2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)试题(新课标I,详解)

1、12014全国新课标卷(理科数学)12014新课标全国卷 已知集合 ax|x22x30，bx|2x0)的一个焦点，则点 f到 c 的一条渐近线的距离为()a. 3b3c. 3md3m4a解析 双曲线的一条渐近线的方程为 x my0.根据双曲线方程得 a23m，b23，所以 c 3m3，双曲线的右焦点坐标为( 3m3，0)故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为| 3m3|1m 3.52014新课标全国卷 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()a.18b.38c.58d.785d解析 每位同学有 2 种选法，基本事件的总数为 2416，其

2、中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有 2 个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 121678.图 1126 、2014新课标全国卷 如图 11，圆 o 的半径为 1，a 是圆上的定点，p 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 oa，终边为射线 op，过点 p 作直线 oa 的垂线，垂足为 m，将点 m 到直线 op 的距离表示成 x 的函数 f(x)，则 yf(x)在0，上的图像大致为()abcd6c解析 根据三角函数的定义，点 m(cos x，0)，opm 的面积为12|sin xcos x|，在直角三角形 opm 中， 根据等积关系得点 m 到直线 op 的距离， 即 f(x)|

3、sin xcos x|12|sin 2x|，且当 x2时上述关系也成立， 故函数 f(x)的图像为选项 c 中的图像72014新课标全国卷 执行如图 12 所示的程序框图，若输入的 a，b，k 分别为 1，2，3，则输出的 m()图 12a.203b.165c.72d.1587d解析 逐次计算，依次可得：m32，a2，b32，n2；m83，a32，b83，n3；m158，a83，b158，n4.此时输出 m，故输出的是158.8 2014新课标全国卷 设0，2 ， 0，2 ， 且 tan1sincos， 则()a32b323c22d228c解析 tan1sincoscos2sin2cos22s

4、in22cos2sin2cos2sin21tan21tan2tan42 ，因为0，2 ，所以424，2 ，又0，2 且 tantan42 ，所以42，即 22.9 、2014新课标全国卷 不等式组xy1，x2y4的解集记为 d，有下面四个命题：p1：(x，y)d，x2y2，p2：(x，y)d，x2y2，p3：(x，y)d，x2y3，p4：(x，y)d，x2y1.其中的真命题是()ap2，p3bp1，p2cp1，p4dp1，p39b解析 不等式组表示的区域 d 如图中的阴影部分所示，设目标函数 zx2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点 a(2，1)处取得最小值，且 zmin220，即

5、x2y 的取值范围是0，)，故命题 p1，p2为真，命题 p3，p4为假102014新课标全国卷 已知抛物线 c：y28x 的焦点为 f，准线为 l，p 是 l 上一点，q 是直线 pf 与 c 的一个交点若fp4fq，则|qf|()a.72b3c.52d210b解析 由题知 f(2，0)，设 p(2，t)，q(x0，y0)，则 fp(4，t)，fq(x02，y0)，由 fp4fq，得44(x02)，解得 x01，根据抛物线定义得|qf|x023.112014新课标全国卷 已知函数 f(x)ax33x21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且4x00，则 a 的取值范围是()a(2，)b(1，

6、)c(，2)d(，1)11c解析 当 a0 时，f(x)3x21，存在两个零点，不符合题意，故 a0.由 f(x)3ax26x0，得 x0 或 x2a.若 a0，即可解得 a0，则 f(x)极大值f(0)10，此时函数 f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意综上可知，实数 a 的取值范围为(，2)122014新课标全国卷 如图 13，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()图 13a62b6c42d412 b解析 该几何体是如图所示的棱长为 4 的正方体内的三棱锥 ecc1d1(其中 e为 bb1的中点)，其中最长的棱为 d1e

7、 （42）2226.132014新课标全国卷 (xy)(xy)8的展开式中 x2y7的系数为_(用数字填写答案)1320解析 (xy)8的展开式中 xy7的系数为 c788，x2y6的系数为 c6828，故(xy)(xy)8的展开式中 x2y8的系数为 82820.142014新课标全国卷 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 a，b，c 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 b 城市；乙说：我没去过 c 城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_14a解析 由于甲没有去过 b 城市，乙没有去过 c 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为 a 城市又由于甲最多去过

8、两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为 a 城市5152014新课标全国卷 已知 a，b，c 为圆 o 上的三点，若ao12(abac)，则ab与ac的夹角为_1590解析 由题易知点 o 为 bc 的中点，即 bc 为圆 o 的直径，故在abc 中，bc 对应的角 a 为直角，即 ac 与 ab 的夹角为 90.162014新课标全国卷 已知 a，b，c 分别为abc 三个内角 a，b，c 的对边，a2，且(2b)(sin asin b)(cb)sin c，则abc 面积的最大值为_16. 3解析 根据正弦定理和 a2 可得(ab)(ab)(cb)c，故得 b2c2a

