v高一数学上知识点剖析

1、映射1. 自1999年以來1999年、2000年两年连续考查有关映射的问题，对此应予以关注.2.映射作为函数的 基础，而两数是历届高考屮十分重耍的一个内容，因此映射的学习必须认真.3.映射知识可以和集合、方程 相联系，随着学习内容的增多还可以与排列、组合知识相结合同吋它可以与整式、分式、指数式、对数式、 三角式等运算相联系.核心知识1. 对应(1) 对应打集合一样，也是数学中的原始概念.我们知道，实数与数轴上的点，坐标平面内的点与有序 实数对之间都具冇对应关系，一个人与他的姓名，某一学生与他的座位，也可以看作对应.对应是两个集合a与b z间的某种关系.对于a屮每一个元素与之对应.(1) b中有

2、唯一元素与之对应.(2) b中有不止一个元素与之对应.(3) b屮没有元索与之对应.同样，对于b屮的每一个元素而言，也有以下三种情况：(4) a'|>唯一元素与之对应.(5) a屮有不止一个元素与之对应.(6) a小没有元索与之对应.对一般的对应而言，这些情况都是可能发生的.2. 映射映射是一种特殊的对应，学习这一概念时，应注意以下儿点：(1) 映身寸f： ab是由集合a、b以及从a到b的对应法则f所确定.(2) 映射f:a-b小的两个集合a、b可以是数集，也可以是点集或具他集合.再者，集合a、b可以是 同一个集合(3) 集合a到集合b的映射f:a-b与集合b到集合a的映射f：

3、b-a 般说來是不同的.换言之，映 射涉及的两个集合有先后次序.(4) 映射f:a-b之卜集合a屮的任一元索在集合b屮都有象，且象是唯一的(简括之嘟有象；象 唯一。.这是映射概念的实质.(5) 给定映射集合中b中的元索在集合a中可能有一个原象，可能有两个或多个原象，也可能没有原彖._因此 象集合(即由全体象构成的集合)是b的子集，可记为f(a) i awa匸b3. 一一映射一般地，设a、b是两个集合，f:a->b是集合a到集合b的映射，如果在这个映射下，对于集合a 小的不同元索，在集合b中有不同的象，而且b小每一个元素都有原象，那么这个映射叫做a到b上的 一一映射.定义中有两个特点：(1

4、) 对于集合a中的不同元素，在集合b中不同的象，也就是说不允许“多对一二(2) 集合b中的每一个元素都是集合a的某个元索的象，也就是说，集合b小的每个元素都有原象， b中不允许有剩余的元素.1. 关于映射.对映射f：a-b的理解，要抓住以下三点：(1) 集合a、b及对应法则f是确定的，是一个整体，是一个系统；(2) 对应法则是f具有方向性，即强调从集合a到集合b的对应，它与集合b到集合a的对应关系是 不同的；(3) 对于a中的任一元素a,在b中有唯一元素b与z对应，其耍害在“任一”、“唯一”两词z上.2. 一一映射有两个特征：(1) 对于集合a中的不同元素,在集合b中有不同的象(即不可“多对一

5、 j(2) 集合b中的每一个元素都是集合a屮的某个元素的象，即集合b屮的每个元素都有原象(亦即不可 “b中剩”)典型例题例1下列对应是不是从a到b的映射？(1) a = q, b=q+，f： xt 丨 x i .(2) a=b=n； f:x-> i x-2 i .(3) a= xen i x>2 , b= yez i y>0 , f:x->y=x2-2x+l.(4) a= x i xe(o, +00) , b= y i ygr , f：x->y=士 拆.解：(1)屮，当x=0ea时，1x1=0三b,即a中的元索0在b屮没有象，故(1)不是映射.(2) 中,当x=2

6、wa时,i x-2 i =0三b,与类似,(2)也不是映射.(3) 中，因为y=仪1吃0,所以对任意x,总有止0；又当xgn时，x3-2x+l必为整数，即产乙所以 当xea时，x2-2x+ieb,且对a中每-个元素x,在b屮都有唯一的y与之对应，故(3)是映射.(4) 中，任一个x都有两个yz对应，故不是映射.评析 判断某对应是否为映射，严格按照映射定义屮所要求的条件进行判断.例 2 若人= (x,y) i xg乙 | x i <2, ywn, x+y<3 , b= 0, 1, 2,从 a 到 b 的对应关 系f(x,y)->x+y,说明f是a到b的映射，并画出对应图，指出2

7、的原象是什么？解：满足条件的集合a中的元素共有六个,用列举法表示为(-1, 2) , (-1, 3), (-1, 1), (0, 1), (0, 2), (1, 1).对应图为下图.集合a屮的每一元素，集合b u嘟有唯一的元素与它对应，所以f能构成一个映射.2的原象为(1, 3), (0, 2), (1, 1).例3 (1)己知集合人=aba2 , b= bhb2，试问从集合a到集合b的所有不同的映射有多少种?(2) 已知也合人=ai,a2 , b= bbb2, bj ,试问从集合a到集合b的所有不同的映射有多少种？ 分析 当所给集合中的元素数目不大时，可直接用图示的方法展现所冇不同的映射；若

