第八金属电子论

1、Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 第八章第八章 金属电子论金属电子论 特鲁特特鲁特 洛伦兹金属电子论洛伦兹金属电子论 不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用 电子气体服从麦克斯韦电子气体服从麦克斯韦 玻尔兹曼统计分布规律，玻尔兹曼统计分布规律，对电子进行统计计算对电子进行统计计算, 得到金属的得到金属的直流电导直流电导、金属电子的、金属电子的弛豫时间弛豫时间、平均自由程平均自由程和和热容热容 平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程平衡态下电子具有确定平均速

2、度和平均自由程自由电子模型自由电子模型Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 按照经典能量均分定理，按照经典能量均分定理，N个电子的能量个电子的能量经典电子论的成就经典电子论的成就2/3BNk解释金属的特征解释金属的特征 电导、热导、温差电、电磁输运等电导、热导、温差电、电磁输运等经典电子论的困难经典电子论的困难大多数金属大多数金属量子力学对金属中电子的处理量子力学对金属中电子的处理 索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生的平均势场中运动，电子气体服从费密

3、的平均势场中运动，电子气体服从费密 狄拉克分布狄拉克分布 计算了电子的热容，解决了经典理论的困难计算了电子的热容，解决了经典理论的困难01. 0/ClassicalValExperimentVCC对热容量的贡献对热容量的贡献2/3TNkBSolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest Uni

4、versity 8-1 费密统计和电子热容量费密统计和电子热容量 一、一、 费密分布函数费密分布函数（Fermi distribution function） 二、二、 的确定的确定FE三、电子热容量三、电子热容量(electronic heat capacity) 本节思路：由费米统计分布函数出发，确定费米能级，并本节思路：由费米统计分布函数出发，确定费米能级，并由此给出低温下晶体电子的热容量。由此给出低温下晶体电子的热容量。Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 8-1 费密统计和电子热容量费密统计和电子

5、热容量 能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动近似看能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动近似看 作是独立的，具有一系列确定的本征态作是独立的，具有一系列确定的本征态 一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都 在一个能带内在一个能带内一、一、 费密分布函数费密分布函数 1、费米分布函数定义电子气体服从电子气体服从泡利不相容原理泡利不相容原理和和费米费米 狄拉克统计狄拉克统计 热平衡下时，能量为热平衡下时，能量为E的本征态被电子占据的几率的本征态被电子占据的几率11)(TkEEBFeEfSolid State PhysicsDepa

6、rtment of Physics, Northwest University 物理意义：能量为物理意义：能量为E的本征态上电子的数目的本征态上电子的数目 平均占有数平均占有数iiEfN)(11)(TkEEBFeEf 费米分布函数费米分布函数电子的总数电子的总数 对所有的本征态求和对所有的本征态求和 费米能量或化学势费米能量或化学势 体积、温度不变时，系统增加一个电子所需的自由能体积、温度不变时，系统增加一个电子所需的自由能FE即费米分布函数对所有的本征态求和，等于系统中总电子数。即费米分布函数对所有的本征态求和，等于系统中总电子数。Solid State PhysicsDepartment

7、of Physics, Northwest University ()1/2Ff E1TkEEBFe0)(Ef1TkEEBFe1)(Ef11)(TkEEBFeEf2、费米分布函数的特征、费米分布函数的特征1)0TK电子填充能量电子填充能量 几率几率FEEFBEEseveral k TFBEEseveral k T1TkB2.5Bk T Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 2)0TK11)(TkEEBFeEf费米分布函数费米分布函数FEE( )1f E FEE( )0f E 3) 在较低温度时，分布函数在在

8、较低温度时，分布函数在 处发生很大变化处发生很大变化FEE1TkB2.5Bk T Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 能量变化范围能量变化范围()1()0FFf EEf EE 温度上升，能量变化范围变宽温度上升，能量变化范围变宽任何温度下，该能量范围约为任何温度下，该能量范围约为Bk T11)(TkEEBFeEf费米分布函数费米分布函数1TkB2.5Bk T Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University Solid State

