苏北四市2014届高三第一学期期末调研考试数学试卷

1、苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试数学试卷1 / 10苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试数学试题数学数学 必做题部分必做题部分 （本部分满分 160 分，时间 120 分钟）参考公式：锥体的体积公式：，其中是锥体的底面面积，是高13vshsh一、填空题：本题共一、填空题：本题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分分. .请把答案填写在答题卡上请把答案填写在答题卡上1设复数为虚数单位 ,若为实数,则的值为 122i ,izzm(mr，i)12zzm2已知集合，且，则实数的值是 2, aa a 1,1,3b aba3某林场有树苗 3000

2、 棵，其中松树苗 400 棵为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为 150 的样本，则样本中松树苗的棵数为 4在的边上随机取一点, 记和的面积分别为和，则的概率是 abcabpcapcbp1s2s122ss 5已知双曲线的一条渐近线方程为，22221xyab20 xy则该双曲线的离心率为 6右图是一个算法流程图，则输出的值是 s7函数的定义域为 ( )lg(23 )xxf x 8若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为 1，则此三棱锥2的体积为 9在中，已知，且的面积abc3ab o120aabc为，则边长为 15 34bc10已知函数，则不等式的( )2f xx x( 2)(1)fx

3、f解集为 11已知函数的最大值与最小正周期相同，则函数在上的单调增( )2sin(2) (0)4f xx( )f x 1 1 ，区间为 12设等比数列的前项和为，若成等差数列，且，其中，nanns435aaa，33ks ，163ks kn则的值为 2ks13在平面四边形中，已知，点分别在边上，且，abcd3ab 2dc ,e f,ad bc3adae 若向量与的夹角为，则的值为 3bcbf ab dc60ab ef 14在平面直角坐标系中，若动点到两直线：和：的距离之和为，xoy( , )p a b1lyx2l2yx 2 2开始结束输出s10n 2nnyn0,1sn（第 6 题图）ssn注意事

4、项注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共 4 页，均为非选择题（第 1 题第 20 题，共 20 题） 。本卷满分为 160 分，考试时间为 120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。4如需作图，须用 2b 铅笔绘、写清楚，线条、符号等加黑、加粗。苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试数学试卷2 / 10则的最大值为

5、 22ab二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤过程或演算步骤15(本小题满分 14 分)已知向量，(cos,sin )a(2,1)b (1)若，求的值；absincossincos (2)若，求的值2ab(0,)2sin()416(本小题满分 14 分)如图，在三棱锥中，点分别是棱的中点pabc,e f,pc ac(1)求证：/平面；pabef (2)若平面平面，求证：pab abcpbbcbcpa17(本小题满分 14 分

6、)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长o后通过点的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为 30 米，其中大圆弧所在圆的半径为 10o米设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度） x（1）求关于的函数关系式；x（2）已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为 4 元/米，弧线部分的装饰费用为 9 元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为，求关于的函数关系式，并求出为何yyxx值时，取得最大值？y18(本小题满分 16 分)已知的三个顶点，其外接圆为abc( 1, 0)a (1, 0)b(3, 2)cha(1)若直线 过点，且被截得的

7、弦长为 2，求直线 的方程；lchalpabcfe（第 16 题图） o (第 17 题图)苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试数学试卷3 / 10(2)对于线段上的任意一点，若在以为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线bhpc,m nm段的中点，求的半径的取值范围pncar19(本小题满分 16 分)已知函数（为常数） ，其图象是曲线325( )2f xxxaxb, a bc（1）当时，求函数的单调减区间；2a ( )f x（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实( )f x( )fx0 x00()f xx0() 0fx数的取值范围；b（3）已知点为曲线上的

8、动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲acac1lcbb线的切线，设切线的斜率分别为问：是否存在常数，使得？若存在，c2l12,l l12,k k21kk求出的值；若不存在，请说明理由20 （本小题满分 16 分）已知数列满足，是数列 的前项na1ax23ax2*1132 (2,)nnnsssnnnnnsnan和(1)若数列为等差数列na（）求数列的通项；na（）若数列满足，数列满足，试比较数列 前项和nb2nanb nc221nnnnct btbb nbn与前项和的大小；nbncnnc(2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围*nn1nnaax数学数学 附加题部分附加题部分苏北四