8、不然，可采用 分析的方法解之.解：用图示的方法可以清楚地看到从a到b能建立4种不同的映射(见下图)(2)分a中元素对应b中同一元索和a中元素对应b中不同元素两种情形考虑.a中2个元索对应b 屮相同元素的对应有3个，这时有3种不同的映射；a中2个元素同时对应b屮2个不同的元索的对应有 6个，这时有6种不同的映射.所以，集合a到集合b的所有不同的映射一共有9利评析 若集合a有m个元索，集合b有n个元索，则a到b的一切可能的映射共有nn'种.例 4 已知集合人=1,2,3,a , b= 4,7,bb2+3b,其中 an*, bn*.若 xa, ywb,映射 f:ab 使b中元素y=3x+l和

9、a中元素x对应.求a和b的值.分析 利用原象与象的关系，建立关于a和b的方程组.解：ta中元素x对应b中元素y=3x+l,a中元素1的象是4, 2的象是7, 3的象是10. ab4=10,或 b2+3b=10.乂 bfn*,-.b2+3b-10=0,解z,得 b=2.ta的象是b4=16,3a+l = 16,解之,得a=5.评析 正确理解映射的概念，合理处理字母问题是求解本题之关键.如果将题设屮的集合b换成 4,7,13,b4,b2+3b,那么请问a的值是多少？例5判断下列映射是不是从a到b的一一映射，并说明理由.(1) a= 矩形 , b = r,对应法则f为矩形到它的面积的对应.(2) a

10、=r, b = r,对应法则 f:xty=kx+b(k0).(3) a = r, b= y i y>0,对应法则 f:x->y=x2.分析一一映射是一种特殊的映射.特殊在哪毘？ 解：(1)这个映射不是一一映射，因为负实数和零没有原象. 根据一一映射的定义，所给映射是一一映射.(3) 这个映射不是映射，因为对于a中的两个不同元素a和-a(a0),在b中有相同的象at评析 映射f:a_>b加上两个条件：a中不同的元素在b中冇不同的象，b中任何一个元索都冇原象，便形成a到b上的映射.例6已知集合人=x i x>l , b= x i x>l,试建立一个a到b上的映射.分析

11、 本题的困难在于集合a比集合b“多”了-个元索“v.为突破这个难点，我们不妨先考虑特殊情 况.解：考虑两种特殊情况.若a中元素x -n*,则令xy=x；(2) 若a中元素xen*,则可令xy=x+l. 因此，a到b上的一个映射为：x xga,且x亡n*时，f： :x>y= x+l xea,且 xen*时.评析 从分析到求解是一个先退示进，以退求进的过程，同时也是分解与组合的过程.屮用到了无限 集合的性质，这是本题求解的又一个关键.函数考试命题的热点之一是考杏函数的定义域、值域，并考杏学生：(1) 能根据函数三要素判断两个函数是否为同一朗数.(2) 理解函数符号(对应法则)，学握畅数的三种

12、表示法.(3) 会求函数的定义域及某些函数的值域.多以选择题与填空题的形式出现，一般多为容易题与屮等题.核心知识1. 函数的定义(1) 函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的 值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做口变量.(2) 函数的近代定义：设a, b都是非空的数的集合，f:x-y是从a到b的一个对应法则，那么从a 到b的映射f:ab就叫做函数，记作y=f(x),其i|xwa, ywb,原象集合a叫做两数f(x)的定义域， 彖集合c叫做函数f(x)的值域.上述两个定义实质上是一致的，只不过传统定义是从运动变化的观点出发，

13、而近代定义是从集合、映 射的观点出发，侧重点不同.函数实质上是从集合a到集合b的一个特殊的映射，其特殊性在于集合a、 b都是非空数集.自变量的取值集合叫做函数的定义域，函数值的集合c叫做函数的值域.这里应该注意的是，值域c并不一定等于集合b,而只能说c是b的一个子集.2. 函数的三要素定义域a,值域c以及从a到c的对应法则f,称为函数的三要素.由于值域可由定义域和对应法则 唯一确定，所以也町以说函数有两要索：定义域和对应法则.两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相同 时，才是同一函数.例如丫=只与丫= 不是同一函数.y=x与y= x也不是同一函数.而y= i x i与y=是同一函数.3. 西数

