十字相乘法分解因式（精编版）

1、十字相乘法分解因式同学们都知道， 型的二次三项式是分解因式中的常见题型，那么此类多项式该如何分解呢？观察 =，可知 =。这就是说，对于二次三项式，如果常数项b 可以分解为p、q 的积，并且有p+q=a，那么=。这就是分解因式的十字相乘法。下面举例具体说明怎样进展分解因式。例 1、因式分解。分析：因为7x+(-8x) =-x解：原式 =x+7 x-8 例 2、因式分解。分析：因为-2x+ -8x =-10x解：原式 =x-2 x-8 例 3、因式分解。分析：该题虽然二次项系数不为1，但也可以用十字相乘法进展因式分解。因为9y+10y=19y解：原式 =2y+3 3y+5例 4、因式分解。分析：因

2、为21x + (-18x)=3x解：原式 =2x+3 7x-9 例 5、因式分解。分析：该题可以将x+2 看作一个整体来进展因式分解。因为-25 x+2+-4(x+2)= -29x+2解：原式 =2 x+2-55x+2 -2= 2x-1 5x+8例 6、因式分解。分析：该题可以先将看作一个整体进展十字相乘法分解，接着再套用一次十字相乘。因为-2+-12=-14a+(-2a)=-a3a+ -4a =-a解：原式 =-2 -12=(a+1)(a-2)(a+3)(a-4)从上面几个例子可以看出十字相乘法对于二次三项式的分解因式十分方便，大家一定要熟练掌握。 但要注意， 并不是所有的二次三项式都能进展

3、因式分解，如在实数围就不能再进一步因式分解了因式分解的一点补充十字相乘法5 / 5九中尤启平教学目标21使学生掌握运用十字相乘法把某些形如ax +bx+c 的二次三项式因式分解；2进一步培养学生的观察力和思维的敏捷性。教学重点和难点重点：正确地运用十字相乘法把某些二次项系数不是1 的二次三项式因式分解。难点：灵活运用十字相乘法因分解式。教学过程设计一、导入新课前一节课我们学习了关于x2+p+qx+pq 这类二次三项式的因式分解，这类式子的特点是：二次项系数为1，常数项是两个数之积，一次项系数是常数项的两个因数之和。2因此，我们得到x +p+qx+pq=x+p (x+q).课前练习 ：以下各式因

4、式分解221- x+2 x+152 x+y -8 x+y+48；42223x-7x +18；4 x -5xy+6y。答： 1- x+3 x-5 ；2 x+y-12 x+y+4 ；3 x+3 x-3 x 2+2；4 x-2y x-3y 。2我们已经学习了把形如x +px+q 的某些二次三项式因式分解，也学习了通过设辅助元的2方法把能转化为形如x +px+q 型的某些多项式因式分解。2对于二次项系数不是1 的二次三项式如何因式分解呢？这节课就来讨论这个问题，即把某些形如ax +bx+c 的二次三项式因式分解。二、新课2例 1把 2x -7x+3 因式分解。分析： 先分解二次项系数，分别写在十字穿插

5、线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字穿插线的右上角和右下角，然后穿插相乘，求代数和，使其等于一次项系数。分解二次项系数只取正因数：2=1× 2=2× 1；-7 。分解常数项：3=1× 3=3× 1=-3 × -1 =-1 × -3 。用画十字穿插线方法表示以下四种情况：11131-11-32 × 32× 12× -32× -11× 3+2× 11× 1+2× 31×-3 +2×-1 1×-1 +2×-3 =

6、5=7= -5=-7经过观察， 第四种情况是正确有。这是因为穿插相乘后，两项代数和恰等于一次项系数2解2x-7x+3= x-3 2x-1 。一般地， 对于二次三项式ax2+bx+ca0，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即 a=a1a2，常数项c 可以分解成两个因数之积，即c=c 1c2，把 a1， a2， c 1， c 2 排列如下：a1c1a2× c2a1c 2 + a 2c12122按斜线穿插相乘，再相加，得到a1c2+a2c 1，假设它正好等于二次三项式ax +bx+c 的一次项系数 b，即 a1c2+a2c 1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1 与

7、 a2x+c2 之积，即1ax2 +bx+c=a x+c a x+c 。像这种借助开十字穿插线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。2例 2把 6x -7x-5分解因式。分析：按照例1 的方法，分解二次项系数6 与常数项 -5 ，把它们分别排列，可有8 种不同的排列方法，其中的一种213× -52× -5 +3× 1=-7是正确的，因此原多项式可以用直字相乘法分解因式。2解 6x-7x-5= 2x+1 3x-5 。指出： 通过例 1 和例 2 可以看到， 运用十字相乘法把一个二次项系数不是1 的二次三项式因式分解，往往要经过屡次观察