9、2bc，根据余弦定理得 cos ab2c2a22bc12，所以 a3.根据 b2c2a2bc 及基本不等式得bc2bca2，即 bc4，所以abc 面积的最大值为12432 3.17 、2014新课标全国卷 已知数列an的前 n 项和为 sn，a11，an0，anan1sn1，其中为常数(1)证明：an2an.(2)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由17解：(1)证明：由题设，anan1sn1，an1an2sn11，两式相减得 an1(an2an)an1.因为 an10，所以 an2an.(2)由题设，a11，a1a2s11，可得 a21，由(1)知，a31.若an为等差数列，则 2a2

10、a1a3，解得4，故 an2an4.由此可得a2n1是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n14n3；a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列，a2n4n1.所以 an2n1，an1an2.因此存在4，使得数列an为等差数列18 、 2014新课标全国卷 从某企业生产的某种产品中抽取 500 件， 测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图 14 所示的频率分布直方图：图 14(1)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 z 服从正态分布 n(，2)，其中近似为样本平均数

11、 x，2近似为样本方差 s2.(i)利用该正态分布，求 p(187.8z212.2)；6(ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 x 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求 ex.附： 15012.2.若 zn(，2)，则 p(z)0.682 6，p(2z2)0.954 4.18解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x和样本方差 s2分别为x1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200.s2(30)20.02(20)20.09(10)20.2200.331

12、020.242020.083020.02150.(2)(i)由(1)知，zn(200，150)，从而 p(187.8z212.2)p(20012.2zb0)的离心率为32，f 是椭圆 e 的右焦点，直线 af 的斜率为2 33，o 为坐标原点(1)求 e 的方程；(2)设过点 a 的动直线 l 与 e 相交于 p，q 两点，当opq 的面积最大时，求 l 的方程20解：(1)设 f(c，0)，由条件知，2c2 33，得 c 3.又ca32，所以 a2，b2a2c21.故 e 的方程为x24y21.(2)当 lx 轴时不合题意，故可设 l：ykx2，p(x1，y1)，q(x2，y2)将 ykx2

13、 代入x24y21 得(14k2)x216kx120，当16(4k23)0，即 k234时，x1，28k2 4k234k21，从而|pq| k21|x1x2|4 k21 4k234k21.8又点 o 到直线 l 的距离 d2k21.所以opq 的面积sopq12d|pq|4 4k234k21.设 4k23t，则 t0，sopq4tt244t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k72时等号成立，满足0，所以，当opq 的面积最大时，k72，l 的方程为 y72x2 或 y72x2.21 、2014新课标全国卷 设函数 f(x)aexln xbex1x，曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的

14、切线方程为 ye(x1)2.(1)求 a，b；(2)证明：f(x)1.21解：(1)函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xaxexbx2ex1bxex1.由题意可得 f(1)2，f(1)e，故 a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln x2xex1，从而 f(x)1 等价于 xln xxex2e.设函数 g(x)xln x，则 g(x)1ln x，所以当 x0，1e 时，g(x)0.故 g(x)在0，1e 上单调递减，在1e，上单调递增，从而 g(x)在(0，)上的最小值为 g1e 1e.设函数 h(x)xex2e，则 h(x)ex(1x)所以当 x(0，1)时，

15、h(x)0；当 x(1，)时，h(x)0 时，g(x)h(x)，即 f(x)1.222014新课标全国卷 选修 41：几何证明选讲如图 16，四边形 abcd 是o 的内接四边形，ab 的延长线与 dc 的延长线交于点 e，且 cbce.图 16(1)证明：de；(2)设 ad 不是o 的直径， ad 的中点为 m， 且 mbmc， 证明： ade 为等边三角形22证明：(1)由题设知 a，b，c，d 四点共圆，所以dcbe.由已知得cbee，故de.(2)设 bc 的中点为 n，连接 mn，则由 mbmc 知 mnbc，故 o 在直线 mn 上又 ad 不是o 的直径，m 为 ad 的中点，

16、故 omad，即 mnad，所以 adbc，故acbe.又cbee，故ae，由(1)知，de，所以ade 为等边三角形232014新课标全国卷 选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 c：x24y291，直线 l：x2t，y22t(t 为参数)(1)写出曲线 c 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 c 上任意一点 p 作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 a，求|pa|的最大值与最小值23解：(1)曲线 c 的参数方程为x2cos，y3sin(为参数)，直线 l 的普通方程为 2xy60.(2)曲线 c 上任意一点 p(2cos，3sin)到 l 的距离d55|4cos3sin6|，则|pa|dsin 302 55|5sin()6|，10其中为锐角，且 tan43.当 sin()1 时，|pa|取得最大值，最大值