第14章多准则决策

1、第第5章多准则决策章多准则决策 通过前几章的学习，我们知道了各种定量的模型通过前几章的学习，我们知道了各种定量的模型是如何帮助管理者制定更好的决策的。当我们想得到是如何帮助管理者制定更好的决策的。当我们想得到最优解时最优解时. 我们只是运用一个单一的标准我们只是运用一个单一的标准 (例如，最大例如，最大化利润，最小化成本，最小化时间化利润，最小化成本，最小化时间)。而在这一章中，。而在这一章中，我们将讨论需要决策者考虑多重标准的情况以及在这我们将讨论需要决策者考虑多重标准的情况以及在这种情况下制定最好的决策所需的方法。例如，我们考种情况下制定最好的决策所需的方法。例如，我们考虑一家需要为新厂房

2、确定地点的公司。不同地点的土虑一家需要为新厂房确定地点的公司。不同地点的土地成本和施工费用的差别很大，所以与建厂房相关的地成本和施工费用的差别很大，所以与建厂房相关的成本是选择最优地点的一个标准；如果这个成本是利成本是选择最优地点的一个标准；如果这个成本是利益的唯一标准，那么管理者可以通过最小化土地成本益的唯一标准，那么管理者可以通过最小化土地成本和施工费用之和来简单地确定地点了。和施工费用之和来简单地确定地点了。 但是，在做任何决定之前，管理者也会考虑其但是，在做任何决定之前，管理者也会考虑其他的标准，比如，从厂房到公司配送中心的交通是他的标准，比如，从厂房到公司配送中心的交通是否便利，所选

3、地点招聘和留住员工上是否有吸引力否便利，所选地点招聘和留住员工上是否有吸引力，所选地点的能源成本以及当地的税率。这样，问，所选地点的能源成本以及当地的税率。这样，问题就复杂起来了，因为一个地点在某个标准下是较题就复杂起来了，因为一个地点在某个标准下是较具优势的，但在其他标准下又优势不足。具优势的，但在其他标准下又优势不足。 为了介绍多准则决策问题，我们可以使用一种为了介绍多准则决策问题，我们可以使用一种称为目标规划的方法。这种方法用来解决多准则问称为目标规划的方法。这种方法用来解决多准则问题时，通常会使用到线性规划的框架。接下来我们题时，通常会使用到线性规划的框架。接下来我们可以考虑采用计分模

4、型，它也是用来求多准则问题可以考虑采用计分模型，它也是用来求多准则问题最优解的最优解的. 且相对比较容易。最后，我们介绍层次且相对比较容易。最后，我们介绍层次分析法分析法 (AHP)。用户使用这种方法，可以在多种标。用户使用这种方法，可以在多种标准和各决策方案中做两两比较，得到各种决策方案准和各决策方案中做两两比较，得到各种决策方案的优劣排序。的优劣排序。14.1 目标规划：建模与图解法目标规划：建模与图解法 为了阐明解决多准则决策问题的目标规划，我们为了阐明解决多准则决策问题的目标规划，我们以以Nicolo投资咨询公司所面临的问题为例。有一个客投资咨询公司所面临的问题为例。有一个客户有户有8

5、0 000美元用于投资，起初，他的投资分配到两美元用于投资，起初，他的投资分配到两种股票上：种股票上： 股票股票每股价格每股价格 (美元美元)每股预计每股预计年收益年收益 (美元美元)每股风险每股风险指数指数美国石油美国石油2530.50哈勃房产哈勃房产5050.25 美国石油有一个美国石油有一个25美元的股价，收益美元的股价，收益为为3 美元，年收益率为美元，年收益率为12%，而哈勃房产的，而哈勃房产的年收益率为年收益率为10%。美国石油的每股的风险。美国石油的每股的风险指数为指数为 0.50，哈勃房产的，哈勃房产的0.25，这是，这是Nicolo公司对两种投资项目的相对风险的评公司对两种投

6、资项目的相对风险的评估。较高的风险指数值意味着较高的风险估。较高的风险指数值意味着较高的风险；. 因此，因此，Nicolo公司认为美国石油投资风公司认为美国石油投资风险相对较高。这样，通过指定投资组合的险相对较高。这样，通过指定投资组合的最大风险指数，最大风险指数，Nicolo公司将能避免购买过公司将能避免购买过多的高风险的股票。多的高风险的股票。 为了说明如何用每股的风险指数来计算投资组合为了说明如何用每股的风险指数来计算投资组合的总风险，我们可以假设的总风险，我们可以假设Nicolo公司选择将公司选择将80 000美美元全部用于购买美国石油的股票，这是高风险高收益元全部用于购买美国石油的股

7、票，这是高风险高收益的投资。的投资。Nicolo公司将购买公司将购买80 000/25 =3 200 (股股)美国美国石抽的股票，这个投资组合的风险指数为石抽的股票，这个投资组合的风险指数为3 2000.50 = 1 600。相反，如果。相反，如果Nieolo公司不购买任何股票公司不购买任何股票, 那那么投资组合将没有风险，但是也没有收益。因此，投么投资组合将没有风险，但是也没有收益。因此，投资组合的风险指数在资组合的风险指数在0 1 600之间。之间。 Nicolo公司的客户想避免一个高风险的投资组合公司的客户想避免一个高风险的投资组合；因此，将所有资金用于购买美国石油是不合适的。；因此，将

