湖北省荆州市2019届高三质量检查数学(理)试题(III)含答案

1、荆州市 2019 届高三年级质量检查（）数学（理工农医类）第卷选择题（ 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案填涂在答题卡上. 1. 设全集ur，集合|13axx，| 230bxx，则()uac b（）a3(,)2 b(1,) c3(1,)2 d3,3)22. 若复数21(1)zmmi是纯虚数，其中m是实数，则2z（）ai bi c2i d2i3. 下列命题正确的是（）a命题“pq”为假命题，则命题p与命题q都是假命题；b命题“若xy，则sinsinxy”的逆否命题为真命题；c “22ambm

2、”是“ab”成立的必要不充分条件；d命题“存在0 xr， 使得20010 xx” 的否定是： “对任意xr， 均有210 xx” . 4. 已知随机变量(1,1)n，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形oabc中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）注：68.26%p，2295.44%p. a6038 b6587 c7028 d7539 5. 已知数列na满足1525 5nnaa，且2469aaa，则15793logaaa（）a-3 b3 c13 d136.九章算术 中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”. 已知 “堑堵”111abca b c的所有顶点

3、都在球o的球面上，且1abac，若球o的表面积为3，则这个三棱柱的体积是（）a16 b13 c12 d1 7. 偶函数fx和奇函数g x的图象如图所示，若关于x的方程1fg x，2gfx的实根个数分别为m、n，则mn（）a16 b14 c 12 d10 8. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）a14 b15 c16 d17 9. 已知670171xaxaa xa x，若0170aaa，则3a（）a-5 b-20 c15 d35 10. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）a84 2 b124 22 3 c64 22 3 d12 11.

4、 已知双曲线c：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为1f、2f，o为坐标原点，以12f f为直径的圆o与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为p、q， 点b为圆o与y轴正半轴的交点，若2pofqob，则双曲线c的离心率为（）a35 b352 c15 d15212. 已知函数2lnxfxexx与函数22xg xexax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）a, e b1,e c, 1 d1,2第卷非选择题（ 90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分. 把答案填在答题卷的横线上. 13. 平面向量(2,)a，( 3,1)b，若向量a与b共线，

5、则a b14. 设椭圆22221(0)xyabab的右焦点与抛物线216yx的焦点相同，离心率为63，则此椭圆的方程为15. 已知x，y满足不等式组2030230yxxyxy，若不等式7axy恒成立，则实数a的取值范围是16. 设数列na满足012a，210,1,22018nnnaaan，若使得11kkaa，则正整数k三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. 17. 已知向量2 sin2 ,2 cos2axx，cos ,sin()2b，若( )f

6、xa b，且函数( )f x的图象关于直线6x对称 . （）求函数( )f x的解析式，并求( )f x的单调递减区间；（）在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c， 若( )2f a， 且5b，2 3c，求abc外接圆的面积 . 18. 如图，在直三棱柱111abca b c中，acbc，12acbcaa，点p为棱11b c的中点，点q为线段1a b上一动点 . （）求证：当点q为线段1a b的中点时，pq平面1a bc；（）设1bqba，试问：是否存在实数，使得平面1a pq与平面1b pq所成锐二面角的余弦值为3010？若存在，求出这个实数；若不存在，请说明理由. 19. 手机qq

7、中的“qq运动”具有这样的功能，不仅可以看自己每天的运动步数，还可以看到朋友圈里好友的步数. 小明的qq朋友圈里有大量好友参与了“qq运动” ，他随机选取了其中 30 名，其中男女各15 名，记录了他们某一天的走路步数，统计数据如下表所示：0,25002500,50005000,75007500,1000010000,步数性别男0 2 4 7 2 女1 3 7 3 1 （）以样本估计总体，视样本频率为概率，在小明qq朋友圈里的男性好友中任意选取3名，其中走路步数低于7500 步的有x名，求x的分布列和数学期望；（）如果某人一天的走路步数超过7500 步，此人将被“qq运动”评定为“积极型”，否

8、则为“消极型”. 根据题意完成下面的2 2列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？积极型消极型总计男女总计附：22()()()()()n adbckab cdac bd. 20()p kk0.10 0.05 0.025 0.01 0k2.706 3.841 5.024 6.635 20. 已知倾斜角为4的直线经过抛物线：22(0)ypx p的焦点f， 与抛物线相交于a、b两点，且8ab. （）求抛物线的方程；（） 过点(12,8)p的两条直线1l、2l分别交抛物线于点c、d和e、f，线段cd和ef的中点分别为m、n. 如果直线1l与2l的倾斜角互余，求证：直线m

9、n经过一定点 . 21. 已知函数lnfxaxx. （）讨论fx的单调性；（）若21,ae，求证：12axfxaxxe. 请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆c的圆心为2 2,4，半径为2 2. 以极点为原点，极轴方向为x轴正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为131xtayt（t为参数，ar且0a）. （）写出圆c的极坐标方程和直线l的普通方程；（）若直线l与圆c交于a、b两点，求ab的最小值 . 23. 选修 4-5 ：不等式选讲 设不等式112xx的解集为a.