14、的对应法则在函数的三要素中，对应法则是核心.通俗地说，f就是対自变量x进行“操作”的“程序”或“方法”.按照 这一“程序”，从定义域集合a中的任一 x,可得出值域c中的唯一 y与之对应.同一 f可以“操作”于不同的 变量.如f(x)是对x进行操作，而f(/)是指对x2进行操作.4. 函数的定义域函数的定义域是函数研究的重要内容，在给定函数的同时应该给定函数的定义域.一般地，我们规定，如果不加说明，函数的定义域就是使函数的解析式冇意义的实数的集合.据此，我 们就可以“求出''函数的定义域了.5. 求函数值域的方法求函数值域是一个相当复杂的问题，常见的方法有图像法；(2)反解x；配

15、方法；(4)换元法.以后 还可用(5)单调性；(6)判别式法等.6. 函数符号y=f(x),它是抽象符号之一，“y=f(x)”为“y是x的函数”这句话的数学表示，它仅仅是函 数符号，不是表示“y等于f与x的乘积"，f(x)也不一定是解析式；f(a)与f(x)既冇区别又冇联系，f(a)表示 当自变最x=a时函数f(x)的值，是一个常最，而f(x)是自变最x的函数，在一般情况下，它是一个变.f(a) 是f(x)的一个特殊值.7. 函数的表示方法主要有三种常用的表示方法，即解析法、列表法和图像法.8. “区间”与“无穷大，啲两个概念区间是数学小常用的术语和符号.必需记住闭区间、开区间、半开

16、半闭区间的符号及其含义.对于a,b , (a,b),a,b), (a,b,都称数a和数b为区间的端点：a为左端点，b为右端点，称ba为区间长度.这样，某些以实数为元素的集合就冇三种表示法：集合表示法、不等式表示和区间表示法.无穷大是个符号，不是一个数.关于用oo、他作为区间的一端或两端的区间称为无穷区间.9基础知识图表1 要正确理解函数概念应该注意：关于函数的两个定义域实质上是一致的.初中定义的出发点是运动变化的观点，而高屮定义却是从 集合、对应的观点出发.(2) 两个函数相同的充要条件是它们的定义域与对应关系分别相同,例如函数f(x)= ixl ,与f(x)= &是同一个函数.(3)

17、 函数的核心是对应关系.在函数符号y=f(x)屮，f是表示函数的对应关系，等式y=f(x)表明，对于 定义域中的任意x,在对应关系f的作用下，可得到y,因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.函数符号y=f(x)是“y是x的两数”这句话的数学表示，它不表示“y等于f与x的乘积”.f(x)可以是解析 式，也可以是图像或数表.符号f(a)«j f(x)既有区别又有联系.f(a)表示当口变量x=a时函数f(x)的值，是一 个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量.f(a)是f(x)的一个特殊值.2. 值域是全体函数值所组成的集合.在多数情况卜，一旦定义域和对应关系确

18、定，函数的值域也就随z 确定.典型例题例1试判断以下各组函数中，是否表示同一函数?, (t&= 4壬hx，g(x)=g(x) = f(x) =-ixko x<0.(3) f(x)=，g(x) = (4)f(x) =石"t g(x) =h(2)由于函数f(x)=才的定义域为r+ur', 而 g(x)= 7解：由于f(x)= & =1x1,而g(x)= 厲 =x.故它彳i的值域对应法则都不相同,所以它们不 是同一函数.x<0的定义域为r.故它们不是同一函数.由于当ngn十时，2n±l为奇数，f(x)=说厂=x, g(x)=() =x,它们的定

19、义域、 值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.(4) 由于函数f(x)=五夕t的定义域为x i x>0,而g(x)=的定义域为x i x<-1或x>0,它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.评析 对于两个函数y=f(x)和y=g(x)当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都相同时，y=f(x)和y =g(x)表示同一函数.也就是说，对两个函数来讲，只要函数的三要素当屮有一要素不相同，则这两个函数 就不可能是同一函数若两个函数表示同一函数时，贝陀们的图像完全相同；反z亦然.这些结论都町以作 为我们判定两个函数是否表示同一函数的依据.例 2 已知 f(x)= "買(

20、xer 且 x#l), g(x)=x2+2 (xr). 求r2)、臥2)的值.(2) 求f g的值.(3) 求f g(x)的解析式.1 丄解：(l)f(2)= 1*2 = 3 , g(2)=22+2=6.i j(2) f ：g(2) =f(6)= 7.(3) fg(x) =f(x2+2)= 1刃=j”.评析在解木题时，要理解对应法则“厂和“g啲含义，在求f g(x)时，一般遵循先里后外的原则. 例3已知f(x)的定义域是a,b,求f(x)=f(xl)+f(x+l)的定义域.解：要使f(x)冇意义，必须f(x-l)af(x+l)都冇意义，于是冇axfa+lirii+l ©即£