8、所有资金用于购买美国石油是不合适的。同时，客户同意接受的一个风险水平是投资组合的最同时，客户同意接受的一个风险水平是投资组合的最大总风险指数为大总风险指数为 700。那么，仅考虑风险的话目标就。那么，仅考虑风险的话目标就找到一个风险指数为找到一个风险指数为 700或更小的投资组合。或更小的投资组合。 客户的另外一个目标是年收益至少为客户的另外一个目标是年收益至少为 9 000美美元。投资组合只要由元。投资组合只要由 2 000股美国石油股美国石油 以以200025 =50000 (美元美元)成交成交和和600股哈勃房产股哈勃房产 以以60050 = 30 000 (美元美元)成交成交 组成就能

9、达到目标了。这种情况组成就能达到目标了。这种情况下，年收益额达到下，年收益额达到2 0003 + 6005 = 9000 (美元美元)；但是，注意到这个投资战略的风险指数为；但是，注意到这个投资战略的风险指数为 20000.50 + 6000.25 =1150；因此，这个投资组；因此，这个投资组合达到了年收益的目标，但没有满足风险指数的目合达到了年收益的目标，但没有满足风险指数的目标。标。 这个投资组合的选择问题是一个多准则决策问题这个投资组合的选择问题是一个多准则决策问题，它包含两个互相冲突的目标；一个是风险，一个，它包含两个互相冲突的目标；一个是风险，一个是年收益。目标规划正好是用来解决这

10、类问题的。是年收益。目标规划正好是用来解决这类问题的。目标规划能提供一个最接近两个目标的投资组合。目标规划能提供一个最接近两个目标的投资组合。在实际应用理论方法之前，如果只能选择一种的话在实际应用理论方法之前，如果只能选择一种的话，客户必须决定哪种目标更重要。，客户必须决定哪种目标更重要。 假设客户最优先的目标是减少风险，也假设客户最优先的目标是减少风险，也就是说就是说.使投资组合的风险指数不超过使投资组合的风险指数不超过 700 的的这个目标是如此重要，以至于客户不会以牺这个目标是如此重要，以至于客户不会以牺牲这个目标来换取更高的年收益。只要投资牲这个目标来换取更高的年收益。只要投资组合的风

11、险指数不超过组合的风险指数不超过 700，客户会尽可能，客户会尽可能追求最大的收益。基于这个优先级，此问题追求最大的收益。基于这个优先级，此问题的目标如下：的目标如下： 主要目标主要目标 (第一优先级第一优先级) 目标目标 1：找到一个风险指数不超过：找到一个风险指数不超过700 的的投资组合。投资组合。 二级目标二级目标 (第二优先级第二优先级) 目标目标2：找到一个年收益至少为：找到一个年收益至少为 9 000美元美元的投资组合。的投资组合。 主要目标被称为第一优先级目标，二主要目标被称为第一优先级目标，二级目标被称为第二优先级目标。在目标规级目标被称为第二优先级目标。在目标规划的专业术语

12、里，这些被称为优先级，因划的专业术语里，这些被称为优先级，因为决策者不会以牺牲第一优先级目标的代为决策者不会以牺牲第一优先级目标的代价来换取其他优先级。投资组合风险指数价来换取其他优先级。投资组合风险指数700是第一优先级是第一优先级 (主要主要)目标的目标值，目标的目标值，而年收益而年收益9 000美元是第二优先级美元是第二优先级 (二级二级)目目标的目标值。找到一个满足这些目标的解标的目标值。找到一个满足这些目标的解的困难在于只有的困难在于只有80000美元可供投资美元可供投资.14. 1. 1 构建约束条件和目标等式构建约束条件和目标等式 首先，让我们定义决策变量：首先，让我们定义决策变

13、量： U购买的美国石油股票数；购买的美国石油股票数； H购买的哈勃房产股票数。购买的哈勃房产股票数。 目标规划问题约束条件的处理方法与目标规划问题约束条件的处理方法与一般线性规划问题完全一样。在一般线性规划问题完全一样。在Nicolo投资咨询公司的问题中，其中的一个约投资咨询公司的问题中，其中的一个约束条件对应的是可使用的资金。因为每束条件对应的是可使用的资金。因为每股美国石油价值股美国石油价值25 美元，同时每股哈美元，同时每股哈勃房产价值勃房产价值50美元，所以可使用资金的美元，所以可使用资金的约束条件表示为；约束条件表示为； 25U + 50H80 000 为了完成模型的公式化，我们必须

14、为每个目标为了完成模型的公式化，我们必须为每个目标创建一个目标等式。首先让我们写出主要目标创建一个目标等式。首先让我们写出主要目标(目目标标1) 的目标等式。每股美国石油有一个的目标等式。每股美国石油有一个0.50 的风的风险指数，而每股哈勃房产的风险指数为险指数，而每股哈勃房产的风险指数为0.25；因此；因此，投资组合的风险指数是，投资组合的风险指数是0.50U +0.25H。根据。根据 U和和 H的值，投资组合的风险指数可能小于、等于或大的值，投资组合的风险指数可能小于、等于或大干目标值干目标值700。 用数学式表达这些可能性，我们得用数学式表达这些可能性，我们得到如下目标等式：到如下目标

15、等式： 0. 50U + 0. 25H = 700 + （d1+）-（d1-）式中，式中， dl+投资组合的风险指数超过目标值投资组合的风险指数超过目标值700的数的数量；量； dl-投资组合的风险指数少于目标值投资组合的风险指数少于目标值700 的数的数量。量。 在目称规划中，在目称规划中，d1+ 和和d1- 被称为偏差变量。被称为偏差变量。设置偏差变量的目的是允许出现结果不精确等于设置偏差变量的目的是允许出现结果不精确等于目标值的可能。比如，由目标值的可能。比如，由U= 2 000股美国石油和股美国石油和H=0股哈勃房组成的投资组合，它的风险指数为股哈勃房组成的投资组合，它的风险指数为0.