9、市 2014 届高三第一学期期末调研考试数学试卷4 / 10fedcba(第 21(a)图)注意事项注意事项1 本试卷共 2 页，均为非选择题（第 21 题第 23 题，共 4 题） 。本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2 作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。21. .【选做题选做题】本题包括本题包括 a a、b b、c c、d d 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，若多做，则按作答的前两题评分则按作答的前两题评分

10、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤a(选修选修 41：几何证明选讲：几何证明选讲)（本小题满分 10 分）如图，点为锐角的内切圆圆心，过点作直线dabcabd的垂线，垂足为，圆与边相切于点若，fdace50c求的度数defb(选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换)（本小题满分 10 分）设矩阵（其中） ，若曲线在矩阵所对应的变换作用下得到曲00abm00ab，c：221xy+=m线，求的值2214xcy：a b+c(选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程)（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系中，已知直线 的参数方程是（ 为参数）

11、；以 为极点，xoyl2224 22xtyt，to轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为由直线 上的点向圆引切xc2cos()4lc线，求切线长的最小值d(选修选修 45：不等式证明选讲：不等式证明选讲)（本小题满分 10 分）已知均为正数,证明：,a b c2222111()6 3abcabc【必做题必做题】第第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）某品牌汽车 4店经销

12、三种排量的汽车，其中三种排量的汽车依次有，4，3 款不同车s, ,a b c, ,a b c型某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能 (1)求该单位购买的 3 辆汽车均为种排量汽车的概率；b (2)记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为，求的分布列及数学期望xx23 （本小题满分 10 分）已知点，动点满足( 1, 0)a (1, 0)fp2|ap affp (1)求动点的轨迹的方程；pc (2)在直线 ：上取一点，过点作轨迹的两条切线，切点分别为问：是否存l22yxqqc,m n在点，使得直线/ ？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由qmnlq苏北四市 2014 届

13、高三第一学期期末调研考试苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试数学试卷5 / 10参考答案数学部分一、填空题：一、填空题：1 2 3 4 5 6 7 212013525(, 0) 8 9 10 11 12 13 14 1671, 1 3, 4 4129718二、解答题：15 （1）由可知，所以，2 分ab2cossin0a bsin2cos所以 6 分sincos2coscos1sincos2coscos3（2）由可得，(cos2,sin1)ab，22(cos2)(sin1)ab64cos2sin2即， 10 分12cossin0又，且 ，由可解得，12 分22cossin1(0,)2

14、3sin54cos5所以 14 分22 347 2sin()(sincos )()422551016 （1）在中，、分别是、的中点，所以，pacefpcac/paef又平面，平面，pabefef bef所以平面6 分/pabef（2）在平面内过点作，垂足为pabppdabd因为平面平面，平面平面，pab abcpababcab平面，所以平面,8 分pd pabpd abc又平面，所以，10 分bc abcpdbc又，平面，pbbcpdpbppd pab平面，所以平面，12 分pb pabbc pab又平面，所以14 分papabbcpa17(1)设扇环的圆心角为，则，30102(10)xx所以

15、，4 分10210 xx (2) 花坛的面积为7 分2221(10)(5)(10)550,(010)2xxxxx x pabcfed苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试数学试卷6 / 10装饰总费用为， 9 分9108(10)17010 xxx所以花坛的面积与装饰总费用的比， 11 分22550550=1701010(17)xxxxyxx令，则，当且仅当 t=18 时取等号，此时17tx3913243()101010ytt121,11x答：当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大14 分1x (注：注：对也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分)y18(1)线段的垂直平分线方程为，线段

16、的垂直平分线方程为，ab0 x bc30 xy所以外接圆圆心，半径，abc(0,3)h221310圆的方程为 4 分h22(3)10 xy设圆心到直线 的距离为，因为直线 被圆截得的弦长为 2，所以hldlh2( 10)13d 当直线 垂直于轴时，显然符合题意，即为所求；6 分lx3x 当直线 不垂直于轴时，设直线方程为，则lx2(3)yk x，解得，23131kk43k 综上，直线 的方程为或 8 分l3x 4360 xy(2)直线的方程为，设，bh330 xy( , )(01),( , )p m nmn x y因为点是线段的中点，所以，又都在半径为的圆上，mpn(,)22mx nym,m

17、nrc所以即10 分222222(3)(2),(3)(2).22xyrmxnyr222222(3)(2),(6)(4)4.xyrxmynr因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，, x y(3,2)r(6,4)mn为半径的圆有公共点，所以,12 分2r2222(2)(36)(24)(2 )rrmnrr又，所以对成立330mn，2221012109rmmr，0 1m，而在0，1上的值域为，10，所以且15 分 2101210f mmm，3252325r 2r109又线段与圆无公共点，所以对成立，即.bhc222(3)(332)mmr0 1m，2325r 故圆的半径的取值范围为

