【数学】2020南京盐城二模数学试题及答案.

1、高三数学试题第 1页（共 4 页）南京市、盐城市南京市、盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试数数学学注意事项注意事项：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题）、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式：参考公式：圆锥的侧面积圆锥的侧面积公式：公式：srl，其其中中 r 为圆锥底面圆的半径，为圆锥底面圆的半径，l 为为圆锥的母线长圆锥的母线长一、填空题（本大题共一、

2、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出解答过程，请把答案写在不需写出解答过程，请把答案写在答题答题卡卡的的指定位置指定位置上）上）1已知集合 a x | x2k1，kz，bx | x(x5)0，则 ab2已知复数 z12i，其中 i 为虚数单位，则 z2的模为3如图是一个算法流程图，若输出的实数 y 的值为1，则输入的实数 x 的值为4某校初三年级共有 500 名女生，为了了解初三女生 1 分钟“仰卧起坐”项目训练情况，统计了所有女生 1 分钟“仰卧起坐”测试数据(单位： 个)， 并绘制了如下频率分布直方图，则 1 分钟至少能做到 30 个仰

3、卧起坐的初三女生有个5从编号为 1，2，3，4 的 4 张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为（第 4 题图）频率组距o605040302010个数0.010.015x0.035（第 3 题图）结束开始输入 xx?ylog2(2x+1)y2x输出 yyn高三数学试题第 2页（共 4 页）6已知函数 f (x)是定义在 r 上的奇函数，且周期为 2，当 x(0，1时，f (x)= xa3，则 f (a)的值为7若将函数 f (x)sin (2x+3)的图象沿 x 轴向右平移（0）个单位后所得的图象与 f (x)的图象关于 x

4、轴对称，则的最小值为8在abc 中，ab2 5，ac 5，bac90，则abc 绕 bc 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为9已知数列an为等差数列，数列bn为等比数列，满足a1，a2，a3b1，b2，b3a，b，2，其中 a0，b0，则 ab 的值为10已知点 p 是抛物线 x24y 上动点，f 是抛物线的焦点，点 a 的坐标为(0，1)，则pfpa的最小值为11已知 x，y 为正实数，且 xy2x4y41，则 xy 的最小值为12在平面直角坐标系 xoy 中，圆 c：(xm)2y2r2(m0)已知过原点 o 且相互垂直的两条直线 l1和 l2，其中 l1与圆 c 相交于 a，b 两点

5、，l2与圆 c 相切于点 d若 abod，则直线 l1的斜率为13在abc 中，bc 为定长，且|ab+2ac|3|bc|若abc 的面积的最大值为 2，则边bc 的长为14函数 f (x)exxb(e 为自然对数的底数，br)，若函数 g (x)f (f(x)12)恰有 4 个零点，则实数 b 的取值范围为二二、 解答题解答题:本大题共本大题共 6 小题小题， 计计 90 分分 解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的请把答案写在答题卡的指定区域指定区域内内15(本小题满分 14 分)如图，三棱锥 pabc 中，点 d，e

6、 分别为 ab，bc 的中点，且平面 pde平面 abc（1）求证：ac平面 pde；（2）若 pdac2，pe 3，求证：平面 pbc平面 abc（第 15 题图）pabcde高三数学试题第 3页（共 4 页）16(本小题满分 14 分)在abc 中，角 a，b，c 所对的边分别为 a，b，c，且 abcosccsinb（1）求 b 的值（2）设bac 的平分线 ad 与边 bc 交于点 d，已知 ad177，cosa725，求 b 的值17(本小题满分 14 分)如图，湖中有一个半径为 1 千米的圆形小岛，岸边点 a 与小岛圆心 c 相距 3 千米为方便游人到小岛观光，从点 a 向小岛建三

7、段栈道 ab，bd，be，湖面上的点 b 在线段ac 上，且 bd，be 均与圆 c 相切，切点分别为 d，e，其中栈道 ab，bd，be 和小岛在同一个平面上沿圆 c 的优弧（圆 c 上实线部分）上再修建栈道de记cbd 为（1）用表示栈道的总长度 f()，并确定 sin的取值范围；（2）求当为何值时，栈道总长度最短18(本小题满分 16 分)如图，在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 c：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，且过点(0， 3)（1）求椭圆 c 的方程；（2）已知bmn 是椭圆 c 的内接三角形，若点 b 为椭圆 c 的上顶点，原点 o 为bmn 的垂心，求线段 mn