16、502 000 +0.250=1000。这样，。这样，d1+ = 300 反反映的情况是投资组合的风险指数超过目标值映的情况是投资组合的风险指数超过目标值 300个单位；注意，既然个单位；注意，既然dl+ 大于大于0，那么，那么 d1- 的值必的值必须为须为 0。如投资组合由。如投资组合由U=0 股美国石油和股美国石油和 H=1000股哈勃房产组成，那么它的风险指数为股哈勃房产组成，那么它的风险指数为0.500+ 0.25 1000= 250。在这种情况下，。在这种情况下，d1-=450而而d1+ = 0，表明解提供了一个风险指数比目标值，表明解提供了一个风险指数比目标值700小小 450 的

17、投资组合。的投资组合。 通常，字母通常，字母d在目标规划模型中被用来代表在目标规划模型中被用来代表偏差变量。上标正号偏差变量。上标正号 ( +)或者负号或者负号 ( -)用来用来表示变量与目标值之差是正数或是负数。如表示变量与目标值之差是正数或是负数。如如果我们将偏差变量移到等式的左边，我们如果我们将偏差变量移到等式的左边，我们就能重写主要目标的目标等式，如下：就能重写主要目标的目标等式，如下： 0. 50U + 0. 25 H d1+d1-= 700 注意，目标等式右边的数值就是目标值。注意，目标等式右边的数值就是目标值。目标等式左边包含两部分：目标等式左边包含两部分： 1. 用决策变量来定

18、义最终目标完成情况的用决策变量来定义最终目标完成情况的函数函数 (如，如，0.50U +0.25H)。 2，偏差变量指的是目标值和现有水平之，偏差变量指的是目标值和现有水平之间的差值。间的差值。 我们接下来创建二级目标（目标我们接下来创建二级目标（目标2）的目）的目标式。我们首先写出投资的年收益的函数标式。我们首先写出投资的年收益的函数表达式：表达式： 年收益年收益= 3U +5H 接着我们定义两个偏差变量来表示超过接着我们定义两个偏差变量来表示超过或少于目标的数量。这样，我们得到：或少于目标的数量。这样，我们得到： d2+投资组合的年收益超过目标值投资组合的年收益超过目标值9 000美元的数

19、量；美元的数量； d2-投资组合的年收益少于目标值投资组合的年收益少于目标值9 000美元的数量。美元的数量。利用这两个偏差变量、我们写出目标利用这两个偏差变量、我们写出目标2的的目标等式，如下：目标等式，如下： 3U + 5H = 9 000 + d2+- d2-; 或或 3U + 5H d2+ + d2- = 9 000 到这一步为止，到这一步为止，Nicolo投资组合问题的投资组合问题的目标等式和约束条件就构建完成了。现在目标等式和约束条件就构建完成了。现在我们就可以准备求这个问题的目标函数了我们就可以准备求这个问题的目标函数了。14.1.2 根据优先级列出目标函数根据优先级列出目标函数

20、 目标规划模型中的目标函数要求最小化偏差目标规划模型中的目标函数要求最小化偏差变量的函数。在投资组合的选择问题中，最重变量的函数。在投资组合的选择问题中，最重要的目标，标记为要的目标，标记为 P1, 在我们的例子中是找到在我们的例子中是找到一个风险指数等于或小于一个风险指数等于或小于700 的投资络合。这的投资络合。这个问题只有两个目标，且客户不愿意为了达到个问题只有两个目标，且客户不愿意为了达到二级的年收益目标而接受一个风险指数大于二级的年收益目标而接受一个风险指数大于700 的投资组合。二级目标标记为的投资组合。二级目标标记为 P2。正如我。正如我们前面叙述的那样，这些目标优先级是专有优们

21、前面叙述的那样，这些目标优先级是专有优先级，因为高级目标的满意度不能与低级目标先级，因为高级目标的满意度不能与低级目标的满意度相交换。的满意度相交换。 具有优先级的目标规划问题在列出目标具有优先级的目标规划问题在列出目标函数时先考虑第一优先级函数时先考虑第一优先级 (P1)。思路就是首。思路就是首先找到一个最接近于满足第一优先级目标的先找到一个最接近于满足第一优先级目标的解。然后，再解一个含有第二优先级解。然后，再解一个含有第二优先级 (P2)的的目标函数，对刚才得到的解进行修改；当然目标函数，对刚才得到的解进行修改；当然，这些对解的修改都必须满足，这些对解的修改都必须满足P1 目标的实现目标

22、的实现不受影响。总的来说，具有优先级的目标规不受影响。总的来说，具有优先级的目标规划问题的求解就是解一系列含有不同目标函划问题的求解就是解一系列含有不同目标函数的线性等式；首先考虑数的线性等式；首先考虑P1 目标，其次考虑目标，其次考虑P2目标，再次是目标，再次是P3目标，依此类推。其中，目标，依此类推。其中，每一步修改部必须满足对任一更高级目标的每一步修改部必须满足对任一更高级目标的实现都不受影响。实现都不受影响。 目标规划问题所需依次求解的线性规划的目标规划问题所需依次求解的线性规划的个数由优先级的个数决定。每个优先级都必须求个数由优先级的个数决定。每个优先级都必须求解一个线性规划。我们将

