正弦稳态电路的频率响应

1、第 10 章 电路的频率响应. 288学习要点 .28810.1滤波器.28810.1.1低通滤波电路 .28810.2RLC 串联电路频率特性与串联谐振 .29210.2.1RLC 串联谐振电路 .29210.2.2RLC 串联谐振的特征 .29210.2.3RLC 串联电路的频率响应 .29410.3并联谐振电路 .29810.3.1GLC 并联电路 .29810.3.2电感线圈和电容并联的谐振电路.30010.4波特图 .301习 题 十 .308287第 10 章电路的频率响应学习要点1） 滤波器的概念；2） RLC 串联电路的谐振与频率特性；3） GLC 并联电路的谐振与频率特性；4

2、) 波特图。前几章中，通过引入相量法，我们讨论并解决了单一频率正弦激励下电路（简称单频电路）的稳态响应的问题。通过引入相量法，从而有了一套完整的求正弦稳态解的方法。本章讨论的主要问题是，在正弦稳态电路中，当激励的角频率变化时，响应如何随激励的角频率变化。为了解决这个问题，我们引入频率响应等概念，并着重讨论电路滤波、谐振等问题。10.1 滤波器电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、容抗将随频率变化，从而导致电路的工作状态亦随频率变化。所谓滤波就是利用容抗或感抗随频率变化的特性，对不同频率的输入信号产生不同的响应，让需要的频带信号顺利通过，抑制不需要的其它频带信号。滤波电路通常分为低通、高通、带

3、通等多种。低通滤波电路下面以 RC 低通滤波电路为例，初步讨论频率响应的概念及其应用。图 10-1RC 低通滤波电路图 10-2 RC 低通滤波电路幅频特性图 10-3RC 低通滤波电路相频特性如图 10-1 所示，当正弦激励U i 的角频率变化时，正弦稳态响应U o 如何变化？按图10-1 所示的电路，根据题意，应该找到正弦稳态响应U o 与正弦激励 U i 的关系。1U ojjCjU ijH（ 10-1）R1jCHjHj(j响应与激励的相量的比值Hj，反映了响应和激励之间相互依赖的关系。H j是一个复数，也称网络函数。很明显，Hj与频率有关，并且取决于电路的参数R和 C。为了直观的观察 H

4、j随频率变化的特性，也就是响应的频率特性，我们还可以把H j 的图形画出来。相应地， Hj称为幅频特性， 其图形称为幅频曲线；而j称为相频特性， 其图形称为相频曲线。下面对 Hj进一步分析， 并做出幅频曲线图10-2 和相频曲线图 10-3 。为方便分析和作图， 把式（ 10-1）288写成1H jU ojj C1U ij11j RCRj C因此Hj1（ 10-2a）12RCjarctanRC（ 10-2b）根据式（ 10-2），得到Hj01j 00Hj0j90H ( j 1 )10.707j 145RC2RC以上几个式子， 是图 10-2 和图 10-3 的几个特殊点。 此处讨论的RC 电路

5、产生频率响应的根本原因是电容的阻抗与频率有关。直观地看，电容的阻抗ZCj1 ，当0 ，电容可以看成开路，从而 U OU i ，c换句话说，较低频率的信号可以通过电路并且相位和幅值近似不变；而当， U O0 ，换句话说，频率很高的信号不能通过。因此，当激励如果包含多种高、低频率成分， 这样的激励中的高频成分将被“滤掉”。正因为这个原因，图10-1的电路称为低通滤波电路。实际应用中， 输出电压不能下降过多。通常规定： 当输出电压下降到输入电压的70.7，即 H j下降到 0.707 时为最低限，此时，10 称为 通频带 。 0 称为截止频率 ，它又称为半0，将 0RC功率点频率 ，或 3dB 频率

