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1、2019 年电大高数基础形考 1-4 答案高等数学基础作业一第1章第2章函数极限与连续(一) 单项选择题 下列各函数对中,( C )中的两个函数相等A. f(x) ( x)2, g(x) x B. f(x)x2 , g(x)3C. f(x) ln x , g(x) 3ln xD. f (x) x 1, g(x)x1f ( x) 的图形关于( C )对称A. 坐标原点B.x轴C. y 轴D.yx下列函数中为奇函数是( B)2A. y ln(1 x2 )B.y xcosxxx C. y a aD.y ln(1 x)C. y 2下列函数中为基本初等函数是(C)A. y x 1B.yx2D.1, xC
2、. y x 2y 1, x下列极限存计算不正确的是(D )22A. lim 2x1B.lim ln(1 x)xx2 2x0sinx1C. lim 0D.lim xsinxxxx当 x 0 时,变量( C )是无穷小量sin x1A.B.xx1C. xsinD.ln(x 2)设函数 f (x) 的定义域为 () ,则函数 f(x)0000x若函数 f(x)在点 x0满足( A) A. lim f(x) f(x0)x x0C. lim f (x) f(x0)x x0(二)填空题,则 f (x) 在点 x0 连续。B. f(x) 在点 x0 的某个邻域内有定义D. lim f (x) lim f (
3、x)x x0x x0x2 9函数 f (x) x 9 ln(1 x)的定义域是 x|x 3 x3已知函数 f(x 1) x2 x,则 f (x) x2-xlimlim11 2x 11 ) 22x1若函数f (x)(1x) x, x 0 ,在x 0 处连续,则 kex k ,x0函数 yx1, x0的间断点是x 0 sinx, x 0若 lim f (x) A,则当 x x0时, f (x) A 称为 x x0时的无穷小量 x x0(二) 计算题设函数f (x)求: f( 2), f (0), f(1)解: f 22 , f 0 0, f 12x 1求函数 y lg 的定义域x2x 1x2x 1
4、解: y lg 有意义,要求xx0xe , x 0x , x 01 ee01解得 x或x 02x01则定义域为 x|x 0或x 12在半径为 R 的半圆内内接一梯形,梯形的一个底边与半圆的直径重合,另一底边的两个端点在半圆上, 解:试将梯形的面积表示成其高的函数A设梯形ABCD 即为题中要求的梯形,设高为h,即 OE=h,下底 CD 2R直角三角形 AOE 中,利用勾股定理得AEOA2 OE2R2 h2则上底 2AE 2 R2 h22 R2 h 2h RR2h2sin3x sin 2 xsin3xlxim0sin2xx2 1 sin( x1)x2 1sin(x1)tan 3x xtan3 xl
5、imx0x21x1sin x1 x 2 1解:求解:lxim0xlim1xlim1求 lxim0求 lxim0解: lxim0求 lxim0h故 S h2g2Rx 0 sin xsin3x3x 3x sin2x 2x2x1)(x解: lim求 lxim(xx 13)xx1解: lxim( xx 31)xsin3xlxim0 si3nx2xlim (xx 1 sin( x 1)sin3 x 1x cos3 x2x1)xlim1 sin( x 1)sin3 x lim x 0 3x1cos3x111lim ( 1 x2 12)( 1 x 0 ( 1 x2x2 1)1)sin xlimx 0 ( 1
6、2x2x1)sin xlimx0(1lim(xx2 1)sin xx11x)xlimx(1 1x)x x 3x)x x(1limx(1(11x) xx 1x 1x)33求解:li22x5x48 x 4 x 2 lim4 x 4 x 4 x 1lim x 2 4 2 2 x 4 x 1 4 1 3设函数2(x 2)2 , x 1f ( x) x , 1 x 1x 1 ,x 1讨论 f (x) 的连续性,并写出其连续区间 解:分别对分段点 x 1,x 1 处讨论连续性limx1fxxlim1 x 1limfxlim x 11 1 0x1x1所以lim fx lim f x,即 f x 在 xx1x
7、1limfxlim x 2 21 2 2 1x1x1limfxlim x 1x1x1f11所以lim fx lim f xf 1 即 f x 在x1x11)(2)得f x 在除点 x1 外均连续,1U1,由(故 f x 的连续区间为1处不连续1处连续高等数学基础作业设 f (0)0且极限 lxim0 f(xx) 存在,则 lxim0 f(xx) (CA. f (0)B. f (0)C. f (x)D.0 cvx设 f(x)在 x0可导,则limh0f (x02h) f (x0 )2h(DA. 2f (x0 )B.f (x0)C. 2 f (x0)D.f (x0 )设 f (x)x则 limf