8、的长；若原点 o 为bmn 的重心，求原点 o 到直线 mn 距离的最小值（第 18 题图）oxycdeab（第 17 题图）高三数学试题第 4页（共 4 页）19(本小题满分 16 分)已知函数 f(x)x3x2(a16)x， g(x)alnx，ar函数 h(x)f (x)xg (x)的导函数h(x)在52，4上存在零点（1）求实数 a 的取值范围；（2）若存在实数 a，当 x0，b时，函数 f (x)在 x0 时取得最大值，求正实数 b 的最大值；（3）若直线 l 与曲线 yf(x)和 yg(x)都相切，且 l 在 y 轴上的截距为12，求实数 a 的值20(本小题满分 16 分)已知无穷

9、数列an的各项均为正整数，其前 n 项和为 sn，记 tn为数列an的前 an项和，即 tna1a2aan（1）若数列an为等比数列，且 a11，s45s2，求 t3的值；（2）若数列an为等差数列，且存在唯一的正整数 n (n2)，使得tnan2，求数列an的通项公式；（3）若数列tn的通项为 tnn(n1)2，求证：数列an为等差数列高三数学附加卷试题第 1页（共 2 页）南京市、盐城市南京市、盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试数学附加题数学附加题注意事项注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟3答题前，考生务必将自己

10、的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡21 【选做题】在【选做题】在 a、b、c 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答卷答卷卡指定区域内卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换已知矩阵 m1 22 1， mn1 00 1（1）求矩阵 n；（2）求矩阵 n 的特征值b选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 c 的参数方程

11、为x2t，y12t2，（t 为参数） ，以原点 o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 极坐标方程为cos(4) 2若直线 l交曲线 c 于 a，b 两点，求线段 ab 的长c选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲已知 a0，证明：a21a2 2a1a2高三数学附加卷试题第 2页（共 2 页）【必做题】第【必做题】第 22 题、第题、第 23 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答卷卡指定区域内答卷卡指定区域内作答解作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买

12、每满 400 元的商品即可抽奖一次抽奖规则如下：抽奖者掷各面标有 16 点数的正方体骰子 1 次，若掷得点数大于 4，则可继续在抽奖箱中抽奖；否则获得三等奖，结束抽奖已知抽奖箱中装有 2 个红球与 m(m2，mn*)个白球，抽奖者从箱中任意摸出 2 个球，若 2 个球均为红球，则获得一等奖，若 2个球为 1 个红球和 1 个白球，则获得二等奖，否则，获得三等奖(抽奖箱中的所有小球，除颜色外均相同)（1）若 m4，求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率；（2）若一等奖可获奖金 400 元，二等奖可获奖金 300 元，三等奖可获奖金 100 元，记顾客一次抽奖所获得的奖金为 x，若商场希望 x 的

13、数学期望不超过 150 元，求 m 的最小值23(本小题满分 10 分)已知集合 an1，2，n，nn*，n2，将 an的所有子集任意排列，得到一个有序集合组(m1，m2，mm)，其中 m2n记集合 mk中元素的个数为 ak，kn*，km，规定空集中元素的个数为 0（1）当 n2 时，求 a1a2am的值；（2）利用数学归纳法证明：不论 n(n2)为何值，总存在有序集合组(m1，m2，mm)，满足任意 in*，im1，都有|aiai1|1高三数学答案 第 1 页 共 11 页南京市南京市盐城市盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准数学参考答案及

14、评分标准说明：说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，计分，计 70 分分. 不需写出解答过程，请把答案写在不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）答题

15、纸的指定位置上）11，3253144325512607286 5951022118122 5513214(1，12ln2)二二、解答题解答题（本大题共本大题共 6 小题小题，计计 90 分分.解答应写出必要的文字说明解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）请把答案写在答题纸的指定区域内）15(本小题满分本小题满分 14 分分)证明： （1）因为点 d，e 分别为 ab，bc 的中点，所以 deac2 分因为 ac平面 pde，de平面 pde，所以 ac平面 pde4 分（2）因为点 d，e 分别为 ab，bc 的中点，所以 de12ac