6、 。通过式（ 10-2a）和图 10-2都表明，上述图 10-1的 RC 电路是低通滤波电路。高通滤波电路如图 10-4 所示，当正弦激励U i 的角频率变化时，正弦稳态响应U o 如何变化？按图10-4 所示的电路，H j1p/2C0.707uiRu0p/40图 10-4 RC 高通滤波电路000图 10-5RC 高通滤波电路幅频特性图 10-6 RC 高通滤波电路相频特性根据题意，应该找到正弦稳态响应U o 与正弦激励 U i 的关系。 如果电路输出接一电阻，当时，因为功率与电压平方成正比，这时输出功率只有输入功率得一半，因此而得名。时 20lg0.70720 ( 0.15) 3dBH (

7、 j ) 0.707289UojRjRC1H jj11j RC1U iR1 jjCRCH j1(10-3a)211RCarctan1(10-3b)RC根据式（ 10-3），得到Hj 000p2Hj10H ( j 1 )10.707j 145RC2RC以上几个式子， 是图 10-5 和图 10-6 的几个特殊点。 此处讨论的RC 电路产生频率响应的根本原因是电容的阻抗与频率有关。直观的看，电容的阻抗ZC1，当，电容可以看成短路路，从而U O U i ，jc换句话说，较高频率的信号可以通过电路并且相位和幅值近似不变；而当0 ，U O 0 ，换句话说，频率很低的信号不能通过。当 H j下降到0.70

8、7 时为最低限，H ( j )1，此时截止频率1 。因此， 当激励包含多种高、20低频率成分时， 激励中的低频成分将被 “滤掉”。因此， 图 10-4RC的电路称为高通滤波电路。10.1.3 带通滤波电路按图 10-7 所示的电路，找到正弦稳态响应U o与正弦激励 U i 的关系。RCRjCuiRC u0R1U ojjCHjU ijR1图 10-7RC 带通滤波电路Rj CC1jRCjR1 jRC11jRCR3j(RC1)jC1 j RCRCH1(10-4a)j2213RC2901RCarctanRC3根据式（ 10-4），得到H ( j 0)0j 09 0Hj090Hj 1110RC3RC以

9、上几个式子，是图10-8 和图 10-9 的几个特殊点。其中，同时规定，当Hj2 倍对应频率的上下限之间的宽度称为通频带，即21 。2下降到最大值（ 1 ）的 0.707 时为最低限。这样激励中只有频率在即，当 H j3过，其它频率将被“滤掉” 。正因为这个原因，图10-7 的电路称为带通滤波电路。H j1/3p/20.707/3001020图10-8RC 带通滤波电路幅频特性图 10-9RC带通滤波电路相频特性(10-4b)等于最大值（1 ）的31 与2 之间才能通下面我们把滤波的概念一般化。 顾名思义， 滤波是对某电路而言， 所说的电路具有滤除某一频率范围信号的能力。或者等价地说，滤波电路

10、对某些频率的信号具有选择性。根据电路工作的信号是连续信号还是离散信号，可以分成模拟滤波器和数字滤波器；对应的电路分别为模拟电路和数字电路。而数字滤波器还可以借助计算机，利用软件实现。根据所用电路元器件的不同，可以分为无源滤波器和有源滤波器。一般把含有三极管、运算放大器等有源器件的称为有源滤波器。根据滤波器的幅频曲线的特点，可以分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器。如图10-10 所示，画出了几种典型的理想滤波器的幅频特性。电路有效工作频段又称为通带，而其余的频段称为阻带。之所以称为“理想”的幅频特性，是因为根据滤波器理论，实际滤波器通带到阻带之间不可能是跳跃的阶梯形状，而应该是平

11、滑的曲线，有一个过渡区。读者可以参阅信号处理或网络理论方面的文献。（ a）低通滤波器（ b）高通滤波器291（c）带阻滤波器（ d）带通滤波器图 10-10 几种滤波器幅频特性10.2RLC 串联电路频率特性与串联谐振对于含有电抗元件的端口来说，如果端口的电压和电流同相位，我们就说该端口发生了谐振。即，当含多个电抗元件的端口呈现纯电阻性质时，该端口发生了谐振。我们知道，电抗元件本身不消耗能量，只是交换能量。 所以也可以说， 当含多个电抗元件的某端口的内部与外部不交换能量时，该端口发生了谐振。因此从物理的角度看，端口不与外部交换能量是谐振的本质特征。谐振电路对于信号具有选择性，或称“选频” ，因

