2013年高考理科数学试题及答案-全国卷1

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标i)理科数学注意事项：1本试题分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，第卷1至3页，第卷3至5页2答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置3全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效4考试结束后，将本试题和答题卡一并交回第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合ax|x22x0，bx|x，则()aab babrcba dab2若复数z满足(34i)z|43i|，则z的虚部为()a4 b c4 d3为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生

2、进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()a简单随机抽样 b按性别分层抽样c按学段分层抽样 d系统抽样4已知双曲线c：(a0，b0)的离心率为，则c的渐近线方程为()ay bycy dy±x5执行下面的程序框图，如果输入的t1,3，则输出的s属于()a3,4 b5,2c4,3 d2,56如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()acm3 bcm3ccm3

3、dcm37设等差数列an的前n项和为sn，若sm12，sm0，sm13，则m()a3 b4 c5 d68某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()a168 b88c1616 d8169设m为正整数，(xy)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b.若13a7b，则m()a5 b6 c7 d810已知椭圆e：(ab0)的右焦点为f(3,0)，过点f的直线交e于a，b两点若ab的中点坐标为(1，1)，则e的方程为()a bc d11已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是()a(，0 b(，1c2,1 d2,012设anbncn的三边长分别

4、为an，bn，cn，anbncn的面积为sn，n1,2,3，.若b1c1，b1c12a1，an1an，bn1，cn1，则()asn为递减数列bsn为递增数列cs2n1为递增数列，s2n为递减数列ds2n1为递减数列，s2n为递增数列第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13已知两个单位向量a，b的夹角为60°，cta(1t)b.若b·c0，则t_.14若数列an的前n项和，则an的通项公式是an_.15设当x时，函数f(x)sin x2c

5、os x取得最大值，则cos _.16若函数f(x)(1x2)(x2axb)的图像关于直线x2对称，则f(x)的最大值为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(本小题满分12分)如图，在abc中，abc90°，ab，bc1，p为abc内一点，bpc90°.(1)若pb，求pa；(2)若apb150°，求tanpba.18(本小题满分12分)如图，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160°.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直线a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值19(本小题满

6、分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为x(单位：元)，求x的分布列及数学期望20(本小题满分12分)已知圆m：(x1

7、)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆p与圆m外切并且与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线c.(1)求c的方程；(2)l是与圆p，圆m都相切的一条直线，l与曲线c交于a，b两点，当圆p的半径最长时，求|ab|.21(本小题满分12分)设函数f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点p(0,2)，且在点p处有相同的切线y4x2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x2时，f(x)kg(x)，求k的取值范围请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2b铅笔在答题卡上将所选题号后的方

8、框涂黑22(本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，直线ab为圆的切线，切点为b，点c在圆上，abc的角平分线be交圆于点e，db垂直be交圆于点d.(1)证明：dbdc；(2)设圆的半径为1，bc，延长ce交ab于点f，求bcf外接圆的半径23(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知曲线c1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为2sin .(1)把c1的参数方程化为极坐标方程；(2)求c1与c2交点的极坐标(0,02)24(本小题满分10分)选修45：不等式选讲已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)

9、当a2时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)设a1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国课标i)理科数学（答案）卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.答案：b解析：x(x2)0，x0或x2.集合a与b可用图象表示为：由图象可以看出abr，故选b.2答案：d解析：(34i)z|43i|，.故z的虚部为，选d.3答案：c解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样4答案：c解析：，.a24b2，.渐近线方程为.5答案：a解析：若t1,1)，则执行s3t，故s3,3)若t

10、1,3，则执行s4tt2，其对称轴为t2.故当t2时，s取得最大值4.当t1或3时，s取得最小值3，则s3,4综上可知，输出的s3,4故选a.6答案：a解析：设球半径为r，由题可知r，r2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即oba为直角三角形，如图bc2，ba4，obr2，oar，由r2(r2)242，得r5，所以球的体积为(cm3)，故选a.7答案：c解析：sm12，sm0，sm13，amsmsm10(2)2，am1sm1sm303.dam1am321.smma1×10，.又am1a1m×13，.m5.故选c.8答案：a解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由

11、图中数据可知圆柱底面半径r2，长为4，在长方体中，长为4，宽为2，高为2，所以几何体的体积为r2×4×4×2×2816.故选a.9答案：b解析：由题意可知，a，b，又13a7b，即.解得m6.故选b.10答案：d解析：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b在椭圆上， ，得，即，ab的中点为(1，1)，y1y22，x1x22，而kab，.又a2b29，a218，b29.椭圆e的方程为.故选d.11答案：d解析：由y|f(x)|的图象知：当x0时，yax只有a0时，才能满足|f(x)|ax，可排除b，c.当x0时，y|f(x)|x22x|x22x.故由

