2,0) ，2设二面角 efb c 的大小为，由图知 0， ， cos |cosn， ac |1.， 232.(2016兰·州诊断 )如图，在四棱柱abcd -a1b1c1d1 中，底面abcd 是等腰梯形， abcd ， ab 2， bc cd 1，顶点 d1 在底面

27、abcd 内的射影恰为点c.(1) 求证： ad 1 bc；3，求平面(2) 若直线dd 1 与直线 ab 所成的角为 abc1d 1 与平面 abcd 所成角 (锐角 )的余弦值解： (1)证明：连接d 1c，则 d1c平面abcd ， d1cbc .在等腰梯形abcd 中，连接ac， ab 2， bccd 1， ab cd， bc ac， bc平面 ad1c， ad1 bc.(2)法一： abcd ， d1dc 3， cd 1， d1c3.在底面 abcd 中作 cm ab ，连接 d1 m，则 d 1m ab， d 1mc 为平面 abc1d1 与平面 abcd 所成角的一个平面角121

28、在 rtdcm 中， cm 3，d c3， d1mcm 2 d1c215， cos d 1mc 525 ，即平面 abc1d 1 与平面 abcd 所成角 (锐角 )的余弦值为5.5法二：由 (1)知 ac、 bc、d1c 两两垂直，3， ab cd ， d1 dc cd 1， d1c3.在等腰梯形abcd 中， ab 2， bc cd 1， ab cd ， ac3，建立如图所示的空间直角坐标系，则 c(0,0,0) ， a(3， 0,0)， b(0,1,0) ， d1 (0,0，3)，设平面 abc1d 1 的法向量为n (x， y， z)，abn· 0，由· 0n ad

29、 1y3x 0，得z x 0，可得平面 abc 1d1 的一个法向量为n (1，3， 1) 又cd 1 (0,0，3)为平面 abcd 的一个法向量因此 coscd 1， n cd 1·n 5，5|cd 1|n|2.平面 abc1d 1 与平面 abcd 所成角 (锐角 )的余弦值为5.53. (2016 ·贵阳模拟 )如图，正方形aa1d 1d 与矩形 abcd 所在平面互相垂直，ab 2ad(1) 若点 e 为 ab 的中点，求证：bd1平面 a1de ；(2) 在线段 ab 上是否存在点e，使二面角d 1-ec-d 的大小为若不存在，请说明理由6？若存在，求出ae 的

30、长；解： (1) 证明：四边形add 1a1 为正方形，连接ad 1，a1d ad 1 f， 则 f 是 ad 1 的中点，又因为点e 为 ab 的中点，连接 ef，则 ef 为 abd 1的中位线，所以ef bd 1.又因为 bd 1?平面 a1de ， ef? 平面 a1de ，所以 bd 1平面 a1de.(2)根据题意得 dd 1 da ， dd 1 dc ， ad dc ，以 d 为坐标原点， da ，dc ， dd 1 所在直线分别为 x，y， z 轴建立空间直角坐标系 d-xyz， 则 d (0,0,0) ，d 1(0,0,1) ， c(0， 2,0)设满足条件的点 e 存在，令

31、 e(1，y0,0)(0 y0 2)，ecd c0,1 ( 1,2 y 0)， (0,2， 1)，设 n1 (x1， y1， z1) 是平面 d1ec 的法向量，n 0， x 2 y 0，1·ec则10 y1得n1 0，2y1 z1 0，·d1c令 y1 1，则平面d1 ec 的法向量为n1 (2 y0,1,2)，由题知平面dec 的一个法向量n2(0,0,1) 得由二面角 d 1-ec-d 的大小为 6cos|n1 ·n2|2 3，26|n1 | |·n2|2 y0 1 42解得 y0 2330,2 ，所以当 ae 23时，二面角d1-ec-d 的大小

32、为 36.b 组高考题型专练1(2015 ·高考全国卷)如图， 四边形 abcd 为菱形， abc120 °，e，f 是平面 abcd同一侧的两点，be平面 abcd ， df 平面 abcd ， be 2df ， ae ec.(1) 证明：平面aec平面 afc ；(2) 求直线 ae 与直线 cf 所成角的余弦值解： (1)证明：连接bd ，设 bd ac g，连接 eg， fg， ef.在菱形abcd中，不妨设gb 1.由 abc 120°，可得ag gc3.由 be平面 abcd ，ab bc，可知 ae ec.又 ae ec，所以 eg3，且 egac.

33、在 rtebg 中，可得be2，故 df 22在 rtfdg 中，可得fg6.2，可得在直角梯形bdfe 中，由 bd 2， be2， df 22ef 32.2从而 eg 2 fg 2 ef 2，所以 eg fg .又 ac fgg，可得 eg平面 afc .因为 eg ? 平面 aec ，所以平面aec平面 afc .(2)如图，以g 为坐标原点，分别以 ， gc 的方向为 x 轴， y 轴正方向， |gbgb|为单位长度，建立空间直角坐标系g-xyz.由 (1)可得a(0，3， 0)， e(1,0，2)， f 1，0，2 ，2c(0，3， 0)，所以 (1 ，3，2)， 1，3，2 .ae

34、cf2 故 cosae，cf ae·cf 33 .|ae |cf |.所以直线 ae 与直线 cf 所成角的余弦值为332. (2015 ·高考天津卷 )如图，在四棱柱abcd -a1b1 c1d 1 中，侧棱 a1a底面 abcd ，abac ，ab 1，ac aa1 2，ad cd5，且点 m 和 n 分别为 b1c 和 d1d 的中点(1)求证： mn 平面 abcd ； (2)求二面角d 1-ac -b1 的正弦值；3(3)设 e 为棱 a1b1 上的点，若直线ne 和平面 abcd 所成角的正弦值为1，求线段a1e的长解： 如图，以a 为原点建立空间直角坐标系，依

35、题意可得a(0,0,0) ， b(0,1,0) ，c(2,0,0) ， d(1， 2，0)， a1(0,0,2) ， b1(0,1,2) ，c1(2,0,2) ， d1(1， 2,2)又因为 m， n 分别为 b1c 和 d1d 的中点，得1m 1， 1 ， n(1， 2,1) 25(1)证明：依题意，可得n (0,0,1) 为平面 abcd 的一个法向量 .mn 0，由此可得 mn ·n0，又因为直线mn?平面 abcd ，所以 mn 平面 abcd .(2)ad 1 (1， 2,2)， ac (2,0,0) ， 0 .2设 n1 (x1， y1， z1) 为平面 acd1 的法向量，则· 0，n1 ad 1n1·ac 0，x1 2y1 2z1 0，即2x1 0.不妨设 z1 1，可得 n1(0,1,1) 设 n2 (x2， y2， z2) 为平面