23、第一个求解的线性规划解一个线性规划。我们将第一个求解的线性规划称为第一优先级问题，第二个求解的线性规划称称为第一优先级问题，第二个求解的线性规划称为第二优先级问题，依此类推。每个线性规划都为第二优先级问题，依此类推。每个线性规划都由高一级修改目标函数并增加一个约束条件得到由高一级修改目标函数并增加一个约束条件得到。 我们首先给第一优先级问题创建目标函数。我们首先给第一优先级问题创建目标函数。客户已经表示了投资组合的风险指数不能超过客户已经表示了投资组合的风险指数不能超过700。如果低于目标值。如果低于目标值700，有没有问题呢？显然，答，有没有问题呢？显然，答案为否，因为投资组合的风险指数小于

24、案为否，因为投资组合的风险指数小于700，则对，则对应的风险也小了。那如果超过目标值应的风险也小了。那如果超过目标值700 呢？答呢？答案为是，因为投资组合的风险指数大于案为是，因为投资组合的风险指数大于700就无法就无法满足客户的要求了。因此，对应第一优先级的线满足客户的要求了。因此，对应第一优先级的线性规划的目标函数应该最小化性规划的目标函数应该最小化d1+的值。的值。 我们已经列出了目标等式和可使用资金的约束我们已经列出了目标等式和可使用资金的约束条件。由此，第一优先级的线性规划如下：条件。由此，第一优先级的线性规划如下：P1 问题问题min d1+s.t. 25U+ 50H 80 00

25、0 可用资金可用资金 0.50U+ 0.25H-d1+ d1- = 700 P1目标目标 3U + 5H-d2+d2- =9000 P2目标目标14.1.3 图解法图解法 目标规划的图解法类似于第目标规划的图解法类似于第2 章线性规划章线性规划的解法，唯一的区别在于目标规划的解法的解法，唯一的区别在于目标规划的解法包含了给每一优先级求一个单独的解。回包含了给每一优先级求一个单独的解。回顾线性的图解法，它是以图解的形式列出顾线性的图解法，它是以图解的形式列出决策变量的值的。因为决策变量非负，所决策变量的值的。因为决策变量非负，所以我们只需考虑以我们只需考虑U0且且H0的那部分图。回的那部分图。回

26、顾一下，图上所有的点都称为解点。顾一下，图上所有的点都称为解点。 用图解法解用图解法解Nicolo投资问题的第一步，是投资问题的第一步，是找出所有满足可使用资金约束的解点：找出所有满足可使用资金约束的解点：1000200030004000100020003000oUH可行投资组合可行投资组合可用资金可用资金25U+ 50H=80000图图 14-1 满足可使用资金约束条件的投资组合满足可使用资金约束条件的投资组合哈勃房产的股票数哈勃房产的股票数美国石油的股票数美国石油的股票数图图14- 1 中的阴影部分代表可行投资组合，它包括中的阴影部分代表可行投资组合，它包括了满足这个约束条件的所有解点了满

27、足这个约束条件的所有解点也就是说满足也就是说满足25U + 50H80 000的的 U和和H的值。的值。 第一优先级线性规划的目标就是最小化第一优先级线性规划的目标就是最小化 d1+，也就是投组合风险指数超过目标值也就是投组合风险指数超过目标值700 的数量。如的数量。如前所述，前所述，P1 的目标等式是：的目标等式是： 0. 50U + 0. 25H d1+ + d1- = 700 当当P1的目标被精确地满足时，的目标被精确地满足时，d1+ =0且且d1- =0；此时目标等式可简化为此时目标等式可简化为 0.50U + 0.25H = 700。图。图14-2显示了这个等式的曲线；图中阴影部分

28、表示所显示了这个等式的曲线；图中阴影部分表示所有满足可使用资金约束条件且有满足可使用资金约束条件且d1+ =0 的解点。因此的解点。因此，阴影部分包括了所有实现第一优先级目标的可行，阴影部分包括了所有实现第一优先级目标的可行解点。解点。1000200030004000100020003000oUH可用资金可用资金25U+ 50H=80000图图 14-2 满足满足P1目标的投资组合目标的投资组合哈勃房产的股票数哈勃房产的股票数美国石油的股票数美国石油的股票数d1+=0且满足且满足第一优先级目第一优先级目标的可行组合标的可行组合第一优先级的目标等式第一优先级的目标等式d1+= d1-= 0时，时

29、， 0.50U + 0.25H = 700 到此为止，我们已经解决了第一优先级的问题到此为止，我们已经解决了第一优先级的问题。注意可能存在无穷多个最优解的情况。事实上，。注意可能存在无穷多个最优解的情况。事实上，在图在图 14-2 中的阴影区域的点中，投资组合风险指数中的阴影区域的点中，投资组合风险指数都小于或等于都小于或等于700，所以，所以dl+ =0。 NiGolo投资问题第二优先级的目标是找到一个投资问题第二优先级的目标是找到一个能带来至少能带来至少9 000美元年收益的投资组合。如果超过美元年收益的投资组合。如果超过目标值目标值9 000美元，有没有问题呢？显然，答案为否美元，有没有

30、问题呢？显然，答案为否，因为，年收益超过，因为，年收益超过9 000 美元的投资组合意味着美元的投资组合意味着高收益。那如果低于目标值高收益。那如果低于目标值9 000美元呢？答案为是美元呢？答案为是，因为客户不能接受年收益低于，因为客户不能接受年收益低于9 000美元的投资组美元的投资组合。因此，对于第二优先级线性规划的目标函数必合。因此，对于第二优先级线性规划的目标函数必须最小化须最小化d2-的值。然而，由于目标的值。然而，由于目标2是第二级目标是第二级目标，因此满足第二优先级的解同时还必须满足第一优，因此满足第二优先级的解同时还必须满足第一优先级。这样，第二优先级的线性规划可以写成：先级

