(完整)相似三角形难题集锦(含答案),推荐文档

1、一、相似三角形中的动点问题1.如图，在 Rt ABC 中，/ ACB=90 , AC=3 BC=4,过 点 B作射线 BB1/ AC.动点 D 从点 A 出发沿射线 AC 方向 以每秒 5个单位的速度运动，同时动点E 从点 C 沿射线AC 方向以每秒 3 个单位的速度运动.过点D 作 DHLAB于 H,过点 E 作 EF 丄 AC 交射线 BB1 于 F, G 是 EF 中点，连接 DG 设点 D 运动的时间为 t 秒.(1) 当 t 为何值时，AD=AB 并求出此时 DE 的长度；(2) 当厶 DEGWACB 相似时，求 t 的值.(1) 当 x 为何值时，PQ/ BC?(2) APQ 与

2、CQB 能否相似？若能，求出 AP 的长; 若不能说明理由.沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动.如 果 P、Q 同时出发，用 t (s)表示移动的时间(Ovtv6)。(1) 当 t 为何值时， QAP 为等腰直角三角形？(2) 当 t 为何值时， 以点 Q A、 P 为顶点的三角形 与厶 ABC相似？求 CPQ 的面积 S (平方米)关于时间 t (秒)的函数 解析式；(2) 在 P, Q 移动的过程中，当 CPQ 为等腰三角形时， 求出 t 的值.二、构造相似辅助线一一双垂直模型6.在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的坐标为(2 , 1), 正比例函数y=kx

3、 的图象与线段 OA 的夹角是 45，求 这个正比例函数的表达式.3.如图 1，在 Rt ABC 中，二 ACB= 90, AC= 6, BC= 8, 点D 在边 AB 上运动，DE 平分二 CDB 交边 BC 于点 E, EM 丄 BD,垂足为 M, ENLCD 垂足为 N.(1) 当 AD= CD 时，求证：DE/ AC;(2) 探究：AD 为何值时， BMEWCNE 相似？度向 A 点运动，当 P 点到达 B 点时，Q 点随之停止运动.设运动的时间为 x.90, AB=6m BC=8m 动点 P 以 2m/s 的速度从 A 点出发， 沿AC 向点 C 移动.同时，动点 Q 以 1m/s

4、的速度从 C 点 出发，沿 CB 向点 B 移动.当其中有一点到达终点时，它 们都停止移动设移动的时间为t 秒.5.如图，在矩形 ABCD 中,AB=12cm, BC=6cm 点 P 沿AB 边从 A 开始向点 B 以2cm/s 的速度移动；点 Q4.如图所示， 在 ABC 中， BA= BC=20cm, AC= 30cm,点 P 从 A 点出发，沿着 AB 以每秒 4cm 的 速度向 B 点运动；同时点 Q 从 C 点出发，沿 CA以每秒 3cm 的速7.在厶 ABC 中，AB=： ,AC=4,BC=2 以 AB 为边在 C 点的异侧 作厶ABD使厶ABD为等腰直角 三角形，求线段 CD 的

5、长.13.在梯形 ABCD 中, AB/ CD AB= b, CD= a, E 为 AD边上的任意一点， EF/ AB,且 EF 交 BC 于点 F,某同学在研究这一问题时，发现如下事实:12.四边形 ABCC 中，AC 为 ABAD 的比例中项，且 AC 平分ZDAB9.如图，在直角坐标系中，矩形 ABCO 勺边 0A 在 x 轴上, 边0C 在 y 轴上，点 B 的坐标为（1, 3）,将矩形沿对角 线 AC 翻折 B 点落在 D 点的位 置，且 AD 交 y 轴于点 E.那 么 D 点的坐标为（）竺二1(1)当时，3 + 2&A. 2=B.(1C. I13D.4 12DE丁（3）

6、当一 时，点+空?DE士EF= .当 时,参照上述研究结论，请你猜想用 a、b 和 k 表示 EF 的一般结论，并给出证明.10.已知，如图，直线 y= - 2x + 2 与坐标轴交于 A、B 两 点.以 AB 为短边在第一象限做一个矩形 ABCD 使得矩形 的两边之比为 1 : 2。求 C、D 两点的坐标。三、构造相似辅助线AX 字型11.如图： ABC 中，D 是 AB 上一点，AD=AC BC 边上的 中线 AE 交 CD 于 F。ALCF14.已知：如图，在 ABC 中，M 是 AC的 中点，E、F 是 BC上 的两点，且 BE= EF=FCo求 BN NQ QMD8.在厶 ABC 中