18、16 分cr10 4 10,)3519(1)当时， . 2 分2a 2( )352(31)(2)fxxxxx苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试数学试卷7 / 10令 f (x)0，解得，所以 f(x)的单调减区间为 4 分123x 1( 2,)3 (2) ，由题意知消去，2( )35fxxxa20032000035052xxaxxaxbxa得有唯一解6 分320005202xxxb令，则，325( )22g xxxx2( )651(21)(31)g xxxxx 所以在区间，上是增函数，在上是减函数，8 分( )g x1(,)2 1(,)311(,)23又，11()28g 17()3

19、54g 故实数的取值范围是 10 分b71(,)(,)548 (3)设，则点处切线方程为，00(,()a xf xa000()()()yf xfxxx与曲线：联立方程组，得，即，c( )yf x000( )()()()f xf xfxxx2005() (2)2xxxx所以点的横坐标 12 分b05(2)2bxx 由题意知，21000()35kfxxxa22000525( 2)122024kfxxxa若存在常数，使得，则，21kk220000251220(35)4xxaxxa即存在常数，使得，20025(4)(35)(1)4xxa所以解得， 15 分40,25(1)0.4a42512a 故时，存

20、在常数，使；时，不存在常数，使16 分2512a 4214kk2512a 21kk20(1)（）因为，所以，2*1132(2,)nnnsssnnnn32114sss即，又，所以， 2 分3212314aaa12,3ax ax3149ax又因为数列成等差数列，所以，即，解得，na2132aaa6149xxx1x 所以； 4 分*1111221naandnnn n（）因为，所以，其前项和，*21nannn21220nannbn0nb 又因为，5 分22211641nnnnnct btbbttb所以其前项和，所以，7 分n21641nncttb22 821nnncbttb苏北四市 2014 届高三第

21、一学期期末调研考试数学试卷8 / 10当或时，；当或时，；14t 12t nncb14t 12t nncb当时，9 分1142t nncb（2）由知，2*1132(2,)nnnsssnnnn2*21312()nnnsssnnn两式作差，得，10 分*2163(2,)nnnaaannnn所以,作差得， 11 分*321613()nnnaaannn*36(2,)nnaannn所以，当时，；1n 1naax当时，；31nk31216366234nkaaakxknx当时，；3nk331614966298nkaaakxknx当时，；14 分31nk314161666267nkaaakxknx 因为对任意

22、，恒成立，所以且，*nn1nnaa12aa3133132kkkkaaaa所以，解得，故实数的取值范围为16 分363669869866566563xxkxkxkxkxkxkx137156xx13 7,15 6数学部分21 【选做题选做题】a(选修选修 41：几何证明选讲：几何证明选讲)由圆与边相切于点，得，因为，得，dace90aeddfaf90afd所以四点共圆,所以 5 分,a d f edefdaf 又， 111()(180)90222adfabdbadabcbaccc 所以，由，得10 分1902defdafadfc 50c25defb （选修选修 4-2：矩阵与变换）：矩阵与变换）设

23、曲线上任意一点，在矩阵所对应的变换作用下得到点，c：221xy+=( , )p x ym111( ,)p x y则，即 5 分1100 xaxbyy 11axxbyy又点在曲线上，所以，则为曲线的方程111( ,)p x y2214xcy：221114xy2214axbyc苏北四市 2014 届高三第一学期期末调研考试数学试卷9 / 10又曲线的方程为，故，c221xy+=24a =21b =因为，所以 10 分00ab，3ab+=c （选修（选修 4-4：坐标系与参数方程）：坐标系与参数方程）因为圆的极坐标方程为，所以，csin2cos2sin2cos22所以圆的直角坐标方程为，圆心为,半径为 1,4 分c02222yxyx22,22因为直线 的参数方程为（ 为参数） ，l2,224 22xtytt所以直线l上的点向圆 c 引切线长是22,4 222ttp，2222222224 214242 62222ttpcrt所以直线l上的点向圆 c 引的切线长的最小值是62 10 分d （选修（选修 4-5：不等式选讲）：不等式选讲）证法证法一：因为均为正数，由均值不等式得，2 分a b c，22223()abcabc3因为，所以 5 分13111()abcabc3223111()abcabc) 9故 22222233111()()abcabcabca