12、而被广泛用于电子和通信系统。谐振的概念与物理学中的共振十分类似，请读者对比学习。串联谐振电路我们先来讨论RLC 串联端口的谐振。图10-11 画出了一个RLC 串联电路。端口的输入阻抗为1)Z ( j ) R j ( LC（ 10-5）图 10-11 RLC 串联电路当激励电压的角频率恰好使得 Z jR 时，电路发生谐振。这时，阻抗虚部为零，也就是L10C而满足上式的角频率为10LC（ 10-6）f012pLC此时激励的频率恰好等于无阻尼振荡频率。0 称为电路的谐振角频率，f 0 称为谐振频率。根据上面的分析，我们可以看出：1) 0 仅由 L 和 C 决定，因此，0 反映了串联电路的固有性质；

13、2) 每个 RLC 串联电路总有一个对应的谐振频率0 ，所以，通过改变0 或改变 L 和 C，都可使电路发生谐振或消除谐振。10.2.2 RLC 串联谐振的特征现在我们讨论 RLC 串联谐振时的特征。1.谐振时的阻抗Z ( j 0 ) R j ( 0 L1) R0C此时端口阻抗呈现纯电阻性质，其阻抗模为最小。这一点可以从式 （ 10-5）292图 10-12RLC串联电路电抗特看出。也可以通过做出端口的阻抗三角形得到。但要注意，参见图10-12 ，此时，感抗和容抗都不是零，即0 L10。0C2.谐振时的电流UU,UR RIIUZR所以在输入电压有效值U 不变的情况下，谐振时电流的有效值I 和电

14、阻电压的有效值U R 为最大。我们还可以做出电流的有效值I 的频率特性，如图10-13 所示。电路的相量图，如图10-14所示。图 10-13RLC 串联电路电流频率特性图 10-14 RLC 串联电路相量图3. 谐振时的电压两个电抗元件的总电压为零，但每个电抗元件各自的电压却可能比端口电压高很多。因为电抗元件的电压分别为U L j 0j 0 LI j 0j 0 LURU Cj1j 01UjU0jIj 0C R0 L0CR也就是ULU C0（相当于短路） 。习惯上又把串联谐振称为电压谐振。定义品质因数 Qdef UL( 0)UC( 0)0L11L（ 10-7）QUUR0 CRRC容易看出，若Q

15、1,则 ULU CU 。这就是说电容和电感上可能出现比端口电压还高的过电压。当 Q1 ，电容和电感上出现很大的过电压。在电力系统中，过电压是有害的，因为有可能超过设备的耐压值；而在电子和通信系统中，则经常利用高品质因数的电路来进行选频。4.谐振时的功率因为(0) 0所以cos1有功功率为P( 0) UIUI1 U m I m0LI 22无功功率为QL( 0)QC( 0)1I 20CQL(0)QC( 0)0293复功率为SPjQPj（ QLQC ） P5.谐振时能量谐振时的端口与外部没有能量交换，端口内部电场能量与磁场能量形成周期性振荡。下面具体分析电抗元件的储能和电阻元件的耗能。假设u2U c

16、os 0t V ，则电感存储的能量2WL01 Li 201 L2Ucos0tL U 2 cos20t（ 10-8）22RR2对于电容U CI1U01U9000 j CRj C R CuC12Ucos0t9012Usin0 t0CRCR所以22 sin 21212Usin 0 tU0 t（ 10-9）WC 02 CuC02 CCRLR2由（ 10-8）与（ 10-9）式可以看出电路的总储能为U 2W0WL0WC0L R2，这是一个常数。因此验证了端口与外部没有能量交换，端口内部电场能量与磁场能量形成周期性振荡。对于电路在一个振荡周期内消耗的能量，也就是电阻消耗的能量为WR0T0i 20 RdtT

