2005年高考理科数学试题及答案(天津)

1、20052005 年普通高等学校招生全国统试一考试数学试题年普通高等学校招生全国统试一考试数学试题天津卷天津卷（理工类）（理工类）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分,共 150 分，考试用时 120 分钟。第卷 1 至2 页，第卷 3 至 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第第卷（选择题卷（选择题 共共 50 分）分）注意事项：注意事项：1.答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的

2、无效。参考公式：参考公式：如果事件 a、b 互斥，那么球的体积公式)()()(bpapbap334rv球如果事件 a、b 相互独立，那么其中 r 表示球的半径)(bap=)()(bpap柱体（棱柱、圆柱）的体积公式如果事件 a 在一次试验中发生的概率v柱体=sh是 p，那么 n 次独立重复试验中恰好发其中 s 表示柱体的底面积，生 k 次的概率h 表示柱体的高。pn（k）=cnpk(1-p)n-k一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的。（1）设集合, 914rxxxa, 03rxxxxb,则ba（）(a)2, 3(b

3、)25, 02, 3(c),253,(d),25)3,(2)若复数iia213（ra，i为虚数单位位）是纯虚数，则实数a的值为（）（a）-2(b)4(c)-6(d)6(3)给出下列三个命题若1 ba,则bbaa11若正整数m和n满足nm ,则2)(nmnm 设),(11yxp为 圆9:221 yxo上 任 一 点 ， 圆2o以),(baq为 圆 心 且 半 径 为 1. 当1)()(2121ybxa时,圆1o与圆2o相切其中假命题的个数为（）(a) 0(b) 1(c) 2(d)3(4)设、为平面，lnm、为直线，则m的一个充分条件是（）(a)lml,(b),m(c)m,(d)mnn,(5)设双

4、曲线以椭圆192522yx长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（）(a)2(b)34(c)21(d)43(6)从集合11, 3 , 2 , 1中任选两个元素作为椭圆方程12222nymx中的m和n,则能组成落在矩形区域,11|),(xyxb且9|y内的椭圆个数为（）(a)43(b) 72(c) 86(d) 90(7)某人射击一次击中的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（）(a)12581(b)12554(c)12536(d)12527(8)要得到函数xycos2的图象，只需将函数)42sin(2xy的图象上所有的点的（）(a)横坐标缩

5、短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8个单位长度(b)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动4个单位长度(c)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向左平行移动4个单位长度(d)横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再向右平行移动8个单位长度(9)设)(1xf是函数) 1( )(21)(aaaxfxx的反函数，则使1)(1xf成立的 x 的取值范围为（）(a),21(2aa(b)21,(2aa (c),21(2aaa (d),a(10)若函数) 1, 0( )(log)(3aaaxxxfa在区间)0 ,21(内单调递增， 则 a 的取值范围是 （）(a

6、) 1 ,41(b) 1 ,43(c),49(d)49, 1 (第第卷（非选择题卷（非选择题 共共 100100 分）分）注意事项：注意事项：1 答卷前将密封线内的项目填写清楚2 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上二填空题：本大题共 6 小题， 每小题 4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上。（11）设 nn,则12321666nnnnnncccc（12）如图，pa平面 abc，abc=90且 pa=ac=bc=a 则异面直线 pb 与ac 所成角的正切值等于_（ 13 ） 在 数 列 an 中 ,a1=1,a2=2, 且)( ) 1(12nnaannn则100s=_（14）在直角坐标系 xoy

7、 中，已知点 a(0,1)和点 b(-3,4)，若点 c 在aob的平分线上且|oc|=2,则oc=（15）某公司有 5 万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利 12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的 50%，下表是过去 200 例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192 次8 次则该公司一年后估计可获收益的期望是_（元）（ 16 ） 设)(xf是 定 义 在 r 上 的 奇 函 数 ， 且)(xfy 的 图 象 关 于 直 线21x对 称 ， 则)5()4()3()2() 1 (fffff=_三、解答题：本大题共 6 小题，共 76 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步

8、骤。(17)(本小题满分 12 分)在abc中 ，cba、所 对 的 边 长 分 别 为cba、， 设cba、满 足 条 件222abccb和321bc，求a和btan的值（18） （本小题满分 12 分）已知)0, 0,( 1221bannbabbabaaunnnnnn。（）当ba 时，求数列 nu的前 n 项和ns（）求1limnnnuu（19） （本小题满分 12 分）如图，在斜三棱柱111cbaabc 中，abaaaacabacaaba1111,，侧面11bccb与底面 abc 所成的二面角为120，e、f 分别是棱aacb111、的中点（）求aa1与底面 abc 所成的角（）证明ea

9、1平面fcb1（）求经过cbaa、1四点的球的体积（20） （本小题满分 12）某人在一山坡 p 处观看对面山项上的一座铁塔， 如图所示， 塔高 bc=80 （米） ， 塔所在的山高 ob=220 （米） ，oa=200（米） ，图中所示的山坡可视为直线 l 且点 p 在直线 l 上，l与水平地面的夹角为 a ,tana=1/2 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角bpc 最大（不计此人的身高）（21） （本小题满分 14 分）抛物线 c 的方程为)0(2aaxy，过抛物线 c 上一点 p(x0,y0)(x00)作斜率为 k1,k2的两条直线分别交抛物线 c 于 a(x1,y1)b(x2,y