9、 PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 3、k 空间的费米面空间的费米面FEE0TK的费米面内所有状态均被电子占有的费米面内所有状态均被电子占有0TK费米能量降低，一部分电子被激发到费密面外附近费米能量降低，一部分电子被激发到费密面外附近Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University dEENdZ)(dEENEfdN)()(0)()(dEENEfN金属中总的电子数金属中总的电子数 取决于费密统计分取决于费密统计分 布函数和电子的能布函数和电子的能 态密度

10、函数态密度函数2/12/3)2(4)(EhmVEN之间状态数之间状态数EEdE之间的电子数之间的电子数EEdE二、二、 的确定的确定FESolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 0FE00( )1,( )0,FFf EEEf EEE0)()(dEENEfN21)(CEEN2/32)2(4hmVCVNn 2202/322/33()(3)282FhnEnmm金属中总的电子数金属中总的电子数自由电子的费密能级自由电子的费密能级自由电子的能态密度自由电子的能态密度00)(FEdEEN2/30)(32FECN 费米能级费

11、米能级0TK3/21/222( )4()mN EVEh1. Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University NEdNEKindEENdN)(结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量 电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两 个自旋相反的电子个自旋相反的电子 所有的电子不可能都填充在最低能量状态所有的电子不可能都填充在最低能量状态 dECEdN2/1053FKinEE003/21/200/FFEECEdECEdE

12、 电子的平均能量电子的平均能量 平均动能平均动能0TKSolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 总的电子数总的电子数0)()(dEENEfNEdEENEQ0)()(dEEfEQEQEfN)( )()()(00引入函数引入函数 能量能量E以下的量子态总数以下的量子态总数应用分部积分应用分部积分FE)( )(EQEN电子的费密能量电子的费密能量0TK能态密度能态密度2.Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University dEEfEQEQEfN

13、)( )()()(00因为因为0)(, 0EQE0)(,EfE0)()(0EQEfdEEfEQN)( )(0)( )(EQENEdEENEQ0)()(11)(TkEEBFeEfSolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 分布函数分布函数11)(TkEEBFeEf) 1)(1(11TkEETkEEBBFBFeeTkEfdEEfEQN)( )(0dEEfEQN)( )( 的偶函数的偶函数FEE 只在只在 附近有显著的值，具有附近有显著的值，具有 函数特点函数特点FEESolid State PhysicsDepart

14、ment of Physics, Northwest University dEEfEQN)( )(2)( 21)( )()(FFFFFEEEQEEEQEQEQ2()()()()()1()() ()2FFFFFffNQ EdE Q EEEdEEEfQEEEdEE 保留到二次项保留到二次项EdEENEQ0)()( 将将 在在 附近按泰勒级数展开附近按泰勒级数展开( )Q EFESolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 第一项第一项)()(ff0)(dEEfEEFdEEfEEEQEQNFFF)()()( 21)(2

15、1)(Ef第二项第二项 是是 的偶函数的偶函数FEE0 1 2()()()()()1()() ()2FFFFFffNQ EdE Q EEEdEEEfQEEEdEESolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University dEEfEEEQEQNFFF)()()( 21)(2) 1)(1(11TkEETkEEBBFBFeeTkEf) 1)(1()( 2)()(22eedEQTkEQNFBFTkEEBF引入积分变数引入积分变数1BddEk TSolid State PhysicsDepartment of Physics, Nort

16、hwest University 22)( 6)(TkEQEQNBFF3) 1)(1(22eed) 1)(1()( 2)()(22eedEQTkEQNFBF)(0FEQN 000)()(FEFdEENEQN对于一般温度对于一般温度KT300eV106 . 2-2TkB将将 按泰勒级数在按泰勒级数在 附近展开，只保留到第二项附近展开，只保留到第二项 0FE()FQ E令令0TKSolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 22000)( 6)( )(TkEQEEEQEQNBFFFFF22)( 6)(TkEQEQNBF