8、(1x)f (1)e,(A )x0xA. eB.2e11C. eD.e24设 f (x)x(x1)(x2)(x 99) ,则 f (0)(DA. 99B.99C. 99!D.99!第 3 章 导数与微分一)单项选择题下列结论中正确的是( C )A. 若 f (x) 在点 x0 有极限,则在点 x0可导B. 若 f(x) 在点 x0连续,则在点 x0 可导C. 若 f(x)在点 x0可导,则在点 x0有极限)二)填空题设函数 f (x)设 f (ex ) e曲线f ( x)曲线f ( x)设 yx2x,设 yx ln x2x则y,则三)计算题求下列函数的导数21x sin , xx0,0,则 f
9、 ( 0) x05ex,则 df(ln x) 2 ln xdxx 1在(1, 2)处的切线斜率是sin x在( , 1)处的切线方程是42x2x2x (11ln x)3)excot x222x (1 )2 2 4x 2 ln xy:3(x23)ex3x2ex22csc xx 2xln xxcos x 2yx( sin x2xln 2) 3(cos x2x)3 x4 xln x x 2y1 sin x(x2x)(ln x x2 )cosxsin x2 sin xx 4 sin x ln xy4x3 sin x xcosxln x2 sin x xy3x (cos x2x)(sin x x2 )3
10、xln33x32x2x ln xxyln xyyyy2 xxln2xxe tan x lne x tan xe2cos x x求下列函数的导数y:e 1 x2e 1 x2 x1 x 2 ln cos x33sin x 23 3x cosxxxx783x2tan x78xy12x2)121 3x2x sin y1(x x2) y (13cos2 e xex sin( 2ex )y2xcose2 x 2xe sin e sin n x cos nxn1n sin x cos x cos nx25sin xx2n sin n x sin( nx)y22xln5cosx25sinxsin 2 xe2
11、sin x sin 2 xe2xx2xx( x 2x ln x)22xexexe x ln x )eexex在下列方程中,是由方程确定的函数,求2y y cos x e cosx ysin x y sin x cos x 2e2 y cos y ln x2e2yysin y. y ln x1 cos y.xcos yx(1 sin y ln x)2x cos y.y 2sin y2yx x2 y2yx22)y2y2x 2sin yy22xy 2y sin y2xyx2cos y lnln1yyy1x e yeyy2yy1 x(2yey)y2xe sin2yyx sin y.exe cos y.
12、 yx3y2 eyeyx ex e x e ey3y23ye sin y y ex cos y 2yln 2y2y5x5xln 5 y 2yln2x5x ln 5求下列函数的微分 dy : ycot xcscxdyydy( cos12 x cos x ln x sin x 1sin xxcos x2 )dx sin xy2 sin x 1x arcsin 1xln x cosxdxdy1 (1 x )(1 x) (1(1 x)2x)dx y 3 11 xx两边对数得: lnln(1x)ln(1 x)113 (1 x 1 x)1 3 1 x 133 1 x(1 xx)y2x sin edyydy
13、2sinexex ex dx tanex2 x 3 2sec2 ex 3x 2dxsin(2ex )2x3x eexdxsec2 xdx求下列函数的二阶导数: y x ln xy 1 ln x1yx y x sin xy x cos x sin x y x sin x 2cos x y arctanx2x22(1 x2 )2x23x2 2 2y2x3x ln 3 y4x23x ln2 3 2ln 3 3x四)证明题设 f (x) 是可导的奇函数,试证 f (x) 是偶函数证:因为 f(x)是奇函数 所以 f( x) f (x) 两边导数得: f ( x)( 1) f (x) f ( x) f
14、(x) 所以 f (x) 是偶函数。高等数学基础作业三第 4 章 导数的应用一) 单项选择题若函数 f (x) 满足条件(D),则存在(a,b) ,使得 f ( )f (b) f (a)baA. 在(a,b) 内连续 C. 在(a,b) 内连续且可导2 x2 4x 1 的单调增加区间是(B. ( 1,1) D. ( 2, 6,6)内满足(B. 单调下降 D. 单调上升 一定是 f(x) 的(C函数A. (C. (2,函数f (x),2)2 yx4x 5 在区间A. 先单调下降再单调上升 C. 先单调上升再单调下降 函数 f (x) 满足 f (x)0的点,B. 在(a,b)内可导D. 在a,
15、b内连续,在 (a, b)内可导 D ) A )B. 极值点 D. 拐点设 f (x)在(a, b)内有连续的二阶导数, 在 x0 取到极小值A. 间断点C. 驻点x0(a,b),若f (x) 满足( C ),则 f (x)A. f (x0 )0, f(x0)0B. f (x0)0, f(x0)0C. f (x0 )0, f(x0)0D. f (x0)0, f(x0)00,则 f (x) 在此区间内设 f (x)在(a, b)内有连续的二阶导数,且 f (x) 0, f (x) 是( A )B. 单调减少且是凹的D. 单调增加且是凹的A. 单调减少且是凸的C. 单调增加且是凸的二) 填空题设