17、00022U2T022U2U cos 0 t0 tdRdtcos0tR0 R 0R2p0因此电路总储能与电路在一个振荡周期内消耗的能量之比为2W 0L U（ 10-9）R2Q。WR02UR22pp0上式表明，Q 反映了谐振时电路存储的总能量和电路一个周期消耗的能量的数量关系。例 10-1RLC串联谐振电路，U 10 V,R10, L20 mH , C 200 pF ， I1A ，求,UL,UC和 Q。解令 U10 00 ，则11125105rad / sLC20103200 10UL UCL U51052010 31010000 VR10U LQ1000URLC 串联电路的频率响应前面我们讨论

18、了RLC 串联电路工作在谐振角频率0 时的有关问题。现在考虑网络函数U Rj、Uj294U Lj和U Cj这三个电压相量之比的频率特性。这相当于在电路的不同位置（可以理解为以不同的UjUj元件为输出端口）来观察激励的角频率对电路的影响。1. 端口阻抗的频率特性Z( j ) R j ( L1 ) R j ( 0L0C00其中，设01 ) R 1 jQ(1)（ 10-10）C则Z( j )R2( L1 ) 2C1LZ ( j ) a r Zg j( ) a r c t a n CRZ ( j ) 的频率特性如图10-15、图 10-16 所示。为了比较不同参数的电路频率响应，工程上经常采用归一化的

19、方法。其中一种具体的做法是，讨论和绘制频率特性的时候，纵坐标和横坐标都采用相对于谐振点的比值。也就是将横坐标即原来的变量改为，并设定 U S jU 。这样，所有的RLC 串联电路都在1 处谐振，相当于在同一个相对尺度下来0比较网络函数的特性。这样绘制出的曲线称为通用曲线。如图10-17 所示。把不同参数的RLC 串联电路的频率特性画在一张图中，便于比较。图 10-15 Z( j) 的幅频特性图 10-16 Z ( j) 的相频特性U RjUj的频率特性2.按归一化的方法，令0则按分压公式并利用（10-8）式UR( )RUU，Z ( j )1 Q2(1) 2U R ()1U1 Q2 (1) 22

20、95观察上面两式，参见图10-17 ，可得以下结论1）当1 ，即谐振时，曲线出现高峰，输出达到了最大（等于1）；2）当1和1 时，输出逐渐单调地下降；3） Q 值越大，曲线在谐振点附近形状越尖锐，选择性越好。图 10-17U R 的幅频特性（通用曲线）U通频带定义为BW2- 1（ 10-11）其中1、2为满足U R (1,2)1的角频率。 很多文献把通频带称为带宽。下面寻找 BW与 Q以及 0U2的关系。令111 Q2(1 ) 22可得Q2 (1)21即11Q即211 0Q从上式可以解出4 个根，取2 个合理的11111，2Q24Q21111 ，2Q24Q所以121Q因此BW210（ 10-1

21、2）Q也就是说，单对选择性来说，Q 值越大，通频带越窄，即选择性越好。必需指出，不是所有场合都希296望 Q 大一些或带宽窄一些这么简单。对一些问题的深入探讨，可参考自控原理模拟电子技术等。UC( )UL( )3.U和U的频率特性UC( ) UR( )1UR() QQUUCRU2Q2( 21)2UL( ) UR( )L UR()QUURQ11 2U22Q (12 )UC( )和UL( )的频率特性如图10-18。UU可以证明，当Q1时，特性曲线会出现峰值。21) 对于U C ()，11121，10 110U2Q2Q2峰值为U C ()QUmax114Q 22) 对于U L ()，2Q21， 2

22、2Q2U22Q101022Q2峰值为U L ()QUmax11 4Q 2（ 1）当 Q 值很大时， U C ( ) 和 U L ( ) 两个峰值的频率向谐振频率接近；UU（2）当 Q0.707时， UC( )和U L ( ) 都没有峰值。UU图 10-18U C () 和 UL( )的频率特性UU例 10-2RLC 串联电路中，外施电源电压u110cos tV, R 50 ,L 5mH, C 0.5 F ， (1)求2970 和Q；(2)求输出电压 （取自电容） 在0 时有效值； (3)求使输出电压为最大时的频率cm ；(4)m 时输出电压是多少？ (5)绘出幅频特性；(6)当 R降低到 10