31、。这样，第二优先级的线性规划可以写成： P2问题问题 min d2 s.t. 25U+ 50H 80 000 可用资金可用资金 0.50U+0.25H-d1+ +d1 = 700 P1目标目标 3U+ 5H -d2+d2 = 9 000 P2目标目标 d1+ = 0 满足满足P1目标目标U ,H , d1+ ,d1 , d2+ ,d2 0注意第一优先级的线性规划与第二优先级注意第一优先级的线性规划与第二优先级的线性规划有所不同，表现在两个方面。的线性规划有所不同，表现在两个方面。第二优先级线性规划除了要使与年收益的第二优先级线性规划除了要使与年收益的负差值最小化外，还增加了一个约束条件负差值最

32、小化外，还增加了一个约束条件，那就是要保证实现第一优先级的目标不，那就是要保证实现第一优先级的目标不受影响。受影响。现在，我们接着用图解法解该问题。第二现在，我们接着用图解法解该问题。第二优先级的目标等式是：优先级的目标等式是： 3U+5H-d2+d2=9 000当当d2+的的d2都等于都等于0时，这个等式简化为时，这个等式简化为3U+5H=9 000；这个等式的曲线如图；这个等式的曲线如图14-3所示。所示。 在这个阶段，我们不考虑不满足第一优在这个阶段，我们不考虑不满足第一优先级的解点。图先级的解点。图14-3告诉我们，同时满足第告诉我们，同时满足第一优先级目标和第二优先级目标的解点是不一

33、优先级目标和第二优先级目标的解点是不存在的。事实上，考虑到第二优先级目标，存在的。事实上，考虑到第二优先级目标，我们得到的最优解是点（我们得到的最优解是点（U=800,H=1 200）；）；换句话说，这个点是所有满足第一优先级目换句话说，这个点是所有满足第一优先级目标的解中最接近于满足第二优先级目标的。标的解中最接近于满足第二优先级目标的。因为这个解点对应的年收益为因为这个解点对应的年收益为3800+51 200=8 400（美元），所以同时满足第一优先级和第（美元），所以同时满足第一优先级和第二优先级目标的投资组合是不存在的。事实二优先级目标的投资组合是不存在的。事实上，最优解距离实现第二优

34、先级目标还差上，最优解距离实现第二优先级目标还差 d2=9 000-8 400=600（美元）。（美元）。 因此，因此，Nicolo投资问题的目标规划解是买投资问题的目标规划解是买入入800股美国石油和股美国石油和1 200股哈勃房产。注意第股哈勃房产。注意第一优先级目标，即投资组合风险指数等于或一优先级目标，即投资组合风险指数等于或小于小于700，得到了实现。然而，第二优先级目，得到了实现。然而，第二优先级目标，即至少标，即至少9 000美元的年收益，并没有得到美元的年收益，并没有得到实现。最终推荐的投资组合的年收益为实现。最终推荐的投资组合的年收益为8 400美元。美元。总结一下，图解法求

35、解目标规划问题有以下总结一下，图解法求解目标规划问题有以下几个步骤：几个步骤：步骤步骤1：找出满足问题约束条件的可行解点。：找出满足问题约束条件的可行解点。步骤步骤2：找出所有满足最高级目标的可行解；：找出所有满足最高级目标的可行解；如果没有，则找出最接近的解。如果没有，则找出最接近的解。 1000200030004000100020003000oUH可用资金可用资金25U+ 50H=80000图图 14-3 同时满足两个目标的最优解（同时满足两个目标的最优解（P2问题的解）问题的解）哈勃房产的股票数哈勃房产的股票数美国石油的股票数美国石油的股票数d1+=0且满足且满足第一优先级目第一优先级目

36、标的可行组合标的可行组合第一优先级的目标等式第一优先级的目标等式d1+= d1-= 0时，时， 0.50U + 0.25H = 700第二优先级的目标等式第二优先级的目标等式d2+= d2-= 0时，时， 3U + 5H = 9000U=800，H=1200不影响主要目标的解的二级目标最优解不影响主要目标的解的二级目标最优解步骤步骤3：考虑下一个优先级，在满足上一优：考虑下一个优先级，在满足上一优先级的前提下，找出先级的前提下，找出“最优最优”解。解。步骤步骤4：重复步骤：重复步骤3，直到所有的优先级都考，直到所有的优先级都考虑到了。虑到了。图解法对含有两个决策变量的目标规划问题图解法对含有两

37、个决策变量的目标规划问题来说是比较方便的，但遇到更复杂的问题时来说是比较方便的，但遇到更复杂的问题时，我们就得求助于计算机了。在第，我们就得求助于计算机了。在第14.2节中节中，我们会介绍如何利用计算机软件解决较复，我们会介绍如何利用计算机软件解决较复杂的目标规划问题。杂的目标规划问题。14.1.4 目标规划模型目标规划模型正如我们前面所说的，解决涉及优先级的正如我们前面所说的，解决涉及优先级的目标规划问题是通过一系列的线性规划：目标规划问题是通过一系列的线性规划：每个优先级都有一个线性规划。但是，如每个优先级都有一个线性规划。但是，如果把目标规划问题用简明的说法总结一下果把目标规划问题用简明

38、的说法总结一下，那对解题会非常有帮助。，那对解题会非常有帮助。在为投资组合的选择问题写总结目标时，在为投资组合的选择问题写总结目标时，我们必须写出能提示我们优先级的目标函我们必须写出能提示我们优先级的目标函数。我们可将目标函数写作：数。我们可将目标函数写作： min P1(d1+)+P2(d2)这里，优先级这里，优先级P1和和P2并不是指偏差变量的并不是指偏差变量的数值，只是用来提示我们其所代表的优先数值，只是用来提示我们其所代表的优先级而已。级而已。我们现在写出完整的目标规划模型，如下：我们现在写出完整的目标规划模型，如下：min P1(d1+)+P2(d2)s.t. 25U+ 50H 80