7、，AC=BCZACB=90 ,点 M 是 AC 上的一点，点N 是 BC 上的一点，沿着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点.求 证：MC NC=AP PB.囹15.证明：(1)重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的(注：重心是三角形三条中线的交点)(2)角平分线定理：三角形一个角的平分线分 对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.19.已知，在 ABC 中作内接4菱形CDEF设菱形的边长为a 求证：二 1四、相似类定值问题16.如图，在等边厶 ABC 中，M N 分别是边 AB AC 的中 点，D为 MN 上任意一点，BD CD 的延长线分别交

8、 AC AB 于点 E、F.113- +- =-求证18.如图， 在 ABC 中， 已知 CD 为边 AB 上的高， 正方形 EFG啲四个顶点分别在 ABC 上。1 1 1-+-=-上二二口17.已知：如图，梯形 ABCD 中, AB/DC，对角线 AC BD 交于0,过 O 作 EF/AB 分别交 AD BC 于 E、F。1 I : :求证：一亠.五、相似之共线线段的比 例问题20. (1)如图 1,点广在平行四 边形ABCD 的对角线 BD 上，一 直线过点 P 分别交 BA BC 的延 长线于点Q S,交于点氏 F .求证：PQ - FS PT(2)如图 2,图 3，当点广在平行四边形

9、ABCD 的对 角线”或二三的延长线上时，二二工是否仍 然成立？若成立，试给出证明；若不成立，试说明理求证:图223.已知如图，P 为平行四边 形 ABCD 勺对角线 AC 上一点，过 P 的直线与 AD BCCD 的 延长线、AB 的延长线分别相 交于点 E、F、G H.PE _PH求证：丁24.已知，如图，锐角 ABC 中, ADL BC于 D, H 为垂心 （三角形 三条高线的交点） ；在AD上有一 点P,且/ BPC为直角.求证：PD2= AD- DH。于 F.求证：BP2=PE-PF .22.如图，已知ΔABC 中，AD, BF 分别为 BC, AC 边 上的高，

10、过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E,交 BF 于 G,交 AC 延长线于 Ho 求证：DE2=EG?EH六、相似之等积式类 型综合25.已知如图， CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中 点，ED 的延长线交 CA 于 F。求证：21.已知：如图， ABC中，AB= AC, AD 是中 线，P 是 AD 上一点， 过 C 作CF/ AB,延长 BP交 AC于E,交 CF26 如图，在 Rt ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，点 M 在 CD上，DFUBM 且与 AC 的延长线交于点 E.求证：(AEBACBM (2)AE CM = AO-CD七、相似基本模型

11、应用30. ABCADEF 是两个等腰 直角三角形，/ A=ZD=90, DEF的顶点 E 位于边 BC 的中 占上八 、一 I* (1)如图 1,设 DE 与 AB 交于27.如图， ABC 是直角三角形， / ACB=90 , CDLAB 于 D,E 是 AC 的中点，ED 的延长线与 CB 的延长线交于点 F.(1) 求证：(2) 若 G 是 BC 的中点，连接 GD GD 与 EF 垂直吗？并 说明理由28.如图， 四边形 ABCDDEFG 都是正方形， 连接 AE、 CG,AE 与 CG相交于点 M, CG 与 AD 相交于点 N.求证：29.如图，BD CE 分别是ABC 的两边上

12、的高， 过 D 作 DGL BC 于 G 分别交 CE 及 BA 的延长线于 F、Ho求证：(1) DG2= BG- CG (2) BG- CG= GF- GH31.如图，四边形 ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点 R 为DE 的中点， BR 分别交 AC CD 于 点P、Q(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为 1 除外)；(2)求 BP: PQ QR点 Ml, EF 与 AC 交于点 N,求证： BEMhACNE(2)如图 2，将 DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的 延长线交于点 M EF 与 AC 交于点 N,于是，除(1) 中的一对相似三角形外，能否再找出一

13、对相似三角形 并证明你的结论.32.如图，在 ABC 中，AD 丄 BC 于 D, DE 丄 AB 于 E, DF 丄AE _ ACAC于F。求证：如图当点 D 在点 E 左侧，即：0WtW 1时，DE=3t+3-5t=3-2t.若厶 DEG 与 ACB 相似，有两种情况：DS EG1厶 DE3AACB 此时亠- 一,3-2； 23-二.即：-4 ,求得：t=；DE EG2厶 DE3ABCA 此时 H -,3-2 21-二.如图，当点 D 在点 E 右侧，即：t二时，DE=5t-（3t+3）=2t-3 .若厶 DEG 与 ACB 相似，有两种情况：DE EG3厶 DE3AACB 此时丄二 二,