16、又因为 ac2，所以 de1，因为 pd2，pe 3，所以 pd2pe2de2，因此在pde 中，pede8 分又平面 pde平面 abc，且平面 pde平面 abcde，pe平面 pde，所以 pe平面 abc， 12 分又因为 pe平面 pbc，所以平面 pbc平面 abc14 分高三数学答案 第 2 页 共 11 页16(本小题满分本小题满分 14 分分)解： （1）因为 abcosccsinb，由asinabsinbcsinc，得 sinasinbcoscsincsinb 2 分又因为 sinasin(bc)sin(bc)sinbcosccosbsinc，所以 sinbcosccosb

17、sincsinbcoscsincsinb，即 cosbsincsincsinb 4 分因为 0c，所以 sinc0，所以 sinbcosb又 0b，所以 sinb0，从而 cosb0，所以 tanb1，所以 b4 6 分（2）因为 ad 是bac 的平分线，设bad，所以 a2，因为 cosa725，所以 cos2cosa725，即 2cos21725，所以 cos2925，因为 0a，所以 02，所以 cos35，所以 sin 1cos245在abd 中，sinadbsin(b)sin(4)sin4coscos4sin22(3545)7 2108 分由adsinbabsinadb，所以 ab

18、adsinadbsinb1777 210 217510 分在abc 中，sina 1cos2a2425，所以 sincsin(ab)sinacosbcosasinb22(2425725)17 250 12 分由bsinbcsinc，所以 bcsinbsinc1752217 2505 14 分17(本小题满分本小题满分 14 分分)解： （1）连接 cd，因为 bd 与圆 c 相切，切点为 d，所以bcd 为直角三角形因为cbd，且圆形小岛的半径为 1 千米，所以 db1tan，bc1sin因为岸边上的点 a 与小岛圆心 c 相距 3 千米，所以 abacbc31sin2 分又因为 be 与圆

19、c 相切，所以 bedb1tan，优弧de所对圆心角为 2(2) 2，所以优弧de长 l 为2， 4 分高三数学答案 第 3 页 共 11 页所以 f()abbdbel31sin1tan1tan2322cos1sin 6 分因为 0ab2，所以 031sin2，解得13sin1，所以 sin的取值范围为(13，1) 8 分（2）由 f()322cos1sin，得 f ()2+cossin22cos(12cos)sin2 10 分令 f ()0 ，解得 cos12，因为为锐角，所以3 12 分设 sin013，0为锐角，则 003当(0，3)时，f ()0，则 f()在(0，3)单调递减；当(3

20、，2)时，f ()0，则 f()在(3，2)单调递增，所以 f()在3时取得最小值答：当3时，栈道总长度最短14 分18(本小题满分本小题满分 16 分分)解： （1）记椭圆 c 的焦距为 2c因为椭圆 c 的离心率为12，所以ca12因为椭圆 c 过点 (0， 3)，所以 b 3因为 a2c2b2，解得 c1，a2，故椭圆 c 的方程为x24y2312 分（2）因为点 b 为椭圆 c 的上顶点，所心 b 点坐标为(0， 3)因为 o 为bmn 的垂心，所以 bomn，即 mny 轴由椭圆的对称性可知 m，n 两点关于 y 轴对称4 分不妨设 m(x0，y0)，则 n(x0，y0)，其中 3y

21、0 3又因为 mobn，所以mobn0，即(x0，y0)(x0，y0 3)0，得 x20y20 3y006 分又点 m(x0，y0)在椭圆上，则x024y0231高三数学答案 第 4 页 共 11 页由x20y20 3y00，x024y0231，解得 y0473或 y0 3(舍去)，此时|x0|2733故 mn2|x0|4733，即线段 mn 的长为47338 分方法 1设 b(m，n)，记线段 mn 中点为 d因为 o 为bmn 的重心，所以bo2od，则点 d 的坐标为(m2，n2) 10 分若 n0，则|m|2，此时直线 mn 与 x 轴垂直，故原点 o 到直线 mn 的距离为|m2|，