21、1<疋<&1当ba22时,与的交集a+1, bl即是f(x)的定义域；当b-a<2时，与的交集是空集此时f(x)无意义.2例4设f(x)是定义在(1, +8)上的一个函数，且有f(x)=2f(工)a，求f(x).2分析欲求f(x),必须消去己知中的f(工)，由方程组中的消元法，不难想到再去寻找一个方程.此事可由x打工的倒数关系，用工去替换已知式中的x便可得到2解：因为f(x)=2f(工)五八 1用工代换x,又得2f( h)=2f(x)2将代入消去工)，得f(x)=4f(x)-2五j,22rx)= 33 .又因为 xe(l, +oo),所以 f(x)=axl+co)例5

22、 分析已知y=的定义域为r,求实数a的取值范fit确定a的収值范围，使之刈任意实数x都有ax2+4ax+3#).解：当a=0时，ax2+4ax+3=3#)对任意xr都成立;其判别式4=4a(4a3)v0,当ao时，要使二次三项式ax2+4ax+3对任意实数x恒不为零，必须满足:综上，aw 0, r).评析 本题是求两数的定义域的反问题，即已知函数的定义域求解析式屮所含字母的取值范围，类似 地，可求解下述问题：jax2 - ar 十 i若函数y=么的定义域是r,求实数a的取值范围.例6已知函数f(x)= 只“的值域为l-1, 4,求实数a、b的值.分析 由函数的解析式可确定一个含有*、b的值域，

23、比照已知条件，可确定a、b的值.axa解：设丫= *1，去分母、整理得2yx -ax+y-b=0.y=0显然在函数的值域1, 4内.若 yo 时,由于 x 丘 r,故=a2-4y(y-b)>0,/.y2-by- 4 <0由已知,-l<y<4,从而,(y+l)(y-4)<0, .3y-4<0f比较不等式与，得b=3, a2=16评析解决此问题的关键在于把求值域的问题与解一元二次不等式的问题联系在一起，最后通过比较 同解不等式的系数，求出a、b的值.例7设二次函数f(x)满足f(2+x)=f(2x),且f(x)=o的两个实根的平方和为10, f(x)的图像过点(

24、0, 3),求f(x)的解析式.分析要求的函数二次函数，一般可设其为f(x)=ax2+bx+c(a0),然后根据已知条件求出系数a,b,c, 从而求得该二次函数.由于木题条件f(2+x)=f(2-x)隐含着函数f(x)的图像关于直线x=2对称，故町设函数f(x) = a(x-2)2+k.解：.f(2+x) = f(2x),.f(x)的图像关于直线x=2对称.于是，设 f(x)=a(x-2)2+k(a0),则由 f(0)=3,可得 k=34a, f(x) = a(x-2)2+3 -4a=ax2-4ax+3.vax2-4ax+3 = 0的两实根的平方和为10,n 72i 10=x i+x 2 =(

25、x+x2)-2xx2= 16 a ,a= 1. z. f(x)=(x-2)2-1 = x2-4x+3 .评析 解题的过程就是运用已知条件的过程，已知条件要用得能揭露题目的本质(越彻底越好).如來设 f(x)=ax2+bx+c(a#),运用条件f(2+x) = f(2x)也能求得b=-4a,但不如采用上述对-称法对问题揭露得彻底.本题解法为待定系数法，它适用于已知函数的解析式的类型(例如一次函数、二次函数等)及函数的某 些特征求该函数的问题，关键在于快捷地求出待定常数.函数的定义域的概念和求法说明1函数的定义域：函数的表达式己经给出后，其定义域如果没有指明，那么其定义域应该是使函数表达式有意义的

26、白变 量x的所有允许值的取值范围。核心知识 规则1函数的定义域的概念：函数的自变量x的允许值范围称为定义域。规则2函数的定义域的求法： 常有以下儿种：1、自变量不受任何条件约束，则嬴亡虑，如，血才1_2、分母不为零,如 "i,定义域为3、偶次根号不为非负，如,定义域为廿4、对数符号后为正，如定义域为>0o5、综合上述各点，求其交集。定义域为:x+3f-4zo pzo 或(p.-2(2>典型例题例1求函数/«-的定义域.w-：因为x工2时，"2都有意义，而x-2=0即x=2时， 2没有意义，所以这个函数的定义域是x|x wr,且 x2.例2求函数“)推乜

27、的定义域._2 _ * 二 解：因为3x+2n0即沦亍吋，报1'2有意义,而 亍时，4十2没有意义,所以这个函数 -h的定义域是i丿.例3求两数")而升尸74"2的定义域.解：使有意义的实数x的集合是1, +00,使有 圧7意义的实数x的集合是(一00, 1 ), 所以这个函数的定义域是1, +oo)n ( oo, i=1, 1.函数的值域说明1函数的值域，一般来说是一个被动的东西，它依赖于函数的定义域和函数的表达式，所以求函数的 值域，主要也就依靠上述两个因素，采用一些特定的方法来求其值域。核心知识规则1函数值域的概念：函数值的集合就是函数的值域.规则2函数值域的