39、 000 可用资金可用资金 0.50U+0.25H-d1+ +d1 = 700 P1目标目标 3U+ 5H -d2+d2 = 9 000 P2目标目标 U ,H , d1+ ,d1 , d2+ ,d2 0如果忽略优先级如果忽略优先级P1和和P2，这个模型就是一个线性，这个模型就是一个线性规划模型。解这个线性规划模型时，应该按优规划模型。解这个线性规划模型时，应该按优先级的顺序解一系列线性规划。先级的顺序解一系列线性规划。我们现在简要地总结一下创建目标规划模型的步骤我们现在简要地总结一下创建目标规划模型的步骤：步骤步骤1：找出目标和所有阻碍目标实现的约束条件：找出目标和所有阻碍目标实现的约束条件

40、，比如资源、能力以及其他约束条件。，比如资源、能力以及其他约束条件。步骤步骤2：确定每个目标的优先级；优先级：确定每个目标的优先级；优先级P1的目标的目标是最重要的，优先级是最重要的，优先级P2的目标次之，以此类推。的目标次之，以此类推。步骤步骤3：定义决策变量。：定义决策变量。步骤步骤4：以一般的线性规划形式表示约束条件。：以一般的线性规划形式表示约束条件。步骤步骤5：对每个目标都建立一个目标等式，将目标：对每个目标都建立一个目标等式，将目标值放在右侧。偏差变量值放在右侧。偏差变量d1+ 和和d1应包含在所有目标应包含在所有目标等式中，用以反映实际解与目标值之间的偏差。等式中，用以反映实际解

41、与目标值之间的偏差。步骤步骤6：写出目标函数，并使优先级函数中的偏差：写出目标函数，并使优先级函数中的偏差变量最小化。变量最小化。14.2 目标规划：较复杂问题的解法目标规划：较复杂问题的解法在第在第14.1节中，我们创建并求解了包含第一优先节中，我们创建并求解了包含第一优先级和第二优先级目标的目标规划模型。在这一节级和第二优先级目标的目标规划模型。在这一节中，我们将介绍如何创建并求解同一优先级上有中，我们将介绍如何创建并求解同一优先级上有多重目标的目标规划模型。虽然已经开发出的计多重目标的目标规划模型。虽然已经开发出的计算机程序能够用来处理目标规划模型，但这些程算机程序能够用来处理目标规划模

42、型，但这些程序还没有像一般用途的线性规划软件那么普及。序还没有像一般用途的线性规划软件那么普及。因此，本节所要讲述的计算机解题步骤还是利用因此，本节所要讲述的计算机解题步骤还是利用普通的线性规划软件对一系列线性规划模型进行普通的线性规划软件对一系列线性规划模型进行求解，从而得出目标规划的解。求解，从而得出目标规划的解。14.2.1 Suncoast办公用品问题办公用品问题 Suncoast办公用品的管理层针对不同类的客户制定办公用品的管理层针对不同类的客户制定了相应的月目标或配额。在接下来的了相应的月目标或配额。在接下来的4周里，周里，Suncoast的客户接触策略要求一个由的客户接触策略要求

43、一个由4名销售员组成名销售员组成的销售小组从购买公司产品的老顾客中挑出的销售小组从购买公司产品的老顾客中挑出200位并位并建立起联系。另外，这个策略还要求与建立起联系。另外，这个策略还要求与120位新客户位新客户建立联系。后面这个目标的目的在于确认销售小组建立联系。后面这个目标的目的在于确认销售小组能继续开拓新的销售市场。能继续开拓新的销售市场。Suncoast为销售员因出差、等候以及演示和直接销为销售员因出差、等候以及演示和直接销售的时间提供津贴，并给每一次接洽老客户分配了售的时间提供津贴，并给每一次接洽老客户分配了2小时的销售时间。接洽新客户则需要更长的时间，小时的销售时间。接洽新客户则需

44、要更长的时间，每次需每次需3小时。通常，每个销售员每周工作小时。通常，每个销售员每周工作40小时，小时，或是说在计划的或是说在计划的4周范围内工作周范围内工作160小时；按照正常小时；按照正常的工作安排，的工作安排，4名销售员将有名销售员将有4160=640（小时）的（小时）的销售时间可用于接洽客户。销售时间可用于接洽客户。 如果有必要，管理层更愿意使用一些加班时如果有必要，管理层更愿意使用一些加班时间；同时，如果所用的时间少于规定的间；同时，如果所用的时间少于规定的640小时，小时，他们也乐意接受。但是，不管是加班时间还是未他们也乐意接受。但是，不管是加班时间还是未被利用的时间，管理层希望在

45、被利用的时间，管理层希望在4周的时期里把它们周的时期里把它们都控制在都控制在40小时之内。这样，如果加班的话，管小时之内。这样，如果加班的话，管理层的目标销售时间不超过理层的目标销售时间不超过640+40=680（小时）（小时）；如果劳动力有富余，那么管理层希望销售时间；如果劳动力有富余，那么管理层希望销售时间不少于不少于640-40=600（小时）。（小时）。 除了客户接触这个目标外，除了客户接触这个目标外，Suncoast还制定了还制定了销售额目标。基于以往的经验，销售额目标。基于以往的经验，Suncoast估计每次估计每次与老客户的接触会带来与老客户的接触会带来250美元的销售额，而一次