14、2-3 29-二.即：-4 ,求得：t=；DE EG4厶 DE3ABCA 此时-,2i-3217-ZZ -即： J -,求得：t= .39 17综上，t 的值为 f 或或 f 或.3.答案：解：（1）证明：TAD=CD/A=ZACD/ DE 平分-CDB 交边 BC 于点 E/CDE2BDE/CDB CDB 的一个外角答案： 1.答案： 解： （1 ） / ACB=90 , AC=3 BC=4 /AB=5又 AD=AB AD=5t40:丄CDB=/A+ZACD=2/ ACD/CDB=ZCDE+ZBDE=2/ CDEZ ACDZCDE10A=解得：- DE/ AC(2)ZNCEZMBE/ EML

15、 BD, EN 丄 CDBM3ACNE 如图/NCE=ZMBE BD=CD又/ NCE+ZACD=ZMBE-ZA=90ZACD=ZA AD=CD AD=BD 仝 AB在 Rt ABC 中，J ACB= 90, AC= 6, BC= 8 AB=10 AD=5ZNCE=ZMEB/ EMLBD, EN 丄 CD BME ENC 如图A D M BvZNCE=ZMEB EM/ CD CDLABv在 RtABC 中，JACB= 90 ,AC= 6,BC=8 AB=10vZA=ZA, ZADC=ZACBAC3AABCAD _ ACA_仝仆AC1g18AD =-=土 J.-18（2）能，AP=cm 或 AP

16、=20cmAP AQ*30-3A_ _1厶 APQ CBQ 则二匚匚,即二 二解得：.【一匚或.1（舍）此时：AP= cmAP AQ4 30-3x=二-2厶 APQ CQB 贝 U 丁-,即-； 二10A解得： （符合题意）40此时：AP= - cm40故 AP=“ cm 或 20cm 时，APQ 与 CQB 能相似.5. 答案：解：设运动时间为 t ,则 DQ=t , AQ=6-t , AP=2t ,BP=12-2t .（1） 若厶 QAP 为等腰直角三角形，贝 UAQ=AP即:6-t=2t , t=2 （符合题意） t=2 时，QAP 为等腰直角三角形.（2）ZB=ZQAP=90AQ _A

17、P6_爼1当 QAPAABC 时,一 I,即：二,6I 解得： 匚（符合题意）；AP _ AQ2i _ 6 -/2当 PAQ ABC 时,即：二 , 解得：二三（符合题意）.6 =当 -或： 二匚时， 以点 Q A、 P 为顶点的三角 形与 ABC相似.6. 答案：解：分两种情况第一种情况，图象经过第一、三象限综上：AD=5 或-时，BMEWCNE 相似.4.答案：解(1 )由题意： AP=4x, CQ=3x AQ=30-3x , 0C= 2, BD=AC= 1D 点坐标为（2, 3）B 点坐标为（1, 3）此时正比例函数表达式为：y= 3x第二种情况，图象经过第二、四象限情形二:rfBT号

18、r过点 A 作 AB 丄 0A 交待求直线于点 B，过点 A 作平行于 x 轴的直线交 y 轴于点 C,过点 B 作 BD 丄 AC则由上可知：=90由双垂直模型知： OCMAADBPC _ AC _0AA （2, 1）,么 0 占=45：0C= 1 , AC= 2, A0= AB AD= 0C= 1 , BD= AC= 2 : D 点坐标为（3, 1）: B 点坐标为（3,- 1）1:此时正比例函数表达式为： y= I x谆塞GZ蓝戌D乍円亡上时為嘰DF*辽厂書勺：忑吨干代F.VGJ，BC-2AAC+BC11KCBPOXVDFCF,些J3D为幫靈直龟三驚般BD=ABI,丄朋FBA907一亠駅

19、90情形三：A宦盘UFC申，oJnY二涵如圏/肖一皿=沁时；4IKIAM nMMuhM *连接QD這点 Q 诈R_q j,ECH = ABCAAFEA ADCCEHA CABAE EFCE _ EH二,AC/ EF= EHEH EPEF EFCE AE-十-=+ =- +- =.丄. AB CDAC AC1 11-+- =.，上工EF19.答案：证明：/ EF/ AC,DE/ BC口二 工广一；=W 、ZS 二 ZBBFEA BCAAED ABCBE EFDE AE 5BC ABEF DEBE AEAE-BEd- +- = -+- =-1AB ABAB EF= DE= a1+1 _ 1.，二匚

