圆的对称性(第一课时)

1、精品资源3. 2圆的对称性课时安排2 课时从容说课圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形.学生已经通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.同时结合图形让学生认识一些和圆相关的概念.本节课的重点是垂点定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理.本节课的难点是垂点定理及其逆定理的证明与“圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解及定理的证明.第二课时课 题§3.2.1 圆的对称性（一）教学目标（一）教学知识点1 .圆的轴对称性.2 .垂径定理及其逆定理.3 .运用垂径定理及其逆定理进行有关

2、的计算和证明.（二）能力训练要求1 .经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.2 .培养学生独立探索，相互合作交流的精神.（三）情感与价值观要求通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神.教学重点垂径定理及其逆定理.教学难点垂径定理及其逆定理的证明.教学方法指导探索和自主探索相结合.教具准备投影片两张：第一张：做一做（记作§ 3. 2. 1 A）第二张：想一想（记作§ 3. 2. 1 B）教学过程I .创设问题情境，引入新课，师前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙

3、述一下轴对称图形的定义？，生如果一个图形沿着某一条直线折叠后。直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴.师我们是用什么方法研究了轴对称图形 ？生折叠.师今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性.n.讲授新课师同学们想一想：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对 称轴？生圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴.师是吗？你是用什么方法解决上述问题的 ？大家互相讨论一下.生我们可以利用折叠的方法， 解决上述问题.把一个圆对折以后，圆的两半部分重合, 折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴.师

4、很好.教师板书：圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线.下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念.1 .圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 (arc).2 .弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord).3 .直径：经过圆心的弦叫直径 (diameter).如右图。以A、B为端点的弧记作 AB,渎作“圆弧AB'或“弧AB”; 线段AB是。的一条弦，弧 CD是。O的一条直径.注息：1 .弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor are),大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧.如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧ACDG己彳ACD),劣弧AB

5、D己作AD).半圆，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧， 简称半圆.半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧.2 .直径是弦，但弦不-一定是直径.下面我们一起来做一做：(出示投影片§ 3. 2. 1 A)按下面的步骤做一做：1 .在一张纸上任意画一个。 0,沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的 两半部分重合.2 .得到一条折痕CD3 .在。O上任取一点A,过点A作C所痕的垂线，得到新的折痕，其中, 点M是两条折痕的交点，即垂足.4 .将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B,如上图师老师和大家一起动手.(教师叙述步骤，师生共同操作 )师通过第一步，我们可

6、以得到什么 ？生齐声可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴.师很好.在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？ 生我发现了，AMh BM弧AC或BC哪AD< BD.师为什么呢？生因为折痕AM与BM互相重合，A点与D点重合.师还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？师生共析如右图示，连接 OA OB得到等腰4 OAB即OA= OB因CDL AB,故 OAMOBMTB是RtA,又OMK/公共边，所以两个直角三角形全等，则AMhBM又O O关于直径CD对称，所以 A点和B点关于CD对称，当圆?&着直径 CD 对折时，点A与点B重合，弧AC与弧

7、BC重合.因此AM=BM弧AC或BC瓠AD= 弧BD.师在上述操作过程中，你会得出什么结论生垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.师同学们总结得很好.这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质一 垂径定理.在这里注意：条件中的“弦”可以是直径.结论中的“平分弧”指平分弦所 对的劣弧、优弦.下面，我们一起看一下定理的证明：（教师边板书，边叙述）如上图，连结 OA OR则OA= OB在 RtA OAMfD RtAOBM,OA=OB OM= OMRtOA阵 RtAOBM. A隹 BM，点A和点墨关于 CD对称.OO关于直径CD对称，当圆沿着直径 CD对折时，点A与点B重合，弧A*弧B

8、C重合，弧AD与弧BD重合. AC=a BC,弧 AD与弧 BD重合师为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：（1） 过圆心；（2）垂直于弦，那么可推出：平分弦，平分弦所对的优弧，平分弦所对的劣 弧.即垂径定理的条件有两项，结论有三项.用符号语言可表述为：如图37,在O。中，AM=BM,CD是直径 Y 弧 AD哪 BD,'CDL AB于 mJAC= 弧 BC.下面，我们通过求解例1,来熟悉垂径定理：例1如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧 （即图中弧CQ点。是弧CD的圆心）, 其中CD=600m E为弧CD上一点，且。且CD，垂足为F, EF=90