46、美元的销售额，而一次与新客户的接触则会带来与新客户的接触则会带来125美元的销售额。管理美元的销售额。管理层希望下个月的销售额至少达到层希望下个月的销售额至少达到70 000美元。美元。 鉴于鉴于Suncoast规模很小的销售小组和较短的规模很小的销售小组和较短的时间，管理层决定把加班和劳动力使用度作为第时间，管理层决定把加班和劳动力使用度作为第一优先级目标。管理层还决定把一优先级目标。管理层还决定把70 000美元的销美元的销售额作为第二优先级目标，而那两个客户接触的售额作为第二优先级目标，而那两个客户接触的目标应该是第三优先及目标。确立了这些优先级目标应该是第三优先及目标。确立了这些优先级

47、后，现在我们可以总结目标如下：后，现在我们可以总结目标如下：第一优先级目标第一优先级目标目标目标1：销售时间不得超过：销售时间不得超过680小时。小时。目标目标2：销售时间不得少于：销售时间不得少于600小时。小时。第二优先级目标第二优先级目标目标目标3：销售额不少于：销售额不少于70 000美元。美元。第三优先级目标第三优先级目标目标目标4：接洽的老客户不少于：接洽的老客户不少于200位。位。目标目标5：接洽的新客户不少于：接洽的新客户不少于120位。位。14.2.2构建目标等式构建目标等式下面，我们定义决策变量，这些变量的值将用来确定下面，我们定义决策变量，这些变量的值将用来确定我们是否能

48、达到目标。假设：我们是否能达到目标。假设： E接洽的老客户的人数；接洽的老客户的人数； N接洽的新客户的人数。接洽的新客户的人数。利用这些决策变量以及合适的偏差变量，我们就能为利用这些决策变量以及合适的偏差变量，我们就能为每个目标建立一个目标等式。所用的步骤与前面小节每个目标建立一个目标等式。所用的步骤与前面小节中介绍的步骤相同。下面我们总结一下每个目标的等中介绍的步骤相同。下面我们总结一下每个目标的等式。式。目标目标1 2E+3N- d1+d1=680其中，其中， d1+销售小组所用的时间超过销售小组所用的时间超过680个小时的数个小时的数值；值；d1销售小组所用的时间少于销售小组所用的时间

49、少于680个小时的数值。个小时的数值。目标目标2 2E+3N- d2+d2=600其中，其中， d2+销售小组所用的时间超过销售小组所用的时间超过600个小时的数值个小时的数值；d2销售小组所用的时间少于销售小组所用的时间少于600个小时的数值。个小时的数值。目标目标3 250E+125N- d3+d3=70 000其中，其中， d3+销售额超过销售额超过70 000美元的数值；美元的数值；d3销售额少于销售额少于70 000美元的数值。美元的数值。目标目标4 E- d4+d4=200其中，其中， d4+接洽老顾客的人数超过接洽老顾客的人数超过200的数值；的数值； d4接洽老顾客的人数少于接

50、洽老顾客的人数少于200的数值。的数值。目标目标5 N- d5+d5=120其中，其中， d5+接洽新顾客的人数超过接洽新顾客的人数超过120的数值；的数值； d5接洽新顾客的人数少于接洽新顾客的人数少于120的数值。的数值。14.2.3 构建目标函数构建目标函数 为了构建为了构建Suncoast办公用品问题的目标函数，办公用品问题的目标函数，我们首先考虑第一优先级目标。考虑目标我们首先考虑第一优先级目标。考虑目标1的情的情况，如果况，如果d1+=0，这是可得到一个所用销售时间，这是可得到一个所用销售时间不超过不超过680小时的解。因为小时的解。因为d1+大于零的解表示加大于零的解表示加班时间

51、超出接受的水平，所以目标函数应该使班时间超出接受的水平，所以目标函数应该使d1+最小化。考虑目标最小化。考虑目标2的情况，如果的情况，如果d2=0，这，这时可得到一个所用销售时间至少有时可得到一个所用销售时间至少有600小时的解小时的解。如果。如果d2大于零，劳动力使用度不能达到被接大于零，劳动力使用度不能达到被接受的水平。因此，第一优先级目标的目标函数应受的水平。因此，第一优先级目标的目标函数应该最小化该最小化d2。因为这两个第一优先级目标同等。因为这两个第一优先级目标同等重要，这样，第一优先级问题的目标函数为：重要，这样，第一优先级问题的目标函数为： min d1+d2- 考虑第二优先目标

52、，我们注意到管理层希望达到考虑第二优先目标，我们注意到管理层希望达到至少至少70 000美元的销售额。如果美元的销售额。如果d3=0，Suncoast的销的销售额将至少为售额将至少为70 000美元；如果美元；如果d30，销售额将少于，销售额将少于70 000美元。因此，第二优先级问题的目标函数：美元。因此，第二优先级问题的目标函数： min d3 接下来我们考虑第三优先级的问题的目标函数。考接下来我们考虑第三优先级的问题的目标函数。考虑目标虑目标4的情况，如果的情况，如果d4=0，我们得到将至少与老客，我们得到将至少与老客户接触户接触200次的解；但是，如果次的解；但是，如果d40，我们将无