20、匚.20.答案：(1)证明：在平行四边形 ABCD 中, AD/ BC,/DRP=/ S,ZRDB=ZDBSDRPABSPPR _ DP同理由 AB/ CD 可证 PTMAPQBPT _ DP16.答案：证明:如图，作 DP/ AB DQ/ AC则四边形 MDPB 和四边形 NDQC 均为平行四边形且厶 DPQPR PT.(2)证明： 成立， 理由如下：在平行四边形 ABCD 中, AD/ BC,/PRD=/S,ZRDP=ZDBSDRPABSP21.答案：证明：/ AB= AC, AD 是中线, AD 丄 BC,BP=CP/ 仁/2又/ ABC 玄 ACB/3=Z4/ CF/AB/3=ZF,/

21、4=ZF 又/ EPC 玄 CPFEP3ACPFEP _ PC BP2= PE- PF 即证所求22.答案：证明：TDE 丄 AB1= 90_= 90 _ 三AD0ADBEAE _ DE DE2=上二/ BF 丄 AC=90=90且_SJS一心ZEBG=ZHPH _ PA兀-PC又/3=Z4 APE CPFTH 为垂心 BE 丄 AC/EBC+ZBCA=90TAD 丄 BC 于 D/DAC+ZBCA=90/EBC=ZDAC 又/ BDH=ZADC=90BDHTAADCBD _ AD.J_._-f,即亠ZBPC 为直角， AD 丄 BC. PD2= BD·DC PD2=AD

22、·DH25. 答案：证明：TCD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高，E 为BC 的中点 CE=EB=DE/B=ZBDE=Z FDABE3AHEA四边形 ABCD 为平行四边形AB/ CD, AD/ BC/仁/2，/GN H,Z5=Z6 PAHAPCG/B+ZCAB=90，/ACD+ZCAB=90/B=ZACDZFDA=/ ACDZF=ZFFDQAFCDFD _ AD二二亠ZADC/CDB=90, ZB=ZACDAC3ACBDAD _ AC72甘FD _ AC二-甘即26. 答案：证明：(1)：ZACB=ZADC= 90ZA+ZACD= 90ZBCM+ZACD= 90Z

23、A=ZBCM同理可得：ZMDIZMBDZCMB=ZCD+ZMBD= 90+ZMBDZADE=ZADC+ZMDI+90+ZMDHZADE=ZCMBAEDACBMAE_AD(2)由上问可知：芒芳芒 M ,即AE CM=AD-CB故只需证明即可ZA=ZA,ZACD=ZABCACDAABCAD _CD左丽，即卩AC CD=AD BC肚FD _ FB27. 答案：(1)将结论写成比例的形式，可以考虑证明 FDBAFCD(已经有一个公共角ZF)Rt ACD 中, E 是 AC 的中点 DE=AEZA=ZADEZADE 玄 FDBZA=ZFDB而ZA+ZACD=90ZFCD+ZACD=90ZA=ZFCDZF

24、CD 玄 FDB而ZF=ZF FBD FDCFD _ FB亍:匸匚 (2)判断：GD 与 EF 垂直 Rt CDB 中,G 是 BC 的中点， GD= GB，.ZGDBZGBD 而ZGBD+ZFCD=90 又ZFCD=ZFDB ( 1 的结论).ZGDB+ZFDB=90GDI EF28. 答案：证明：由四边形 ABCD DEFG 都是正方形可 知，ZADCZGDE=90，则ZCDGZADEN ADG+90 在. 和二三匸 G中= CD0)的图象上，顶点 A2 在 x 轴的正半轴上，则 P2 点的坐标为_ ，则点 P3 的坐标为_ 。应+1,-1)yC也O禺D A】Ex答案：P2(2, 1) P

25、2- I-. i2T. 一 卜:- 一:：.一- F - I.-二轴的平行线与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点N,若 2设乌的坐标为又匚四边巒耳与堺曲正方形J解檄二1-0舍)Jb=l+43*点&的樂标为 3+1 - J3l) )+2、已知关于 x 的方程 x2+3x+a=0 的两个实数根的倒数和 等于 3，且关于 x 的方程(k-1 ) x2+3x-2a=0 有实根，且 k 为正整数，正方形 ABP1P2 的顶点 P1、P2 在反比例函数k 14、两个反比例函数图所示，点 P1、P2 在反比例函数图象上，过点点 N ( m n)恰好在 y=x 的图象上，贝 U NP1 与 NP2