28、求法：值域就是函数值的取值范围，它虽然由两数的定义域及对应法则完全确定，但是确定值域仍是较为闲难的, 常用以下方法求值域。1、配方法：主要用在二次函数或是通过换元，转化为二次函数的函数。2、判别式法：3、方程法求函数的值域：函数爪)(皿4的值域就是关于*的方程用)冇属于a的解的y值的集合。4、利用函k的单性1灵硕平堆9i氛利朋析式的几何釵典型例题 例1求二次函数/w-*a-2x*3xe2,冯的值域。解：/w-2x + 3 -(x- *2由于 xe(2. 3/.(x-1)ji(2-0j-l5)申 6例2求函数的值域。+疋 *2（» < i）令 7i-x-« »

29、o） 则 x-«a*« + 2ng评述：通过换元将无理函数转化为二次函数，然后用配方法求其值域。x3 z例3求函数 * -2x-3的值域。 解：由原式可得关于x的二次方程(y - w-0i)当70时，它的判别式：-4(y -9(-功得或“了，3 ，和4的*值分别为為0和x-3e3 *_石时，可得 玄，说明自变量収对应ii)当7°即，】yl存在。故函数的值域为：mx -3y 例4求函数 銅的值域。解：由已知函数式cvo可解得,-?/-3(-叫«+®jsinx,(*)要使方程(*)有解，必须:厂1j空2空i j-123,即函数的值域为7hsov 2

30、1o扌或a1y，1函数的图象说明1两数图象有儿类:函数的图象是函数的重要性质，它以直观形象的illi线告诉我们函数的走势，是我们应该充分重视的, 除了常规函数的图象以外，还应i学些坐标变换下的一般函数的图象.两数图象也是函数表示法之一，它有离散、分段、连续三类。o:p designtimesp=”15435”>核心知识 规则1函数的图彖：图彖法：以表格中的数对（x, y）为点的坐标描绘出能反映x与y的对应关系的曲线.正比例函数和一次函数的图彖都是一条直线，二次函数的图彖是一条平滑的曲线（抛物线），反比例 函数的图彖是两支平滑的曲线（双曲线）.此外，函数的图彖也可以是一些点或几条线段等.典

31、型例题例1某种茶杯，每个5元，买x个茶杯的钱数（元） f （x） =5x, x un.画出这个函数的图象.解：这个函数的图象由一些点组成，如图12所示.y （元）3020o 1234 钥图 1-12例2在国内投寄外埠平信，每封信不超过20克重付邮资20分，超过20克重而不超过40克重付邮资40 分.那么，每封x （0<x<40）克重的信应付邮资（分）（406（20.401画出这个函数的图象.解：这个函数的图象是两条线段，如图113所示.y(分”604020020 40 p 克峨)图 1-13函数的单调性和奇偶性函数的单调性是函数的重要性质之一，应用它可以比较函数值的人小，求函数的值

32、域、最值；应用它 可研究方程根的情况；也可求函数解析式中参数的范围；绘函数的图像时，也经常应用它.木节涉及到了分类讨论思想、数形结构思想、转化思想等，在学习时认真体会其实质，并加以运用.本节内容在高考屮年年必考，主要考杳函数单调性与奇偶性的判定，单调区间的求法，以及单调性与 奇偶性的综合题.在命题形式上主要是选择、填空题，有时也与其它知识结合出解答题.木节内容是高考重点考杳的重要内容，今示也肯定是高考考杏的重点内容，它与不等式、三角函数等 知识综合，考查函数的概念、图像性质等，以及综合运用知识考查分析和解决问题的能力.定义法i复合函数法i图靈关键是在理解的基础上，要记准、记熟函数单调性和奇偶性

33、有关概念和判定方法并能在解题小灵活的 加以运用.千万不要忘记解题时首先要考查定义域.核心知识1. 基础知识图农奇偶性2. 函数的单调性如果对于属于定义域a内某个区间上的任意两个自变量的值xi，x2,当x|vx2,都有f(xl)<f(x2),那 么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于定义域a内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(xj>f(x2), 那么就说f(x)在这个区间上是减函数.如果函数f(x)在某个区间是增函数或减两数，那么就说f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间 叫做f(x)的单调区间.1函数的单调性是针对定义域内的

34、某个区间而言的例如函数y=工在(oo, 0)上是减函数，在(0, +00) 上也是减函数，但不能说它在整个定义域即(8 0)u(0, +oo)因为当取x(=-l, x2=l时，对应的函数值为 f(xi) = -l, f(x2)=l,显然有x<x2，但f(xi)vf(x2),不满足减函数的定义.有些函数在整个定义域内具有单调性.例如函数y=x就是这样.有些函数在定义域内某个区间上是增函 数，而在另一些区间上是减函数.例如函数y=x2在(8, 0)是减函数,在0, +00)上是增函数.屮学阶段我们所讨论的函数，只要它们在区间的端点有定义，那么在考虑单调区间时，包括端点、不 包括端点都可以.函