8、，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式。对于二次项系数是1 的二次三项式， 也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何2把常数项分解因数。例如把x +2x-15 分解因式，十字相乘法是1-31×51×5+1× -3 =22所以 x +2x-15= x-3 x+5 。22例 3把 5x +6xy-8y分解因式。2分析： 这个多项式可以看作是关于x 的二次三项式，把-8y看作常数项， 在分解二次项与常数项系数时，只需分解5 与-8 ，用十字穿插线分解后，经过观察，选取适宜的一组，即125× -4221× -4 +5× 2=6解5x+6x

9、y-8y=x+2y 5x-4y 。指出：原式分解为两个关于x， y 的一次式。例 4把 x-y 2x-2y-3 -2 分解因式。分析： 这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先化简， 进展多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解。问：两个乘积的式子有什么特点，用什么方法进展多项式的乘法运算最简便？答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为 2 x-y ，它是第一个因式的二倍，然后把 x-y 看作一个整体进展乘法运算，可把原多项式变形为关于x-y 的二次三项式，就可以用址字相乘法分解因式了。解x-y 2x-2y-3 -2=x-y 2x-y -3 -21-2=2 x-y 2

10、-3 x-y -22× +1= x-y -2 2x-y +11× 1+2× -2 =-3=x-y-2 2x-2y+1 。指出：把 x-y 看作一个整体进展因式分解，这又是运用了数学中的“整体思想方法。三、课堂练习1. 用十字相乘法因式分解：22212x -5x-12 ；2 3x -5x-2 ；3 6x-13x+5 ；22247x-19x-6 ；5 12x -13x+3 ；6 4x+24x+27。2. 把以下各式因式分解：22216x -13x+6y；28x y22+6xy-35 ；222318x -21xy+5y；42 a+b +a+b a-b -6 a-b 。答

11、案： 1 1 x-4 2x+3；2 x-2 3x+1；3 2x-1 3x-5 ；4 x-3 7x+2；5 3x-1 4x-3 ；6 2x+3 2x+9。2 1 2x-3y 3x-2y ；2 2xy+5 4xy-7 ；3 3x-y 6x-5y ；4 3a-b 5b-a 。四、小结1用十字相乘法把某些形如ax2+bx+c 的二次三项式分解因式时，应注意以下问题：1正确的十字相乘必须满足以下条件： a1 c1在式子中，竖向的两个数必须满足关系a1a2=a， c1c2=c；在上式中，斜a2c2向的两个数必须满足关系a1c 2+a2c1=b，分解思路为“看两端，凑中间。2由十字相乘的图中的四个数写出分解

12、后的两个一次因式时， 图的上一行两个数中， a1 是第一个因式中的一次项系数， c1 是常数项；在下一行的两个数中， a2 是第二个因式中的一次项的系数， c 2 是常数项。3二次项系数 a 一般都把它看作是正数如果是负数，那么应提出负号，利用恒等变形把它转化为正数，只需把经分解在两个正的因数。22形如 x +px+q 的某些二次三项式也可以用十字相乘法分解因式。23但凡可用代换的方法转化为二次三项式ax +bx+c 的多项式，有些也可以用十字相乘法分解因式，如例4。五、作业1. 用十字相乘法分解因式：222212x +3x+1；22y +y-6 ；36x -13x+6 ；43a -7a-6

13、；22222256x -11xy+3y；64m+8mn+3n； 710x -21xy+2y；2288m-22mn+15n 。2. 把以下各式分解因式：2222214n +4n-15 ；26a +a-35 ；35x -8x-13 ；244x +15x+9 ；515x+x-2 ；66y+19y+10；2720-9y-20y；8 7x-1 2+4x-1 y+2 -20 y+2 。2答案：1. 1 2x+1 x+1；2 y+2 2y-3 ；3 2x-3 3x-2 ；4 a-3 3a+2；5 2x-3y 3x-y ；6 2m+n 2m+3n；7 x-2y 10x-y ；8 2m-3n 4m-5n。2. 1 2n-3 2n+5；2 2a+5 3a-7 ；3 x+1 5x-13 ；4 x+3 4x+3；5 3x-1 5x+2；6 2y+5 3y+2；7- 4y+5 5y-4 ；8 x+2y+3 7x-10y-27 。课堂教学设计说明1. 为了使学生切实掌握运用十字相乘法把某些二次三项式因式分解的思路和方法，在教学设计中，先通过例1，较祥尽地讲解借助画十字穿插线分解系数的具体方法，在此根底2上再进一步概括如何运用十字相乘法把二次三项式ax +bx+c 进展因式分解的一般思路和方法。只有使学生掌握了十字相乘法的一般法那么，才能进一步指导解决各种具体的问题，这种从特殊到一般，再从一般到特殊的