26、 的 乘积是。答案：3答案：3(x1 , y1 ), P2 (x2 , y2),kP3( 1，-2 )都在反比例函数v0, x2 0,则下列式子正确的是(A.y1vy2v0B.y1v0vy2如图，已知反比例函数 y=x的图象上有点 P, 分别作 x轴和 y 轴的垂线，垂足分别为 A、B, 形 OAPE 为正方形，又在反比例函数图象上有点 过点 P1 分别作 BP 和 y 轴的垂线，垂足分别为 使四边形 BA1P1B1 为正方形，则点在反比例函数 y=x(x 0)的图象上，有一系列点P1、P2、P3、Pn,若 P1 的横坐标为 2,且以后每 点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2 .现分别过点

27、 P1、P2、P3、Pn 作 x 轴与 y 轴的垂线段， 构成若干个长方形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 S1、S2、S3、Sn,则 S1+S2+S3+-设P, ( 1, - ) /则1a1a刨辺形屮码卩典正方形/-RtRtRt AJ*0B j=F |C=AjD-J*卢片OP尹岭2 2A0D=4+a=-ja a29号的坐标対a) )J把电的坐标代入迸(*0 ,得到吟汀弓之 解得舍.?2( 2 1 )戈B0/X3、 如图， 正方形 OABC 和正方形 反比例函数图象上，且正方形(1)求反比例函数的解析式；6(2, 1)或(6,2)AEDF 各有一个顶点在一OABC 勺边长为 2.

28、(2)求点 D 的坐标.A B分别在 x 轴和 y 轴答案：(1) y=xy=Xy=x在第一象限内的图象如P1 作 xJ11I11 y=x的图象上，若 x1 )答案：DC. y1 y2 0过 P 点使四边P1,A1、 B1,P1 的坐标是答案：1BCy=x(x 0)图象上，顶点 的正半轴上，求点 P2 的坐标.(2007?泰安)已知三点 P1如图，已知 0P1A1 A1P2A2 A2P3A3均为等腰4别作 x 轴的平行线，与 y=-x的图象交点依次是 Q1、Q2、Q3、Q2010,则点 Q2010 的横坐标是解：分广轴的垂銭，垂足为片、务工则入口片斗*J血A/?屯左爲價宜甬三甬巒還产匸神严则家

29、菇*解導狂 X 售去赁值）即P的IS坐标为宀设气吁耳叫Jll 则（2214C）c=4即（42+=）=4 ,解得C=2-2+43J（舍去负值，*即即潴坐标栩卅b十口Ox答案：-8038解:根据题意.因为P的乱肮加轴.所山如和和丑血的纵坐榇相同根据数剜.的排列规律，猖鸵皿个數为卒2代心弊仔島代Ay=- - 409= * -8030-散普宪対：如图所示，正方形 OABC ADEF 的顶点 A, D, C 在坐1标轴上；点 FAB 上，点 B, E 在反比例函数 y=x（x 0）的图象上.正方形 MNP 沖心为原点 O,且 NP/ BM,求正方形 MNPB 面积.求点 E 的坐标.答案：（1）正方形

30、MNPBM 积=4X正方形 OABC 的面积（2011 十堰）如图，平行四边形 AOBC 中,对角线交于如图，四边形 ABCD 为正方形，点A 在 x 轴上，点 B 在 y轴上，且 OA=2 OB=4 反比例函数 y=x（k丰0）在第一象 限的图象经过正方形的顶点D.求反比例函数的关系式；将正方形 ABCD 沿 x 轴向左平移 _个单位长度时，点 C恰好落在反比例函数的图象上.12y（i）(2)两个反比例函数 y=x, y=-x的图象在第一象限，第二象限如图，点 P1、P2、P3P2010 在 y=x的图象 上，它们的横坐标分别是有这样规律的一行数列1,3,5, 7, 9, 11,，过点 P1、P2、P3、P2010 分8直角三角形，直角顶点P1、P2、P3、在函数 y=x（x0）图象上，点 A1、A2、A3、在 x 轴的正半轴上，则O答椿：过点E作IF丄DR于点F,过点AftAIM丄于点齐点 E,双曲线 y=X( k 0)经过 A, E 两点，若平行四边 形AOBO 的面积为 24,则 k=答案：8 tt孵:设出匸 I- i j f “口,，过丸作AB丄帰于Li前丄O&TP ,如囲D F