23、时重复(1) 到 (5)的各项要求。解 （1）0120000rad/sLCQ0 L2R10（ 2）U COQU 12102V2cm0 1180.5 10818708.290（ 3）=4 10rad/s2Q 2QU10214.61 V（ 4） U C (cm )12114Q 2116（ 5） 电流转移函数的幅频特性曲线如图10-19 所示（ 6）0 = 240 L1010rad/s， QR10UCOQU110502 V2m410810819949.94rad/s50U Cm101070.79 V2 11400幅频特性曲线如图10-19 所示。图 10-19 例 10-2 图10.3 并联谐振电路

24、并联电路这一节来讨论GLC并联电路的谐振。读者可参照RLC 串联电路来学习。借助对偶的概念，只要将RLC串联电路中的所有概念和结论稍作改变，就可以搬到GLC并联电路中。1. 并联谐振阻抗与谐振条件与串联谐振类似，并联谐振定义为：电压U 与电流I 同相，得并联谐振条件：Im Y( j0 )0 和298arg Y( j0 )0谐振时的导纳为Y( j0 )Gj(0C1 ) G0 L由此可知谐振时导纳模为最小。谐振时的阻抗为Z( j0 )R1 ，G也就是谐振时阻抗模最大。图 10-20 GLC 并联谐振电路及相量图2并联谐振频率由并联谐振条件 Im Y ( j0) 0，即0C10，解得0 L谐振角频率

25、01（ 10-13）LC或谐振频率f 01LC2p3. 并联谐振时的端电压U( 0)Z ( j 0 ) I SRIS ，谐振时端电压达最大值。4. 并联谐振时的电流I LI C011IL( 0)j0 L Uj0LG ISjQ I SIC( 0)IL( 0)j 0CUj 0 C I SjQ I SGIL( 0)IC( 0) QIS5. 品质因数 QI L (0 )I C (0 )10 C1 C（ 10-14）QI S0 LGGG LI S若 Q 1， 则 IL =IC IS。因而并联谐振时在L 和 C 上会产生过电流，因此并联谐振又称为电流谐振。6. 并联谐振时的无功功率QL1U 20 LQC0

26、CU2QLQC07.并联谐振时的能量299并联谐振总储能为W( 0)WL( 0)WC( 0)LQ2IS2常数谐振曲线可以参照对偶关系按串联谐振曲线获得。电感线圈和电容并联的谐振电路下面讨论电感线圈和电容并联电路的谐振，也称为实际并联电路。（ a）(b)图 10-21 实际并联谐振电路及相量图与并联谐振类似，图10-21 中电路发生谐振的条件为：Im Y ( j0 )0因为 Y( j 0 )j 0C1j 0 CRj0 LR j 0 L22Z ( j 0 )Z ( j 0 )所以0 C0 L02Z ( j 0 )也就是011CR 2。LCL观察上式，可以总结如下：1）当 RL ，1 CR20 时，

27、0 是实数；CL2）若RL 时，电路不会谐振；0 是虚数，这是因为0 必须为实数才有意义。C3） 如图 10-21(b) 所示，当电感线圈的阻抗角1 很大，即0 L R 谐振时会有过电流出现在电感支路和电容中。4） 谐振时端口的输入导纳为Y ( j 0 )R2CR ，Z ( j0 )L也就是相当于一个等效电阻。5） 可以证明，发生谐振时的输入导纳不是最小值（即输入阻抗不是最大值），谐振时的端电压不是最大值。6）当RL时， 01与 GLC 并联电路的并联谐振情况接近。CLC例 10-3 电路如图10-22 所示， U S100V, 010 3 rad/s , R110.1 , R21000 , C 10 F , 求 : L、U10 。300图 10-22 例 10-3 图解谐振条件为 Im Z0R2因为ZR1j0 Lj0C1R2j0CR2而Imj0 Lj0 C0R21j0 C所以10R22C1103(103 ) 21010 61099 m HL1 (0 R2C)21031(1031031010 6)21010IU S10000100 05 0AZ(10.1 10320)101R2U10Ij 0 C50R