12、|f(x)|ax得x22xax.当x0时，不等式为00成立当x0时，不等式等价于x2a.x22，a2.综上可知：a2,012答案：b第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13答案：2解析：cta(1t)b，b·cta·b(1t)|b|2. 又|a|b|1，且a与b夹角为60°，bc，0t|a|b|cos 60°(1t)，01t.t2.14答案：(2)n1解析：， 当n2时，. ，得，即2. a1s1， a11. an是以1为首项，2为公比的等比数列，an(2)n1.15答案：解析：f(x)sin x2cos x，令cos ，sin ，则f(x)sin

13、(x)，当x2k(kz)时，sin(x)有最大值1，f(x)有最大值，即2k(kz)，所以cos sin .16答案：16解析：函数f(x)的图像关于直线x2对称，f(x)满足f(0)f(4)，f(1)f(3)，即 解得f(x)x48x314x28x15.由f(x)4x324x228x80，得x12，x22，x32.易知，f(x)在(，2)上为增函数，在(2，2)上为减函数，在(2，2)上为增函数，在(2，)上为减函数f(2)1(2)2(2)28(2)15(8)(8)806416.f(2)1(2)2(2)28×(2)153(41615)9.f(2)1(2)2(2)28(2)15(8)

14、(8)806416. 故f(x)的最大值为16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)由已知得pbc60°，所以pba30°.在pba中，由余弦定理得pa2. 故pa.(2)设pba，由已知得pbsin .在pba中，由正弦定理得，化简得cos 4sin .所以tan ，即tanpba.18(1)证明：取ab的中点o，连结oc，oa1，a1b.因为cacb，所以ocab. 由于abaa1，baa160°，故aa1b为等边三角形，所以oa1ab.因为ocoa1o，所以ab平面oa1c. 又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)解：由(1)

15、知ocab，oa1ab. 又平面abc平面aa1b1b，交线为ab，所以oc平面aa1b1b，故oa，oa1，oc两两相互垂直以o为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.由题设知a(1,0,0)，a1(0，0)，c(0,0，)，b(1,0,0)则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面bb1c1c的法向量，则即可取n(，1，1)故cosn，.所以a1c与平面bb1c1c所成角的正弦值为.19解：(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件a1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件a2，第二次取出的4件产品都是优质品为事件b1，

16、第二次取出的1件产品是优质品为事件b2，这批产品通过检验为事件a，依题意有a(a1b1)(a2b2)，且a1b1与a2b2互斥，所以p(a)p(a1b1)p(a2b2)p(a1)p(b1|a1)p(a2)p(b2|a2).(2)x可能的取值为400,500,800，并且p(x400)，p(x500)，p(x800).所以x的分布列为x400500800pex506.25.20解：由已知得圆m的圆心为m(1,0)，半径r11；圆n的圆心为n(1,0)，半径r23.设圆p的圆心为p(x，y)，半径为r.(1)因为圆p与圆m外切并且与圆n内切，所以|pm|pn|(rr1)(r2r)r1r24.由椭圆

17、的定义可知，曲线c是以m，n为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为(x2)(2)对于曲线c上任意一点p(x，y)，由于|pm|pn|2r22，所以r2，当且仅当圆p的圆心为(2,0)时，r2.所以当圆p的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|ab|.若l的倾斜角不为90°，由r1r知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为q，则，可求得q(4,0)，所以可设l：yk(x4)由l与圆m相切得，解得k.当k时，将代入，并整理得7x28x80，解得x1,2.所以|ab|.当时，由图形的对称性可知|ab|.综上，|

18、ab|或|ab|.21解：(1)由已知得f(0)2，g(0)2，f(0)4，g(0)4.而f(x)2xa，g(x)ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4.从而a4，b2，c2，d2.(2)由(1)知，f(x)x24x2，g(x)2ex(x1)设函数f(x)kg(x)f(x)2kex(x1)x24x2，则f(x)2kex(x2)2x42(x2)(kex1)由题设可得f(0)0，即k1.令f(x)0得x1ln k，x22.若1ke2，则2x10.从而当x(2，x1)时，f(x)0；当x(x1，)时，f(x)0.即f(x)在(2，x1)单调递减，在(x1，)单调递增故f(x)在2，)的最小值为f(x1)而f(x1)2x124x12x1(x12)0.故当x2时，f(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则f(x)2e2(x2)(exe2)从而当x2时，f(x)0，即f(x)在(2，)单调递增而f(2)0，故当x2时，f(x)0，即f(x)kg(x)恒成立若ke2，则f(2)2ke222e2(ke2)0.从而当x2时，f(x)kg(x)不可能恒成立综上