35、数的单调性所刻画的是当口变量变化时其对应的函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质， 函数图像能直观地显示函数的这个性质.在单调区间上的增函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在 单调区间上的减函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.讨论函数丫=f <p(x)的单调性时要注意两点：若u=(p(x), y=f (u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,贝ijy=f <p(x)为增函数；(2)若u=(p(x), y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，贝iy=f(p(x)为减函数. 若函数f(x), g(x)在给定的区间

36、上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上： 两数f(x)与f(x)+c(c为常数)具有相同的单调性.(2)00时，函数f(x)与cf(x)具有相同的单调性；c<0时，函数f(x)与cf(x)具有相反的单调性.(3) 若f(x)丸，则函数f(x)与/a)具有相反的单调性.(4) 若函数f(x), g(x)都是增(减)函数，则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.(5) 若f(x)>0, g(x)>0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)电(x)也是增(减)函数；若f(x)<0, g(x) <0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(

37、x)g(x)是减伸)两数.使用上述结论，可以简便地求出一些两数的单调区间.例如函数f(x)= "賣(xfl)可等价变形为f(x)=1- l*(x=-l).由于一次函数1+x是增函数，所以当x知时，函数"才在(00,1)上是减函数，在(1, +8)上也是减函数.于是在(8,1)秋1, +oo)上均为增函数.故f(x)=l- ”盂在("00,1)和(1, +00) 上都是增函数.根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是： 设xi、x2是给定区间内的任意两个值且x1<x2：(2) 作差f(x)f(x2),并将此差化简、变形；(3) 判断f(xjf(x2)的正负

38、，从而证得函数的增减性.利用函数的单调性可以把函数值的人小比较的问题转化为自变量的人小比较的问题.函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.这即是说，函数的单调区间是其定义域的子集.3. 函数的奇偶性如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x) = -f(x),那么f(x)叫做奇函数.如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x) = f(x),那么f(x)叫做偶函数. 奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称.如果函数f(x)是奇函数或是偶函数，那么就说函数f(x)具有奇偶性.函数按是否具有奇偶性可分为四类：奇函数，偶函数，既奇且偶函数(既是奇函数又是偶函数)，

39、非奇 非偶函数(既不是奇函数也不是偶函数).函数的奇偶性是针对函数的整个定义域而言，因此奇偶性是函数在定义域上的整体性质.由于任意x和x均要在定义域内，故奇函数或偶函数的定义域一定关于原点对称.所以，我们在判定 函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是两数具有奇偶性的必耍条件.如 果其定义域关于原点不对称，那么它没有奇偶性).然示再判断f(x)与f(x)的关系，从而确定其奇偶性.判断函数的奇偶性冇时可用定义域的等价形式f(x)±f(x)=0或=±i(f(x)絢来代替.存在既奇且偶函数，例如f(x)=当f(x)与f(x)z间的关系较隐蔽时，容易产生“

40、非奇非偶”的错觉，万万不可草率下结论.函数的图像能够肓观地反映函数的奇偶性.f(x)为奇函数的充要条件是函数f(x)的图像关于原点对称， f(x)为偶函数的充要条件是函数f(x)的图像关于y轴对称.奇函数和偶函数还具有以下性质：(1) 两个奇函数的和(差)仍是奇函数，两个偶函数的和(差)仍是偶函数.(2) 奇偶性和同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数，奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为 零)为奇函数.(3) 奇函数在其定义域的对称区间上单调性相同，偶函数在其定义域的对称区间上单调性相反.(4) 定义域关于原点对称的函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和，即f(x) =2 +

41、 2(5) 若 f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数,则 f(0)=0.典型例题例1 (1)画出函数y=左+2 1x1+3的图像,并指出函数的单调区间.解：函数图像如下图所示，当xno时，y=x?+2x+3 = (xl)2+4；当x<0时，y=xl2x+3=(x+l)2+4. 在(oo,1和0, 1上，函数是增函数：在1, 0和1, +oo)上，函数是减函数.评析 函数单调性是对某个区间而言的，对丁单独-个点没有增减变化，所以对丁区问端点只耍函数 有意义，都可以带上.已知函数f(x)=x2+2(a-l)x+2在区间(oo, 4上是减函数，求实数a的取值范围. 分析要充分运用函

42、数的单调性是以对称轴为界线这一特征.解：f(x)=x2+2(a-l)x+2= x+(al) 2-(a-l)2+2,此二次函数的对称轴是x=l-a.因为在区间(亠，la 上f(x)是单调递减的，若使f(x)在(oo, 4上单调递减，对称轴x=la必须在x=4的右侧或与其重合，即 1 -34, a3评析 这是涉及逆向思维的问题，即已知函数的单调性，求字母参数范i韦i,要注意利用数形结合. 例2判断下列函数的奇偶性：(l) f(x)=护帀.也" f(x)=(xl)解：(l)f(x)的定义域为r.因为f(-x)= i x+l i - i -x-1 i=i x-1 i - i x+1 i =f