10、（）求集合a；（）若ma，不等式2210mxxm恒成立，求实数x的取值范围 . 荆州市 2019 届高三年级质量检查（）数学（理科）参考答案一、选择题1-5: cbbba 6-10: cdcac 11、12：dc 二、填空题13. 203 14. 221248xy 15. 4,3 16. 2018三、解答题17. 解： （）( )2 sin2 cosf xa bx2 cos2 sin2 sin(2)xx，函数( )f x的图象关于直线6x对称，262k，kz，6k，kz，又2，6. ( )2 sin(2)6fxx. 函数sinyx的单调递减区间为32,222kk，kz. 令322,2622xk

11、k，2,63xkk. ( )f x的单调递减区间为2,63kk，kz. （）()2 sin(2)26f aa，sin(2)16a. (0,)a，132,666a，262a，6a. 在abc中，由余弦定理得2222cosabcbca2512252 3 cos76，7a. 由正弦定理得721sin2ara，7r，7s. 18. （）证明：法1：连接1ab、1ac，显然a、q、1b三点共线 . 点p、q分别为11b c和1a b的中点，1/ /pqac；在直三棱柱111abca b c中，acbc，bc平面11acc a，1bcac，又1acaa，四边形11acc a为正方形，11acac，1ac、

12、bc平面11acc a，1ac平面1a bc，而1/ /pqac，pq平面1a bc. 法 2： （用向量法同等给分）. （）解：以c为原点，分别以ca、cb、1cc为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，连接1a p、1b q，设( , )q x y z，1bqba，( ,2, )(2,2,2)x yz，2222xyz，(2 ,22 ,2)q. 当点q在线段1a b上运动时，平面1a pq的法向量即为平面1a pb的法向量，设平面1a pb的法向量为1( , , )nx y z，由11100nbpnpa得2020 xyyz，令2y得1(1,2,1)n，设平面1b pq的法向量为2( , , )

13、nx y z，由212100npbnb q得0(1)0yxz，令1z得211(,0,1)(1,0,)n，取2(1,0, )n，1222(1,2,1) (1,0,)cos,6(1)n n2130106221，29920，13或23. 19. 解： （）在小明的男性好友中任意选取1 名，其中走路步数低于7500 的概率为62155. x可能取值分别为0，1，2，3，00332327(0)( ) ( )55125p xc，11232354(1)( ) ( )55125p xc，22132336(2)() ( )55125p xc，3303238(3)() ( )55125p xc，积极型消极型总计男

14、9 6 15 女4 11 15 总计13 17 30 x的分布列为x0 1 2 3 p2712554125361258125则2754()01125125e x3686231251255. （）完成2 2列联表2k的观测值2030(91164)15 15 1317k7503.3943.841221. 据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关. 20. 解： （）由题意可设直线ab的方程为2pyx，令11(,)a xy，22(,)b xy. 联立222pyxypx得22304pxpx，123xxp，根据抛物线的定义得，又124abxxpp，又8ab，48p，2p. 则此抛物线的

15、方程为24yx. （）设直线1l、2l的倾斜角分别为、，直线1l的斜率为k，则tank. 由于直线1l与2l的倾斜角互余，则sin()2tantan()2cos()2cos11sinsintancos，则直线2l的斜率为1k. 于是直线cd的方程为8(12)yk x，即(12)8yk x，联立2(12)84yk xyx得2432480kyyk，4cdyyk，则241624cdxxkk，228 2(12,)mkkk，同理将k换成1k得：2(1228 ,2 )nkkk，2212()112()8()mnkkkkkkk114kk. 则直线mn的方程为212(1228 )14ykxkkkk，即1410k

16、yxk，显然当10 x，0y. 所以直线mn经过定点(10,0). 21. 解： （）11( )axfxaxx，0a，( )0fx在(0,)上恒成立，即fx在(0,)上单调递减 . 当0a时，由( )0fx，得1xa；由( )0fx，得10 xa；综上：当0a时，fx在(0,)上单调递减；当0a时，fx在10,a上单调递减，在1,a上单调递增 . （）令1( )( )2axg xf xaxxe1lnaxxeaxx，则111( )axaxgxeaxeax11(1)axaxex，由于1111axaxxeexx，设1( )1axr xxe，1( )(1)axrxax e，由1( )010rxaxxa

17、，所以( )r x在10,a上单调递增；由1( )010rxaxxa，所以( )r x在1,a上单调递减 . max211( )(1)0r xraae（因为21ae） ，从而110axex. 则( )g x在10,a上单调递减；在1,a上单调递增，min1( )g xga，设210,tea，221( )ln1(0)tgh ttteae，211( )0h tet，( )h t在20,e上递减，2( )()0h th e；( )0g x，故12axfxaxxe. 说明：判断11axex的符号时，还可以用以下方法判断：由110axex得到1ln xax，设1ln( )xp xx，2ln2( )xp xx，当2xe时，( )0p x；当20 xe时，( )0p x. 从而( )p x在2(0,)e上递减，在2(,)e上递增 . 2min21( )()p xp ee. 当21ae时，1ln xax，即110axex. 22. 解： （）法一：在极坐标系中，令box，4aox，在abc中，ac为直径，42 cos()4ob，131xtayt消去参数t得直线l的普通方程为：310axya. 法二：在直角坐标系中，圆c的圆心为(2,2)，则方程为22(2)(2)8xy. 即22440 xyxy，24cos4sin0，即4cos4sin42 sin()4. （）法一：直线过圆c内一定点(3,1