16、f(x) 在 (a,b)内可导, x0 (a,b) ,且当 x x0时 f (x) 0,当 x x0 时 f (x) 0,则 x0是 f (x)的 极小值 点若函数 f (x) 在点 x0可导,且 x0是 f (x) 的极值点,则 f (x0)0 2函数 y ln(1 x2) 的单调减少区间是 ( ,0)x2函数 f (x) ex 的单调增加区间是 (0, )若函数 f (x)在a,b内恒有 f (x) 0,则 f (x)在 a , b上的最大值是 f(a)函数 f (x) 2 5x 3x3 的拐点是x=0 三) 计算题2求函数 y (x 1) (x 5)2 的单调区间和极值令 y (x 1)
17、2(x 5)2驻点 x 2,x 5 列表:极大值: f (2) 27极小值: f (5) 02求函数 y x2 2x令: y 2x 2 02(x 5)(x 2)X( ,2)2(2,5)5(5, )y+极大-极小+y上升27下降0上升3在区间 0,3 内的极值点,并求最大值和最小值x 1(驻点 )f(0) 3 f (3) 6 f (1) 2最大值f (3) 6试确定函数(1, 10) ,且 x44 8bbx23y ax2 是驻点, x4b 2x dcx d中的 a,b,c,d ,使函数图形过点 ( 1是拐点2,44) 和点解:10 a最小值f (1) 21624解:设p(x,y)是y2 2x上的
18、点 ,d为p到A 点的距离,则: d (x 2)令d22 22 y2(x 2)2 2x2(x 2) 2 x 12y22 2 0 2 (x 2)2 2x (x 2) 2 2x 2x上点(1,2)到点 A(2,0)的距离最短 。0 12a 4b c0 6a 2b求曲线 y2 2x上的点,使其到点 A(2, 0)的距离最短圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 L ,问当底半径与高分别为多少时, 圆柱体的 体积最大?设园柱体半径为 R,高为 h,则体积VR2h(L2 h2)h令:Vh( 2h)L22 2 2h2 L2 3h2 0L 3hh 3 L3R 2L当h3,R2 L时其体积最大 。333一体积为
19、V 的圆柱体,问底半径与高各为多少时表面积最小?设园柱体半径为 R,高为 h,则体积2 2 V 2VR2hS表面积2 Rh 2 R2 2 2 R2R令 :S2VR 2 4 R 0R3Rh答:当 R 3 2Vh欲做一个底为正方形,容积为62.5 立方米的长方体开口容器,怎样做法用料最省? 解:设底连长为 x,高为 h。则:2 62.562.5 x2 hh 2x2 2 250 侧面积为: S x2 4xh x2x250令 S 2x 2 0x3 125 x 5x2当 x0时,证明不等式xln(1x)证:由中值定理得: ln(1x)ln(1x)ln111 1 ( 0)x(1x)11ln(1xx) 1x
20、ln(1x)(当x0时)当 x0时,证明不等式x ex1设 f (x)ex (x 1)f (x)ex 1 0(当x0时)当x 0时 f (x)单调上升且 f (0)f (x)0,即 ex (x 1)证毕答:当底连长为 5 米,高为 2.5 米时用料最省。四)证明题0高等数学基础作业四第 5 章 不定积分第 6 章 定积分及其应用一)单项选择题D)1若 f (x) 的一个原函数是,则 f (x)xA. ln x B. 2x2下列等式成立的是( D )A f (x)dx f (x) B. df(x)12C. D. 3 xxf (x)C. d f (x)dxf (x)D. ddxf (x)dxf (
21、x)A. sinx c B. cosx cd 2 3x2 f (x3 )dx ( B)dxC. sinx cD.cosx c3A. f(x3 )B.23x f(x )C.若 f (x)dxF(x) c ,则1f (x) D.31f ( x)dxf (x3 )B )A. F( x) cB. 2F( x)c C.F(2 x)由区间 a , b上的两条光滑曲线 围成的平面区域的面积是( C bA. a f (x) g(x)dxabf (x) g(x)dxy)f (x) 和 yB.C.aD.1F( x) cxg( x)以及两条直线 x a和 x b所c D.bag(x) f(x)dx aba f(x)g(x)dx二)填空题函数 f (x) 的不定积分是 f (x)dx 若函数 F(x) 与 G(x) 是同一函数的原函数,则 F(x) G(x) c(常数 )22 d ex dx exF(x) 与 G(x) 之 间 有 关 系 式 (tan x) dx若 f (x)dx35 (sin x若无穷积分三)计算题1 cos2x dxx2xe x dx1 dx xln xxsin2xdxe 3 ln x dx 1x
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