43、(x).所以f(x)为奇函数.f(x)的定义域为x i -i<x<n ,不关于原点对称.所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数. 评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如f：(1) 求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称.(2) 计算f(-x),并与f(x)比较，判断f(-x)=f(x咸f(x)二f(x)z是否成立.f(x)与f(x)的关系并不明确 时，可考查f(x)士f(x) = 0是否成立，从而判断函数的奇偶性.例3已知函数f(x)=.(1) 判断f(x)的奇偶性.(2) 确定f(x)在(8 0)上是增函数还是减函数?在区间(0, +00)上呢?证明你的结论. 解：因为f

44、(x)的定义域为r,又f(x)= "l© = “ j =心)，所以f(x)为偶函数.(2)f(x)在(oo, 0)上是增函数,由于f(x)为偶函数，所以f(x)在(0, +8)上为减函数. 其证明:取x|<x2<0,i厲瓯)(冷基|)f(x|)f(x2)=不亍刊=市丽面百丽师" 因为x<x2<0,所以x2-x|>0» x+x2<0,x2i+l>0, x22+1>0,得 f(xjf(x2)<0,即 f(x1)<rx2).所以f(x)在(oo, 0)上为增函数.评析 奇函数在(a,b)上的单调性与在

45、(b,a)上的单调性相同，偶函数在(a,b)与(b,a)的单调性相反.1例4已知y=f(x)是奇函数，它在(0, +oo)上是增函数，且f(x)<0,试问f(x)=，何在(oo, 0)± 是增函数还是减函数?证明你的结论.i i分析 根据函数的增减性的定义，可以任取x!<x2<0,进而判定f(xjf(x2)=yg =fg "1)的正负.为此，需分别判定f(x)、f(x2)与f(x2)的正负，而这可以从已条件中推出. 解：任取 x、x2(-oo> 0)且 x<x2，则有-x|>-x2>0.y=f(x)在(0, +oo)上是增函数，且f

46、(x)<0,.,.f(-x2)<f(-xi)<0.又f(x)是奇函数,f(x2)= -f(x2), f(-x|) = -f(x|)由、得f(x2)>f(x)>0.于是f(x1)-f(x2)=>0,即 f(xj>f(x2),所以f(x)= 在(oo, 0)上是减函数.评析 木题最容易发生的错谋，是受已知条件的影响，一开始就在(0, +oo)内任取x,<x2,展开证明. 这样就不能保证-xp -x2,在(oo, 0)内的任意性而导致错谋.避免错课的方法是：要明确证明的目标，有针对性地展开证明活动.ax例5讨论函数f(x)= h符0)在区间(-1, 1

47、)内的单调性.分析根据函数的单调性定义求解.解：设-l<x1<x2< 1 ,则ojt|oxjf(x)f(x2)= 一 t(现叼xi #軌叼) =a-岸)a-w)vxp x2丘(-1, 1),且 xvx2,/x|-x2<0, l+xx2>0,(1-x2i)(1-x22)>0于是，当 a>0 时，f(xi)<f(x2)；当 avo 时,f(xi)>f(x2).故当a>0时，函数在(-1, 1)上是增两数；当a<0时，函数在(-1, 1)上为减函数.评析 根据定义讨论(或证明)函数的单调性的一般步骤是：(1) 设x、x2是给定区间内任

48、意两个值，且xi<x2；(2) 作差f(x)f(x2),并将此差式变形；(3) 判断f(x1)-f(x2)的正负，从而确定函数的单调性例6求证:f(x)=x+疋(k>0)在区间(0, k上单调递减. 解：设 0<xj<x2<k,贝!f(xi)-f(x2) = xi+ 1 -x2-v0<xi<x2<k,/.x|-x2<0, 0<x)x2<k=f(x).,f(xjf(x2)>0f(x】)>f(x2),.°.f(x)=x+ x中(0, k上是减函数.评析 函数f(x)在给定区间上的单调性反映了函数f(x)在区间上

49、函数值的变化趋势，是函数在区间上 的整体性质.因此，若要证明f(x)在a,b上是增函数(减函数)，就必须证明对于区间a,b上任意两点 x, x2，当 xj<x2 时，都有不等式 f(x!)<f(x2)(f(x|)>f(x2)类似可以证明：函数f(x)=x+ x (k>0)在区间k, +cc上是增函数.例7判断函数f(x)="的奇偶性.分析 确定两数的定义域后可脱去绝对值符号.卜沖"0得函数的定义域为亠门.这吋，| x-2 i =2-x.且注意到f(x)不恒为零，从而可知，f(x)=是偶函数，不是奇函数.评析 山于函数解析式中的绝对值使得所给函数不像具