10、2)两点(p,a,b 三点互不相同)，且满足) 10(012且kk。（）求抛物线 c 的焦点坐标和准线方程（）设直线 ab 上一点 m，满足mabm，证明线段 pm 的中点在 y 轴上（）当=1 时，若点 p 的坐标为（1，-1） ，求pab 为钝角时点 a 的纵坐标1y的取值范围（22） （本小题满分 14 分）设函数)( sin)(rxxxxf.（）证明xkxfkxfsin2)()2(,其中为 k 为整数；（）设0 x为)(xf的一个极值点，证明2040201)(xxxf；（ ） 设)(xf在 (0,+) 内 的 全 部 极 值 点 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 列,21naaa,

11、证 明), 2 , 1( 21naann题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）答案dcbdcbacab20052005 年全国普通高等学校招生考试数学答案年全国普通高等学校招生考试数学答案天津卷（理工类）天津卷（理工类）一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）二、填空题（每小题 4 分，共 24 分）（11）) 17(61n；（12）2； （13）2600； （14）)5103,510(； （15）4760；（16）0三、解答题（共 76 分，以下各题为累计得分，其他解法请相应给分）（17）解：由余弦定理212cos222bcacba，因此60a在abc中，bba

12、c120180由已知条件，应用正弦定理21cot23sinsin120coscos120sinsin)120sin(sinsin321bbbbbbbcbc，解得2cotb从而21tanb（18）解： （）当ba 时，nnanu) 1( 这时数列nu的前n项和nnnannaaaas) 1(432132式两边同乘以a，得1432) 1(432nnnannaaaaas式减去式，得132) 1(2)1 (nnnanaaaasa若1a，aanaaasannn1) 1(1)1 ()1 (，221212)1 (2)2() 1(1) 1()1 ()1 (aaaananaanaaaasnnnnn若1a，2)3(

13、) 1(32nnnnsnacgphoa1c1b1bef（）由（） ，当ba 时，nnanu) 1( ，则annanaanuunnnnnnn) 1(lim) 1(limlim11当ba 时，)(11)(1)()(1 111211nnnnnnnnnnnbabaababaabababababbaau此时，nnnnnnbabauu111若0 ba，aababbababauunnnnnnnnnnn)(1)(limlimlim111若0 ab，bbabbaauunnnnnn1)()(limlim1（19）解： （）过1a作ha1平面abc，垂足为h连结ah， 并延长交bc于g， 于是aha1为aa1与底面

14、abc所成的角acaaba11，ag为bac的平分线又acab ，bcag ，且g为bc的中点因此，由三垂线定理bcaa1bbaa11/，且bbeg1/，bceg 于是age为二面角ebca的平面角，即120age由于四边形agea1为平行四边形，得601aga（）证明：设eg与cb1的交点为p，则点p为eg的中点连结pf在平行四边形1agea中，因f为aa1的中点，故fpea/1而fp平面fcb1，ea1平面fcb1，所以/1ea平面fcb1（）连结ca1在aca1和aba1中，由于abac ，acaaba11，aaaa11，则aca1aba1，故baca11由已知得acabaaa111ao

15、plxybc又ha1平面abc，h为abc的外心设所求球的球心为o，则hao1，且球心o与aa1中点的连线aaof1在foart1中，3330cos21cos111aahaafaoa故所求球的半径ar33，球的体积33273434arv（20）解：如图所示，建立平面直角坐标系，则)0 ,200(a，)220, 0(b，)300, 0(c直线l的方程为tan)200( xy，即2200 xy设点p的坐标为),(yx，则)2200,(xxp（200 x）由经过两点的直线的斜率公式xxxxkpc28003002200，xxxxkpb26402202200由直线pc到直线pb的角的公式得6401602

16、886426402800121601tan2xxxxxxxxkkkkbpcpcpbpcpb28864016064xx（200 x）要使bpctan达到最大，只须288640160 xx达到最小由均值不等式2886401602288640160 xx当且仅当xx640160时上式取等号故当320 x时bpctan最大这时，点p的纵坐标y为602200320y由此实际问题知，20bpc，所以bpctan最大时，bpc最大故当此人距水平地面 60 米高时，观看铁塔的视角bpc最大（21）解： （）由抛物线c的方程2axy （0a）得，焦点坐标为)41, 0(a，准线方程为ay41（）证明：设直线pa

17、的方程为)(010 xxkyy，直线pb的方程为)(020 xxkyy点),(00yxp和点),(11yxa的坐标是方程组2010)(axyxxkyy的解将式代入式得000112yxkxkax，于是akxx101，故011xakx又点),(00yxp和点),(22yxb的坐标是方程组2010)(axyxxkyy的解将式代入式得000222yxkxkax于是akxx202，故022xakx由已知得，12kk，则012xkax设点m的坐标为),(mmyx，由mabm，则112xxxm将式和式代入上式得0001xxxxm，即00 xxm所以线段pm的中点在y轴上（）因为点) 1, 1 ( p在抛物线

18、2axy 上，所以1a，抛物线方程为2xy由式知111kx，代入2xy得211) 1(ky将1代入式得112 kx，代入2xy得222) 1(ky因此，直线pa、pb分别与抛物线c的交点a、b的坐标为) 12, 1(1211kkka，) 12, 1(1211kkkb于是)2, 2(1211kkkap，)4 ,2(11kkab ，) 12)(2(2)2(4)2(2111121111kkkkkkkkabap因pab为钝角且p、a、b三点互不相同，故必有0 abap求得1k的取值范围是21k或0211k又点a的纵坐标1y满足211) 1(ky，故当21k时，11y；当0211k时，4111y即)41, 1() 1,(1y（22）解： （）证明：由函数)(xf的定义，