9、m.求这段弯路的半径.师生共析要求弯路的半径，连结 OC只要求出OC的长便可以了.因为已知OEL CD所以CF= 1 CD= 300 cm, OF= OE-EF,此时就得到了一个 RtACFCO哪位同学能口述一下如何求 2解？生连结oc,设弯路的半径为 Rm则OF = （R-90）m，: OEL CDCF= CD=X 600=300（m）.据勾股定理，得oc 2=cP+oF,即 R2= 3002+（R-90） 2.解这个方程，得 R= 545.这段弯路的半径为 545 m.师在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用.随堂练习：P92.1

10、.略下面我们来想一想（出示投影片§ 3. 2. 1 B）如下图示，AB是O。的弦（不是直径），作一条平分 AB的直径C口交AB于点 M 师右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么 ？ 生它是轴对称图形，其对称轴是直径 CD所在的直线.7 1 j师很好，你是用什么方法验证上述结论的 ？大家互相交流讨论一下，（" ）你还有什么发现？ 生通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个。0,作一条不是直径的弦 AB,将圆对折，使点 A与点D重合，便得到一条折痕 CD与 弦AB交于点M. CD就是。0的对称轴，A点、B点关于直径CD对称.由轴又称可知， ABX CD

11、弧AC瓠BC,弧AD哪BD师大家想想还有别的方法吗 ？互相讨论一下. 生如上图，连接 0A 0B便可得到一个等腰 0AB即0A= OR又AMk MB即M点为 等腰 OAB底边上的中线.由等腰三角形三线合一的性质可知CD±AB,又CD是。0的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.师在上述的探讨中，你会得出什么结论 ？生平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.师为什么上述条件要强调“弦不是直径”？生因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的.师我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理.师同学们，你能写出它的证明过程吗

12、？ 生如上图，连结 0A 0B则0A= 0B.在等月0AB中， AMh MB.CD!AB（等腰三角形的三线合一）.。0关于直径CD对称.，当圆沿着直径 CD对折时，点A与点B重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合.弧AC或BC,弧AD哪BD师接下来，做随堂练习：P922 .如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？答：相等.；理由：如右图示，过圆心 0作垂直于弦的直径 EF,由垂径定理设弧AF哪BF,弧CF哪DF,用等量减等量差相等，得弧AF-弧CF哪：BF-弧DF,即弧AC或BD,故结论成立.符合条件的图形有三种情况：（1）圆心在平行弦外，（2）在其中一条线弦上，（3

13、）在平行弦内，但理由相同.m.课时小结1 .本节课我们探索了圆的对称性.2 .利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.3 .垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等 问题.W.课后作业（一）课本 P93,习题 3. 2, 1、2（ 二）1 .预习内容：P94974 .预习提纲：(1) 圆是中心对称图形.(2) 圆心角、弧、弦之间相等关系定理.V.活动与探究1 .银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道.如图所示，污水水面宽度为60 cm,水面至管道顶部距离为10 cm,问修理人员应准备内径多大的管道 ？过程让学生在探究过程中，进一步把实际

14、问题转化为数学问 题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的 思维. 结果如右图示，连结 OA过。作OHAB,垂足为E,交圆于F,则_ 1AE=AB=30cm 令O。的半径为 R,则 OA=R OE= OF-EF= R-10,在2RtMEO中,OA=AE2+OE,即 R2=302+(R-10) 2.解得 R=50 cm.修理人 员应准备内径为100 cm的管道.板书设计§1.1.1 圆的对称性(一)一、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直径.二、与圆有关的概念：1 .圆弧2 .弦3 .直径 注意：弧包括优弧、劣弧、半圆. 三、垂径定理：垂直干弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 例1 :略四、垂径定理逆定理：平分弦 (不是直径)的