22、即为 1若 n0，此时直线 mn 的斜率存在设 m(x1，y1)，n(x2，y2)，则 x1x2m，y1y2n又x124y1231，x224y2231，两式相减得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)30，可得 kmny1y2x1x23m4n 12 分故直线 mn 的方程为 y3m4n(xm2)n2，即 6mx8ny3m24n20，则点 o 到直线 mn 的距离为 d|3m24n2|36m264n2将m24n231，代入得 d3n29 14 分因为 0n23，所以 dmin32又321，故原点 o 到直线 mn 距离的最小值为32 16 分方法 2设 m(x1，y1)，n(x2，y

23、2)，b(x3，y3)因为 o 为bmn 的重心，所以 x1x2x30，y1y2y30，则 x3(x1x2)，y3(y1y2)10 分因为x234y2331，所以(x1x2)24(y1y2)231将x124y1231，x224y2231，代入得x1x24y1y2312 12 分若直线 mn 的斜率不存在，则线段 mn 的中点在 x 轴上，从而 b 点位于长轴的顶点处，由于 ob2，所以此时原点 o 到直线 mn 的距离为 1高三数学答案 第 5 页 共 11 页若直线 mn 的斜率存在，设为 k，则其方程为 ykxn由ykxn，x24y231，消去 y 得，(34k2)x28knx4n2120

24、(*)则(8kn)24(34k2) (4n212)0，即 34k2n2，由根与系数关系可得 x1x28kn34k2，x1x24n21234k2，则 y1y2(kx1n)(kx2n)k2x1x2kn(x1x2)n23n212k234k2，代入x1x24y1y2312，得144n21234k2133n212k234k212，即 n2k234 14 分又 34k2n2，于是 34k2k234，即 3k2940 恒成立，因此 kr原点(0，0)到直线 mn 的距离为 d|n|k21k234k21114(k21)因为 k20，所以当 k0 时，dmin32，又321，故原点 o 到直线 mn 距离的最小

25、值为32 16 分19(本小题满分本小题满分 16 分分)解： （1）因为 h(x)f(x)xg(x)x2x(a16)alnx，所以 h(x)2x1ax2x2xax，令 h(x)0，得 2x2xa0因为函数 h(x)在52，4上存在零点，即 y2x2xa 在52，4上存在零点，又函数 y2x2xa 在52，4上单调递增，所以2(52)252a0，2424a0解得 10a28因此，实数 a 的取值范围为10，282 分（2）方法 1因为当 x0，b时，函数 f(x)在 x0 处取得最大值，即存在实数 a，当 x0，b时，f(0)f(x)恒成立，即 x3x2(a16)x0 对任意 x0，b都成立

26、4 分当 x0 时，上式恒成立；6 分当 x(0，b时，存在 a10，28 ，使得 x2x16a 成立， 8 分高三数学答案 第 6 页 共 11 页所以 x2x1628，解得3x4，所以 b4故当 a28，b 的最大值为 410 分方法 2由 f(x)x3x2(a16)x，得 f (x)3x22x(a16)设412(a16)4(3a47)，若0，则 f (x)0 恒成立，f(x)在0，b上单调递增，因此当 x0，b时，函数 f (x)在 x0 时不能取得最大值，于是0，4 分故 f (x)0 有两个不同的实数根，记为 x1，x2(x1x2)，若 x10，则当 x(0，x1)时，f (x)0，

27、f (x)在(0，x1)上单调递增，因此当 x0，b时，函数 f (x)在 x0 时不能取得最大值，所以 x106 分又 x1x2230，因此 x20，从而当 x(0，x2)时，f (x)0，f (x)单调递减；当 x(x2，)时，f (x)0，f (x)单调递增，若存在实数 a，当 x0，b时，函数 f(x)在 x0 处取得最大值，则存在实数 a，使得 f(0)f(b)成立，即 b3b2(a16)b08 分所以存在 a10，28，使得 b2b16a 成立，所以 b2b1628，解得3b4故当 a28，b 的最大值为 410 分（3） 设直线 l 与曲线 yf(x)相切于点 a(x1， f(x

