直线和椭圆的弦长问题

1、-弦长问题问题：怎么判断它们之间的位置关系？问题：怎么判断它们之间的位置关系？问题：椭圆与直线的位置关系？问题：椭圆与直线的位置关系？相交相交相切相切相离相离判断方法判断方法（1）联立方程组：）联立方程组：（2）消去一个未知数）消去一个未知数（3）0 方程无解方程无解方程有一解方程有一解方程有两解方程有两解 直线与椭圆没有交点直线与椭圆没有交点 相离相离直线与椭圆有一个交点直线与椭圆有一个交点直线与椭圆有两个交点直线与椭圆有两个交点相切相切相交相交弦长问题：弦长问题：消去消去y得：得： 解：联立方程组：解：联立方程组： - -221242yxxy = = +=+= 25410- - -= =x

2、x0D D 方程方程有两个根有两个根 直线与椭圆的位置关系：直线与椭圆的位置关系：相交相交 思：相交所得弦的弦长是多少？相交所得弦的弦长是多少？ 22121221221212()()2()2 ()4=-+-=-+-=-=-=+-=+-xxyyxxxxx xAB625= =弦长公式：弦长公式：设直线与椭圆相交于设直线与椭圆相交于1122(,), (,)A x yB xy两点，两点，直线直线AB的斜率为的斜率为K.适合求任适合求任何二次曲何二次曲线与直线线与直线的弦长的弦长思考：直线思考：直线k不存在应怎样求解呢？不存在应怎样求解呢？2212121()4= =+ + +- -kxxx x1212,

3、+ +xx x x可由韦达定理得可由韦达定理得AB21212211()4=+-=+-yyy yk其中其中直线与圆的相交弦的弦长：直线与圆的相交弦的弦长：222= =- -lrd（d为圆心到直线的距离）为圆心到直线的距离）例例1： 求椭圆求椭圆22142+=+=xy与直线与直线220- -+ += =xy相交弦长相交弦长弦长弦长2224112 +=+= =+=+ xyyx 23440+ +- -= =xx 24640D D = =- -= = bab解：联立方程组：解：联立方程组：121244,33+ += = - -= = - -xxx x22121241()453= =+ + +- -= =

4、lkxxx x 例例2：已知斜率为已知斜率为1的直线的直线L过椭圆过椭圆2214+=+=xy的右焦点交椭圆于的右焦点交椭圆于A，B两点，求两点，求AB的长的长.解：解：令令A,B坐标分别为坐标分别为1122(,),(,)A xyB xy由椭圆方程知：由椭圆方程知：2224,1,3=abc (3 , 0 )F直线直线L方程为：方程为：3= =- -yx联立方程组：联立方程组：22443 + += = = =- - xyyx 258 380- -+ += =xx 12128 38,55+=+=xxx x AB22121281()45= =+ + +- -= =kxxx x总结：总结：联立方程组联立

5、方程组消去其中一个未知消去其中一个未知数得一元二次方程数得一元二次方程韦达定理韦达定理弦长公式弦长公式总结：总结：求弦长的方法：求弦长的方法：1两点间距离公式：两点间距离公式：221221yyxxl注：对于注：对于平行于坐标轴平行于坐标轴的直线与椭圆相交产的直线与椭圆相交产生的弦长，由于交点坐标非常好解，故用两点间生的弦长，由于交点坐标非常好解，故用两点间距离公式就可以求弦长。距离公式就可以求弦长。exaPFexaPFbyax2122221右焦点焦半径公式为：左焦点焦半径公式为：来说，有对于椭圆2焦半径公式：焦半径公式：1212()()2()ABFAFBaexaexae xx=+=+=+=+=

6、+=+- - - -1212()()2()ABFAFBa exa exa e xx= =+ += =+ += =+ +过左焦点过左焦点的弦长：的弦长：过右焦点过右焦点的弦长：的弦长：注：应用焦半径公式求弦长，是把弦长看注：应用焦半径公式求弦长，是把弦长看作同一焦点的两个焦半径之和。使用焦半作同一焦点的两个焦半径之和。使用焦半径公式时，注意径公式时，注意左、右焦点的公式不同左、右焦点的公式不同。注：此公式是由：直线斜率注：此公式是由：直线斜率 k、弦的端点横坐标、弦的端点横坐标 x1 、x2 来求出弦长的。故，在给出直线方程时（既：已来求出弦长的。故，在给出直线方程时（既：已知知 k），基本都使

7、用这个公式。），基本都使用这个公式。3 弦长公式：弦长公式：212212221411xxxxkkxxl例例3：已知点已知点12,F F分别是椭圆分别是椭圆2212+ += =xy的左、右的左、右焦点，过焦点，过2F作倾斜角为作倾斜角为4的直线，求的直线，求1D D ABF的面积的面积2F1FxyBA用三种方式用三种方式求解求解AB求弦长的操作程序求弦长的操作程序找到或求出直线与椭圆方程找到或求出直线与椭圆方程平行于坐标轴的直线平行于坐标轴的直线两点间距离公式两点间距离公式不平行于坐标轴，但不平行于坐标轴，但过焦点的直线过焦点的直线 焦焦 半半 径径 公公 式式不平行于坐标轴，也不平行于坐标轴，也不过焦点的直线不过焦点的直线 弦弦 长长 公公 式式思考练习：思考练习：已知椭圆的中心在坐标原点已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线，焦点在坐标轴上，直线1=+=+yx与该椭圆相交于与该椭圆相交于P和和Q两点，且线段两点，且线段 OPOQ102= =PQ,求椭