17、F将将Q(EF)按泰勒级数展开，只保留按泰勒级数展开，只保留202000)( 6)( )(TkEQEEEQEQNBFFFFF)( )( 0FFEQEQ)(0FEQN 220)() (60TkQQEEBEFFF020201ln( )() 6FFFBEFdEEQ Ek TEdESolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 因为因为EdEENEQ0)()()()( ENEQ020201ln( )() 6FFFBEFdEEN Ek TEdE020201ln( )() 6FFFBEFdEEQ Ek TEdE对于近自由电子对于

18、近自由电子2/1)(EEN)(121 2020FBFFETkEE 温度升高温度升高 费密能级下降费密能级下降Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University )(121 2020FBFFETkEE 温度升高温度升高 费密能级下降费密能级下降KT30022.6 10eVBk T0FEseveral eV10FBETk0FFEE Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 三、电子热容量三、电子热容量 1. 金属中电子总能量金属中电子总能量0

19、)()(dEEENEfUEdEEENER0)()(0)(dEEfERU引入函数引入函数 E以下的量子态被电子填满时的总能量以下的量子态被电子填满时的总能量应用分部积分应用分部积分)( )(EREENSolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 00()()replaceFFR EQ E dEEfEQN)( )(0与与 比较比较应用费密能量的结果应用费密能量的结果0)(dEEfERU金属中电子总能量金属中电子总能量202000)( 6)( )(TkEQEEEQEQNBFFFFF202000)( 6)( )(TkERE

20、EERERUBFFFFFSolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 202000)( 6)( )(TkEREEERERUBFFFFF因为因为220)()(ln60TkENdEdEEBEFFF)()( EENER000)()(FEFdEEENER T0K 时电子总能量时电子总能量)( ln)(ln)( 6)(002020FFEEBFFERdEdENdEdTkERERUSolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University )()()(020TkT

21、kENTkENBBFBF)(0TkENBF20)(TkENBFVVdTdUC)(BBFVkTkENC)(3022020)(6)(TkENERUBFF 热激发能热激发能 热激发电子的数目热激发电子的数目 每个电子获得的能量每个电子获得的能量TkB总的激发能总的激发能2. 电子热容量电子热容量Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 近自由电子模型下电子热容量近自由电子模型下电子热容量3/2020)83(2VNmhEF2/12/32)2(4)(EhmVEN000()3/2FFN ENE能态密度函数能态密度函数000

22、)(FEdEENN从从 得到得到的能态密度的能态密度00,FTK EEBBFVkTkENC)(302BFBkETkN)(20200QuantumVBClassicalVFCk TCE热容量热容量2300101110TKeVeVSolid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 近自由电子模型下电子热容量近自由电子模型下电子热容量200()2BVBFk TCNkE 金属中大多数电子的能量远远低于费密能量，由于受金属中大多数电子的能量远远低于费密能量，由于受 到泡利原理的限制不能参与热激发到泡利原理的限制不能参与热激发 只有

23、在费米能附近约只有在费米能附近约kBT范围内电子参与热激发，对范围内电子参与热激发，对金属的热容量有贡献金属的热容量有贡献Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University TCbTCCElectronVPhononVMetalV3 一般温度下，晶格振动的热容量比电子的热容量大得多一般温度下，晶格振动的热容量比电子的热容量大得多低温范围下低温范围下 不能忽略电子的热容量不能忽略电子的热容量 在温度较高下，晶格振动的热容量是主要的在温度较高下，晶格振动的热容量是主要的 热容量基本是一个常数热容量基本是一个常数Solid S

24、tate PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 3VCTbT43125DRb可见由直线的截距可以求出费密温度,而由斜率则可求出德拜温度.Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University Fe金属低温热容量Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University So

25、lid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 研究金属热容量的意义研究金属热容量的意义 BBFVkTkENC)(302 许多金属的基本性质取决于能量在许多金属的基本性质取决于能量在EF附近的电子，附近的电子，电子的热容量与电子的热容量与 成正比成正比)(0FEN 从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信息从电子的热容量可获得费米面附近能态密度的信息Solid State PhysicsDepartment of Physics, Northwest University 过渡元素过渡元素 Mn、Fe、Co和和Ni具有较高的电子热容量具有较高的电子热容量 d壳层电子填充