28、1)， 与曲线 yg(x)相切于点 b(x2， g(x2)过 a(x1，f(x1)点的切线方程为 yx13x12(a16)x13x122x1(a16)( xx1)，即 y3x122x1(a16)x2x13x12过 b(x2，g(x2)点的切线方程为 yalnx2ax2( xx2)，即 yax2xalnx2a又因为直线 l 在 y 上的截距为12，所以3x122x1(a16)ax2，2x13x1212，alnx2a12，12 分由解得 x12，则24aax2，alnx2a12，消去 a，得 lnx21x22x20 14 分高三数学答案 第 7 页 共 11 页则（1）知 10a28，且 x20，

29、则 x257令 p(x)lnx1x2x，x57，)，则 p (x)1x12x22x12x2，因为 p (x)0，所以函数 p(x)在57，)上为增函数又因为 p(1)0，且函数 p(x)的图像是不间断的，所以函数 p(x)在57，)有唯一零点 1，所以方程 lnx21x22x20 的解为 x21，所以 a12，所以实数 a 的值为 1216 分20(本小题满分本小题满分 16 分分)解：（1）设等比数列an的公比为 q，因为 s45s2，所以 a1a2a3a45(a1a2)，即 a3a44(a1a2)，所以 a1q2(1q)4 a1(1q)因为数列an的各项均为正整数，所以 a1，q 均为正数

30、，所以 q24，解得 q2又 a11，所以 an2n1，从而 a34，所以 t3s4122223152 分（2）设等差数列an的公差为 d，则 ana1(n1)d因为数列an的各项均为正整数，所以 dz若 d0，令 an0，得 n1a1d，这与an为无穷数列相矛盾，因此 d0，即 dn4 分因为 snna1n(n1)d2，所以 tna1anan(an1)d2，因此tnana1(an1)d2由tnan2，得 a1(an1)d226 分因为 a1n*，dn，所以 2a1(an1)d2a11，因此 a11于是 1(n1)d222，即(n1)d22若 d0 时，则存在无穷多个 n(n2)使得上述不等式

31、成立，所以 d0 不合题意；8 分若 dn*时，则 n12d2因为存在唯一的正整数 n (n2)，使得该不等式成立，所以 212d23，即 1d22又 dn*，所以 d1，因此 an1(n1)1n 10 分（3）因为 sn1snan10，所以 sn1sn，即数列sn单调递增高三数学答案 第 8 页 共 11 页又 tn1tn(n1)(n2)2n(n1)2n10，所以 tn1tn，即 san1san，因为数列sn单调递增，所以 an1an 12 分又 ann*，所以 an1an1，即 an1an1，所以 an1a1(a2a1)(a3a2)(an1an)n，因此 an1a1n1n，即 ann（n2

32、），又 a11，所以 ann14 分由 tn1tnn1，得 aan1aan2aan1n1，因此 n1aan1an1，即 ann由知 ann，因此 an1an1，所以数列an为等差数列 16 分高三数学答案 第 9 页 共 11 页南京市南京市盐城市盐城市 2020 届高三年级第二次模拟考试届高三年级第二次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准数学附加题参考答案及评分标准说明：说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但

33、不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数21 【选做题】在【选做题】在 a、b、c 三小题中只能选做三小题中只能选做 2 题，每小题题，每小题 10 分，共计分，共计 20 分分请在请在答题答题卡指定区域内卡指定区域内作答作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤a选修选修 42：矩阵与变换：矩阵与变换解： （1）因为 m1 22 1，mn1 00 1，n= m12 分因为|m|11223， 4 分所以 n= m1132323

34、1313232313 6 分（2）n 的特征多项式 f()|+132323+13|(13)2(23)2( 13)(1) 8 分令 f()0，解得13或1，所以 n 的特征值是13和 1 10 分b选修选修 44：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程解：曲线 c 的普通方程为 y12(x2)218x2 2 分由直线 l 极坐标方程cos(4) 2，得(coscos4sinsin4) 2，高三数学答案 第 10 页 共 11 页即22x22y 2，所以直线 l 的方程为 yx24 分设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，联立方程组y18x2，yx2，消去 y，得 x28x160，6 分则 x1x28，x1x216，所以 ab 1(1)2|x1x2| 2 (x1x2)24x1x2 2 (8)24(16)16 10 分c选修选修 45：不等式选讲：不等式选讲证明：方法 1因为 a0，所以 a1a2，要证a21a2 2a1a2，只需证a21a2a1a (2 2)因为