50、有奇偶性，若不作深入思考，便会作岀其非奇 非偶的判断.但隐含条件(定义域)彼揭示之后，函数的奇偶性就非常明显了.这样看來，解题中先确定函数的 定义域不仅可以避免错课，而且有时述可以避开讨论，简化解题过程.指数本节的重点是分数指数抵的概念和分数指数幕的运算性质.难点是根式的概念和分数指数幕的概念.在 学习分数指数幕时，一要明确正整数指数幕、零指数幕和负整数幕的意义；二耍能根据平方根、立方根的 定义和性质来理解门次方根的定义和性质，从而理解根式的概念；三要明确根式与分数指数幕间的关系，1即 仔 =a ?,a j & (a>0,m、n都是正整数，且n>l)；四要能运用分数指数幕的

51、运算性质进行 根式、分数指数幕运算.平时要求学生：熟练掌握分数指数鬲与根式的运算.所要达到的目标：1了解根式的概念.2. 了解分数指数幕的概念，能进行分数指数幕与根式的互化.3. 能正确进行指数运算.核心知识1. 基础知识图表2. 整数指数幕在初中，我们首先研究了正整数指数慕：一个数a的n次幕等于n个a的连乘积 正整数指数帚的运算法则有五条：(1) am-an=ani+n；(2) am-an=ani'n(a0,m>n);(a,n)n=a,nn;(4) (ab)n=anbn;(5) ( *)n= b (b#).为保证这些法则可从定义直接推出，我们限定m、n都是正整数，且在法则(2)

52、屮限定m>n. 为了取消m>n的限制，我们定义了零指数幕和负整数指数幕：a0 =l(ao)a'n= & (nen,a#).这样一來，原來的5条运算律就可以归纳为3条(1)、(3)、(4),同时，将指数的概念扩大到了整数. 说明 为保证法则(2)、(5)对任意整数都成立，我们不得不规定洋0及b#0.3. 根式1°定义 若xn=a(nen, n>l),则称x为a的n次方根.当n=2,n=3时，上述定义就是我们在初中学过的平方根和立方根.若n为奇数，用符号 刼表示a的n次方根，这时aer.若n为偶数，则要求ano,用符号士刼表示a的n次方根.2。性质 顷=

53、0 (nen 且 n>l)©(听)ngn 且 n>l) 仔 =a(n为人于1的奇数) 畅=i a i =卜昨'%是不等于零的偶数)4. 分数指数幕分数指数幕的引进是受到根式的基本性质的启发.从根式的基本性质(a>0,m,n 丘 n)我们知道:2 (a>0)；q =a3(a>0)；0v (a>o,m,n n fl m 是 n 的整数倍).(a>0)； (a>o,m,n n 且 n>l)由于分数指数幕尚未定义,即a a1，的意义尚未明确，于是我们规定(2)a(a>o,m,nen, kn>l)如果m不是n的整数倍时，

54、仍沿用上述法则，不是也很方便吗?这时就有(3) 零的正分数次幕是零，零的负分数次幕没有意义. 在这种情况下，原來的幕的运算性质仍然成立.在分数指数幕中，要特别注意a>0的规定.对xwr,下面的运算就是错误的:j? =x这是因为， p=x，只有当x>0时才能使用(这里x=0也可).在引进了分数指数幕以后，我们就将指数概念扩大到有理数指数抵t.5. 分数指数崙的性质有理数幕的运算性质，有理数幕的运算性质形式上与整数指数幕的运算性质完全一样: 越=严；(ar)s=ars；(ab)r=arbr.式中 a>o,b>oj、seq典型例题例1化简4 i <i5 - sa'

55、;3 4 27 一(2 1«)x(a>0,b>0).j (« -86) t分析 在指数式运算中，注重运算顺序和灵活运川乘法公式.解：原式=26 >)(<!>+465)111 =a ° xa ° xa ° =a.评析 行计算.利用分数指数幕来进行根式运算，其顺序是先把根式化为分数指数幕，再根据幕的运算性质进4a5 +2a5«*j +«5xa例2化简下列各式(其中各字母均为正数):0=(1)二 1 1 2(3) a 5 b2(3a2 bq)-(4a s -b*3)_i iia"> 召百<>巧解：(1)原式=ar r r i$tt5 . ivsb丄丄1jl 1(«5 + «) oi -jm"5)1l1l 1-4«)1丄 1 _1> (2)原式二11111=(m =4m.c-+m 丄)+(m" -m2 2 1原式=acr -ac -b"3-(4a 5 b'3) 21 1 b'3-a 5 b 25二 4x 沪评析根式运算或根式与指数混合运算时将根式化为指数式运算较为方便，対于计算的结果，不强求 统一用什么形式來表示，如果有特殊要求，可根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和