53、法达，我们将无法达到接洽到接洽200位老顾客的目标。于是，目标位老顾客的目标。于是，目标4的目标是最的目标是最小化小化d4。考虑目标。考虑目标5的情况，如果的情况，如果d5=0，我们得到将，我们得到将至少与新客户接触至少与新客户接触120次的解；但是，如果次的解；但是，如果d50，我，我们将无法达到接洽们将无法达到接洽120位新顾客的目标。于是，目标位新顾客的目标。于是，目标5的目标是最小化的目标是最小化d5.如果目标如果目标4和目标和目标5同等重要的话，同等重要的话，那第三优先级的目标函数为：那第三优先级的目标函数为： min d4+d5但是，我们不妨假设管理层认为开拓新客户对于公但是，我们

54、不妨假设管理层认为开拓新客户对于公司的长期运营来说十分重要，这样目标司的长期运营来说十分重要，这样目标5就应该比目就应该比目标标4更重要。如果管理层认为目标更重要。如果管理层认为目标5的重要性是目标的重要性是目标4的两倍，第三优先级问题的目标函数就应是：的两倍，第三优先级问题的目标函数就应是： min d4+2d5 综合综合3个优先级的目标函数，我们得到个优先级的目标函数，我们得到Suncoast办办公用品问题的总目标函数：公用品问题的总目标函数： min P1 (d1+)+P1 (d2)+P2(d3)+P3(d4)+P3 (2d5) 正如我们前面提到的，正如我们前面提到的，P1 、P2 和和

55、P3都只是符号都只是符号，提醒我们目标，提醒我们目标1和目标和目标2 是第一优先级目标，目标是第一优先级目标，目标3是第二优先级目标，而目标是第二优先级目标，而目标4和目标和目标5是第三有线节是第三有线节目标。目标。 现在我们写出办公用品问题完整的目标规划模型，现在我们写出办公用品问题完整的目标规划模型，如下：如下：min P1 (d1+)+P1 (d2)+P2 (d3)+P3(d4)+P3 (2d5)s.t. 2E+ 3N - d1+ +d1 = 680 P1目标目标2E+ 3N -d2+ +d2 = 600 P2目标目标250E+125N -d3+d3 =70 000 P3目标目标 E -

56、d4+d4 = 200 P4目标目标 N -d5+d5= 120 P5目标目标E ,N , d1+ ,d1 , d2+ ,d2 , d3+ ,d3 ,d4+ ,d4 ,d5+ ,d5 014.2.4 计算机求解计算机求解 下面介绍的计算机解决步骤是先解一系列线下面介绍的计算机解决步骤是先解一系列线性规划问题，然后给出一个目标规划模型的解。性规划问题，然后给出一个目标规划模型的解。第一个问题包含所有的约束条件和完整的目标规第一个问题包含所有的约束条件和完整的目标规划模型的所有目标等式；但是，这个问题的目标划模型的所有目标等式；但是，这个问题的目标等式只包括等式只包括P1优先级目标。所以我们把这个

57、问题优先级目标。所以我们把这个问题称为称为P1问题。问题。 无论无论P1问题的解是什么，问题的解是什么，P2问题都是在问题都是在P1模模型的基础上增加一个约束条件而形成的，但是这型的基础上增加一个约束条件而形成的，但是这个约束条件的增加不能影响个约束条件的增加不能影响P1问题的解。第二优问题的解。第二优先级问题的目标函数仅考虑先级问题的目标函数仅考虑P2目标。我们重复这目标。我们重复这个过程，直到我们考虑到了所有的优先级。在计个过程，直到我们考虑到了所有的优先级。在计算算Suncoast办公用品问题时，我们用的是管理科学办公用品问题时，我们用的是管理科学家软件的线性规划模块。家软件的线性规划模

58、块。为了求解为了求解Suncoast办公用品问题，我们首先解办公用品问题，我们首先解P1问问题：题：min d1+ d2s.t. 2E+ 3N - d1+ +d1 = 680 P1目标目标2E+ 3N -d2+ +d2 = 600 P2目标目标250E+125N -d3+d3 =70 000 P3目标目标 E -d4+d4 = 200 P4目标目标 N -d5+d5= 120 P5目标目标E ,N , d1+ ,d1 , d2+ ,d2 , d3+ ,d3 ,d4+ ,d4 ,d5+ ,d5 0在图在图14-4中，我们可以看到管理科学家软件对这个中，我们可以看到管理科学家软件对这个线性规划的解

59、。注意，线性规划的解。注意，D1PLUS指代指代d1+，D2MINUS指代指代d2，D1MINUS指代指代d1，以此类推，以此类推。在这个解中，接洽了。在这个解中，接洽了E=250位老客户和位老客户和N=60位新位新客户。因为客户。因为D1PLUS=0且且D2MINUS=0，所以我们，所以我们看到这个解即达到了目标看到这个解即达到了目标1，也到达了目标，也到达了目标2的客户的客户要求。换句话说，目标函数的值为要求。换句话说，目标函数的值为0，表明第一优，表明第一优先级的两个目标都达到了。接下来，我们考虑目标先级的两个目标都达到了。接下来，我们考虑目标3，即第二优先级的目标，它要最小化，即第二优

60、先级的目标，它要最小化D3MINUS。图图14-4中的解显示中的解显示D3MINUS=0。因此，接洽。因此，接洽E=250位老客户和位老客户和N=60位新客户的解也满足目标位新客户的解也满足目标3，即第二优先级目标，这个解产生了至少，即第二优先级目标，这个解产生了至少70 000的的美元的销售额。美元的销售额。 事实上，事实上，D3MINUS=0表明现有的解刚好表明现有的解刚好满足目标满足目标3，即正好为，即正好为70 000美元。最后，美元。最后，图图14-4中的解显示中的解显示D4PLUS=50以及以及D5MINUS=60。这些值告诉我们第三优先。这些值告诉我们第三优先级的目标级的目标4不